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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:15 Mo 15.07.2013 | | Autor: | sly321 |
| Aufgabe | Lösen Sie die Gleichung x = ln(x + 2) mit dem Banachschen Fixpunktsatz.
Bestimmen Sie näherungsweise den Kontraktionsfaktor q und schätzen Sie den Abbruchfehler a posteriori. |
Meine Frage bezieht sich auf die Konstruktionskonstante.
Normalerweise bekommt man diese Raus indem man von der Ableitung der Gleichung die Intervallgrenzen einträgt und dann die oberste Grenze als Konstruktionskonstante nimmt. Aber mein Problem ist das die Gleichung nur einen Schnittpunkt hat und somit unendlich weiter nach x hinnausragt.
Habe nun mittlerweile gesehen das man diese auch folgendermaßen herrausfinden kann:
| f(x) - f(y) | --> c | x - y |
Doch selbst dort hab ich meine Probleme >.>
Bei mir sieht diese Version dann so aus:
| ln(x + 2) - [mm] (e^y [/mm] -2) |
Und ich schaff es patu nicht nach c | x - y | aufzulösen.
An sich steht dort "näherungsweise", aber ich weiß nicht wie ich mich der Kontraktionskonstanten annähern kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:33 Di 16.07.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst dich mit der Konstruktion in einem geeigneten Intervall anfangen. wie willst du denn den Fixpunkt bestimmen?
was du für f(x)- hingeschrieben hast ist seltsam willst du mit [mm] x+2=e^y [/mm] arbeiten oder mit der ursprünglichenGleichung.
q ist keine " Konstruktionskonstante" und patu gibt es nicht du meinst ist ein völlig anders geschriebenes (franz) Wort.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:45 Di 16.07.2013 | | Autor: | sly321 |
Liebster Leduart.
Ob es Patu, so in unserer Sprache gibt oder nicht, ist mir einerlei.
Die Berechnung meines Fixpunktes der Funktion f(x) = ln(x+2)
wird wie folgt von statten geht:
Ich beginne mit der Startnäherung -1, weil es der Schnittpunkt ist und ein ganzzahliger Wert auf dem die Gleichung die x Achse schneidet.
x(0) ist also -1;
Zur Fixpunktberechnung wird nun:
x(1) = f(x(0)) = ln(x0 + 2) = 0
x(2) = f(x(1)) = ln(x1 + 2) = 0,693147...
x(3) = f(x(2)) = 0,99071... und soweit.
Ich bin mir relativ sicher das du weißt wie ein Annäherungsverfahren funktioniert, oder?
Dieses Prozedere wird solange weitergeführt bis f(x) = x;
Dann sind wir bei x(n) = 1,14619....
Das ist der Fixpunkt.
Wenn du dir die Funktion anguckst
http://www.mathe-online.at/materialien/harald.krauss/files/plotter.htm
Sie hat nur einen Schnittpunkt und deswegen wüsste ich nicht welche grenzen ich ihm in dem Raum geben sollte.
Q-Bestimmen (Kontraktionsfaktor)
f'(x) = 1 / (x + 2)
Ab dem moment wusste ich nicht mehr weiter.
Und das was du mir geschrieben hast bringt mich [mm] \{\} [/mm] weiter.
Die Aufgabe wurde so wie sie dasteht vom Prof. gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:33 Di 16.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Liebster Leduart.
>
> Ob es Patu, so in unserer Sprache gibt oder nicht, ist mir
> einerlei.
nichtsdestotrotz schadet es nichts, sich dahingehend weiter zu informieren:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wiktionary.org/wiki/partout
> Und das was du mir geschrieben hast bringt mich [mm]\{\}[/mm]
> weiter.
Vielleicht beantwortest Du auch mal die Nachfragen?
> Die Aufgabe wurde so wie sie dasteht vom Prof. gestellt.
Das wiederum wäre mir nun an Leduarts Stelle einerlei. 
Nichts für ungut.
