Banachscher Fixpunktsatz < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Do 20.01.2005 | | Autor: | Joergi |
Hallo zusammen,
da ich noch um meinen Schein bangen muss, und wieder so eine blöde Programmieraufgabe in unserer Übung enthalten ist, und ich gar keine Ahnung habe von programmieren, muss ich in den übrigen Aufgaben so gut wie möglich punkten, deshalb hoffe ich, dass Ihr mir mal wieder helfen könnt!?
Dazu ist uns der Banachsche Fixpunktsatz wie folgt gegeben:
Sei [mm]X, ||.||[/mm] linearer normierter Raum und G eine vollständige Teilmenge von X. Die Abbildung [mm] \phi [/mm] sei auf G definiert und eine Selbstabbildung, also [mm]\phi(G)\subseteqG[/mm]. Weiter sei [mm] \phi [/mm] eine Kontraktion auf G, es existiere also ein L<1, sodass [mm]||\phi(x)-\phi(y)||\le L||x-y||[/mm] [mm]\forall x,y \in G[/mm]. Dann besitzt [mm] \phi [/mm] in G genau einen Fixpunkt und die durch [mm]x_{k+1}=\phi(x_{k}), k \ge 0[/mm], definierte Folge konvergiert für beliebigen Startwert [mm]x_{0} \in G[/mm] gegen den Fixpunkt. Es gelten die A-posteriori- und die A-priori-Fehlerabschätzungen. Ist speziell [mm]X\equiv \IR^{n}[/mm], G zusätzlich konvex, [mm]\phi \in C^{1}(G)[/mm] und [mm]max_{x \in G}||\phi^{'}(x)||<1[/mm], so gilt die obige Kontraktionseigenschaft mit [mm] L\equiv max_{x \in G}||\phi^{'}(x)||. [/mm] Dabei ist die auftretende Matrixnorm diejenige, die von der gewählten Vektornorm [mm]||.||[/mm] des Raumes [mm]X \equiv \IR^{n}[/mm] induziert wird.
a.) Sei [mm]\lambda \in(0,1)[/mm] gegeben. Zeige, dass es genau eine Funktion [mm]f \in C[0,1][/mm] gibt, die die Integralgleichung
[mm]f(t)=\integral_{0}^{1}{e^{-ts}cos(\lambda*f(s))ds}[/mm] löst. Hinweis. Wähle X als einen passenden Banachraum und betrachte den Fall X=G.
b.) Zeige, dass sin(x)=2+ln(x), x>0 genau eine Lösung besitzt und finde eine Fixpunktiteration, die für beliebigen Startwert [mm] x_{0} \in \IR [/mm] gegen die Lösung der Gleichung konvergiert.
c.) Das Polynom [mm] p(x)=x^{2}-x-2 [/mm] hat die beiden Nullstellen x^*=-1 und x^*=2. Forme das Nullstellenproblem p(x)=0 je in eine (lokal) äquivalente Fixpunktform x= [mm] \phi(x) [/mm] um, sodass die zugehörige Fixpunktiteration
(i) bei passend gewähltem Startwert [mm] x_{0} \not= [/mm] -1 und gegen x^*=-1 konvergiert,
(ii) bei passend gewähltem Startwert [mm] x_{0} \not= [/mm] 2 und gegen x^*=2 konvergiert,
(iii) für beliebige Startwerte [mm] x_{0} \not= [/mm] -1 und [mm] x_{0} \not= [/mm] 2 gegen keine der Nullstellen konvergiert.
Gib zu (i) und (ii) einen Beweis an und führe zu (iii) die Iteration je in der Nähe von x^*=-1 und x^*=2 geometrisch durch , um die "Nicht-Konvergenz" zu beobachten.
Im voraus schonmal danke, an alle die sich die Mühe machen mir zu helfen, ich hoffe, dass ich niemanden zu sehr dann nerven werde 
Lg Jörg
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Hallo Joergi,
Wie schaut's denn mit deinen Ansätzen aus ich persönlich würde mit c) anfangen die eignet sich gut zum ausprobieren.
Wo ist bei a) eigentlich die Gleichung?
gruß
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:46 Mo 24.01.2005 | | Autor: | Joergi |
Hallo Mathemaduenn,
ich habe nun eine Integralgleichung (war wohl zuviel Eintipperei und hab das geschludert) und habe mich darüber hinaus mal an der a) versucht. Zu c) fehlt mir die Herangehensweise, vielleicht könntest Du mir dazu noch einen Tipp geben!?
