Banachscher Fixpunktsatz < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:54 Sa 18.02.2006 | | Autor: | squeezer |
| Aufgabe | a) Berechnen Sie eine Näherung an die positive Nullstelle der Funktion $ f(x) = [mm] x^4-5 [/mm] $ mit dem Newton Verfahren mit Startwert x = 2 indem Sie einen Iterationsschritt durchführen.
b) Zeigen Sie, dass das Newton Verfahren aus a) für jeden Startwert x > 0 konvergiert. |
Hallo
also den Teil a der Aufgabe damit habe ich kein Problem ich weiss nur nicht beim Teil b was bzw wie ich das genau beweisen soll.
Ich denke mir dass ich dazu den Banachschen Fixpunktsatz verwenden muss, also weigen dass
* Die Funktion $x- [mm] \bruch{x^4-5}{4x^3}$ [/mm] eine Lipschitzkonstante 0<L<1 hat <-- Mein Erstes Problem - Also die Funktion kontrahierend ist
* Die Funktion eine Selbstabbildung ist.
->Soweit ich weiss gilt der Banachsche Fixpunktsatz ja nur für ein abgeschlossenes Intervall, aber ist x>0 abgeschlossen?
Vielen Dank für Deine/Eure Auskunft
Marc
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Hallo.
Der Banachsche Fixpunktsatz gilt allgemein in vollständigen metrischen Räumen. Dies ist insbesondere der Fall, wenn Du ein abgeschlossenes reelles Intervall hast.
Du solltest hier untersuchen, was mit Deinem Startwert passiert, wenn Du die Funktion einmal darauf anwendest... vielleicht kannst Du ja mit der Ableitung gewinnbringend abschätzen.
Dann bekommst Du heraus, daß Du auf jeden Fall ein abgeschlossenes Intervall findest, in dem für jedes [mm] $x_0$ [/mm] Dein [mm] $f(x_0)$ [/mm] anzutreffen ist.
Die Vollständigkeit Deines metrischen Raumes ist also hier kein Problem.
Dann solltest Du noch zeigen, daß dort $f_$ kontrahierend ist (auch hier kann die Ableitung helfen...).
Spiel einfach mal etwas mit den Termen herum, dann bekommt man die nötigen Eigenschaften fast geschenkt.
Gruß,
Christian
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