P.S. Es ist eine Unsitte, Fragen auf "nicht beantwortet" zurückzustellen,
wenn darauf reagiert wurde. Falls Dir der Status dann nicht passt, so
lasse sie von einem Mod. auf "teilweise beantwortet" oder "reagiert"
umstellen und stelle weitere Nachfragen. Denn nur, weil Du der Meinung
bist, dass Leduart Dir kein Stück weitergeholfen hat, heißt es nicht, dass
Leduart "gar nichts bzgl. der Frage" geantwortet hat!
Lobenswert allerdings finde ich, dass Du Deine Rechnung vorgestellt hast.
Daher wird sich sicher auch vielleicht noch jemand anderes finden, der/die
sich Deiner Frage annehmen kann (mir ist's nun einfach zu spät; ich bin
nicht mehr wirklich konzentrationsfähig bei der Aufgabe...).
P.P.S. Was genau verstehst Du unter "dem Kontraktionsfaktor [mm] $q\,$" [/mm] im
Banachschen Fixpunktsatz?
Ich meine, das wird bei einer Kontraktion dem [mm] $\lambda$ [/mm] von hier (klick!)
entsprechen; aber dieses [mm] $\lambda \in [/mm] [0,1)$ ist nicht eindeutig: [mm] $\lambda$ [/mm] kann man durch
ein [mm] $\lambda' \in (\lambda,1)$ [/mm] ersetzen, und das ist dann ein weiterer "Kontraktionsfaktor".
Bezeichnet bei Euch also irgendwie [mm] $q\,$ [/mm] das Infimum/Minimum über alle
"Kontraktionsfaktoren"? (Bei "Minimum" müßte man sich schonmal
Gedanken über die Existenz machen!)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:09 Di 16.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Lösen Sie die Gleichung x = ln(x + 2) mit dem Banachschen
> Fixpunktsatz.
>
> Bestimmen Sie näherungsweise den Kontraktionsfaktor q und
> schätzen Sie den Abbruchfehler a posteriori.
> Meine Frage bezieht sich auf die Konstruktionskonstante.
Du meinst sicher "Kontraktionskonstante"
> Normalerweise bekommt man diese Raus
....ich würde ein kleines "r" bevorzugen....
> indem man von der
> Ableitung der Gleichung
.... von der Gleichung ... ?
> die Intervallgrenzen einträgt und
> dann die oberste Grenze als Konstruktionskonstante nimmt.
Na ja, jeder Fall liegt anders !!
> Aber mein Problem ist das die Gleichung nur einen
> Schnittpunkt hat
Seit wann haben Gleichungen Schnittpunkte ?
Du meinst sicher: die Gleichung x=ln(x+2) hat nur eine Lösung.
Das ist doch prima, anderenfalls wäre mit Banach nix zu machen.
> und somit unendlich weiter nach x
> hinnausragt.
Hä ?
>
> Habe nun mittlerweile gesehen das man diese auch
> folgendermaßen herrausfinden kann:
>
> | f(x) - f(y) | --> c | x - y |
Was bedeutet diese mystische Symbolik ?
>
> Doch selbst dort hab ich meine Probleme >.>
...... hätte ich auch !
>
> Bei mir sieht diese Version dann so aus:
>
> | ln(x + 2) - [mm](e^y[/mm] -2) |
Hoppsa ? Woher kommt das ?
>
> Und ich schaff es patu nicht nach c | x - y | aufzulösen.
Das schaff ich auch nicht !
>
> An sich steht dort "näherungsweise", aber ich weiß nicht
> wie ich mich der Kontraktionskonstanten annähern kann.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Nun pass mal auf:
Betrachte f:I [mm] \to \IR, [/mm] wobei I=[0, [mm] \infty) [/mm] und f(x)=ln(x+2).
Zeige:
1. f(I) [mm] \subseteq [/mm] I.
2. |f(x)-f(z)| [mm] \le \bruch{1}{2}|x-z| [/mm] für alle x,z [mm] \in [/mm] I
Hilft das schon mal weiter ?
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:28 Di 16.07.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Aber mein Problem ist das die Gleichung nur einen
> Schnittpunkt hat
Die Gleichung $ x=ln(x+2) $ hat zwei Lösungen, wobei sich die zweite erst nach Umstellen zu [mm] e^x=x+2 [/mm] , also [mm] x=e^x-2 [/mm] mit Banach finden lässt.
Gruß Sax.
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