Nun aber zu a):
Definiere den nichtlinearen Operator [mm]G:C([0,1]) \to C([0,1])[/mm] durch [mm](G(x))(t):= \integral_{0}^{1} {e^{-st}(cos(\lambda x(s)))ds[/mm]. Sei nun [mm] \phi=G(x)[/mm] und [mm] \psi=G(y)[/mm], dann gilt:
[mm]| \phi(t)- \psi(t)|=| \integral_{0}^{1} {e^{-st}(cos(\lambda x(s))-cos(\lambda y(s)))ds}|[/mm]
[mm] \le \integral_{0}^{1} {e^{-st}|(cos(\lambda x(s))-cos(\lambda y(s)))|ds}[/mm]
[mm] \le \integral_{0}^{1}{(sup_{s \in[0,1]}e^{-st})*(sup_{s \in[0,1]}|(cos(\lambda x(s))-cos(\lambda y(s)))|ds}[/mm]
[mm] \le \lambda sup_{s \in[0,1]}|x(s)-y(s)|[/mm],
wobei [mm]e^{-st} \le 1[/mm] und cos (laut Analysis) Lipschitz-stetig mit Modul 1 ist.
Für [mm]\lambda < 1[/mm] erhält man die Kontraktivität des Operators G in der Norm [mm]C([0,1])[/mm], d.h. [mm]||G(x)-G(y)|| \le \lambda ||x-y||[/mm] und nach dem Banachschen Fixpunktsatz folgt die Existenz genau einer Funktion, die die Integralgleichung löst.
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Hallo Jörg,
Der Weg ist schon o.k. Du solltest es nochmal "ordentlich" aufschreiben.
Drei Sachen hätte ich zu bekritteln.
1. Du schreibst "Definiere den Operator G" dann folgt aber gleich die Ungleichungskette
2. Wenn Du mit der Supremumsnorm enden willst mußt Du schon mit der Supremumsnorm anfangen. Das ändert auch einiges.
3. Für Kontraktivität muß [mm] \lamda<1 [/mm] sein.
gruß
mathemaduennn
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Hallo Joergi,
Um den Banachschen Fixpunktsatz anzuwenden muß die Norm gleich sein. Der Schluß aus deiner Ungleichung müsste also sein
[mm] ||G(x)-G(y)||_{\infty}\le\lambda||x-y||_{\infty}
[/mm]
Da deine Ungleichung für t beliebig gilt stehts zwar eigentlich schon da diesen Zwischeschritt würd ich vielleicht noch hinschreiben.
gruß
mathemaduenn
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Hallo Joergi,
[mm] 0=x^2-x-2 [/mm]
1. Wie kommt man nun auf eine(beliebige) Fixpunktform? [mm] x=\phi(x)
[/mm]
(x addieren )
2. Nimm einen Wert nahe deinem Fixpunkt und prüfe rechnerisch die Konvergenz
3. Bestimme [mm] \phi' [/mm] am Fixpunkt.
gruß
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:13 Mo 24.01.2005 | | Autor: | Joergi |
Hy Mathemaduenn,
danke für deine Hilfe, bin echt froh, dass sich jemand mit mir rumschlägt!
Aufgabenteil a) werde ich noch nachbessern, muss da nochmal drüber "sinnen", erstmal ein Ansatz zu c).
Ich habe zuerst versucht das Polynom [mm]p(x)=x^2-x-2[/mm] bzw. das Nullstellenproblem [mm]p(x)=0[/mm] in eine äquivalente (lokale) Fixpunktform [mm]x=\phi(x)[/mm] umzuschreiben.Dabei kam ich auf die folgenden Formen:
1. [mm]x=x^2-2[/mm]
2. [mm]x=1+\bruch{2}{x}[/mm]
3. [mm]x=\bruch{2}{x-1}[/mm] und
4. [mm]x= \pm(x+2)^{1/2}[/mm].
Ich weiß jetzt nicht recht, mit welcher Form ich arbeiten soll bzw. wenn ich eine Form wähle, wie ich überhaupt jetzt rangehen muss. Ganz wichtig ist dabei, wie ich an den Startwert komme, das weiß ich überhaupt nicht!!!!Sorry, dass ich mich so blöd anstelle, bei mir dauerts manchmal ein bisschen)!!!!!
Danke und Gruß
Joergi
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Hallo joergi,
Gab's irgendwelche Voraussetzungen an den Startwert?
[mm] \Rightarrow [/mm] Such Dir einen raus es gibt (überabzählbar) unendlich viele.
Wäre 384756293847502394 ein sinnvoller Startwert?
Die Frage ist ja: Sind die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes für diese Funktionen anwendbar?
gruß
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:49 Di 25.01.2005 | | Autor: | Joergi |
Hy Mathemaduenn,
ich muss gestehen, ich konnte nicht so recht was mit deiner Anmerkung anfangen, jedoch habe ich folgendes festgestellt:
Mit dem Newton-Verfahren erhalte ich folgende Iterationsvorschrift:
[mm]\phi(x)= x-\bruch{x^2-x-2}{2x-1}[/mm]
[mm]=\bruch{x^2+2}{2x-1}[/mm], [mm]\phi'(x)= \bruch{2(x^2+x-2)}{(2x+1)^{1/2}}[/mm] und [mm]\phi'(-1)=-4<1[/mm] und [mm]\phi'(2)= \bruch{8}{25}=0,32<1[/mm].
Dann erhält man weiterhin:
zu (i): Wähle den Startwert: [mm]x^{(0)}=0,4[/mm]
[mm]x^{(1)}=\phi (x^{(0)})=-10,8[/mm]
[mm]x^{(2)}=\phi (x^{(1)})=-5,2495575[/mm]
[mm]x^{(3)}=\phi (x^{(2)})=-2,570446[/mm]
[mm]x^{(4)}=\phi (x^{(3)})=-1,4016193[/mm]
[mm]x^{(5)}=\phi (x^{(4)})=-1,0424107[/mm]
[mm]x^{(6)}=\phi (x^{(5)})=-1,0005831[/mm]
[mm]x^{(7)}=\phi (x^{(6)})=-1,0000001[/mm]
[mm]x^{(8)}=\phi (x^{(7)})=-1[/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\ (-1)}(\bruch{x^2+2}{2x-1})=-1[/mm].
zu (ii): Wähle den Startwert: [mm]x^{(0)}=0,6[/mm]
[mm]x^{(1)}=\phi (x^{(0)})=11,8[/mm]
[mm]x^{(2)}=\phi (x^{(1)})=6,2495575[/mm]
[mm]x^{(3)}=\phi (x^{(2)})=3,570446[/mm]
[mm]x^{(4)}=\phi (x^{(3)})=2,4016193[/mm]
[mm]x^{(5)}=\phi (x^{(4)})=2,0424107[/mm]
[mm]x^{(6)}=\phi (x^{(5)})=2,0005831[/mm]
[mm]x^{(7)}=\phi (x^{(6)})=2,0000001[/mm]
[mm]x^{(8)}=\phi (x^{(7)})=2[/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\ (2)}(\bruch{x^2+2}{2x-1})=2[/mm].
Ich hoffe, dass dies in etwa stimmt!?Kann ich so herangehen?
Auch habe ich mir mal eine Tabelle erstellt, weil ich herausfinden wollte, wie sich verschiedene Fixpunktformen auf die Iteration auswirken.Dabei habe ich den Startwert (-0,9) gewählt:
K [mm]\phi_{a}(x)[/mm] [mm]\phi_{b}(x)[/mm] [mm]\phi_{c}(x)[/mm] [mm]\phi_{d}(x)[/mm]
0 1,19 -1,222 -1,053 [mm] \pm 1,049[/mm]
1 -0,584 2,636 -0,974 [mm] \pm 1,746[/mm]
2 -1,659 1,759 -1,013 [mm] \pm 1,935[/mm]
3 0,752 2,137 -0,994 [mm] \pm 1,984[/mm]
4 -1,434 1,936 -1,003 [mm] \pm 1,996[/mm]
5 0,056 2,033 -0,998 [mm] \pm 1,999[/mm]
divergiert divergiert konvergiert konvergiert
gegen (-1) gegen 2
Hierbei ist:
[mm]\phi_{a}(x)=x=x^2-2[/mm], [mm]\phi'_{a}(x)=2x[/mm], [mm]\phi'_{a}(-1)=-2<1[/mm] und [mm]\phi'_{a}(2)=4>1[/mm]?????
[mm]\phi_{b}(x)=x=1+ \bruch{2}{x}[/mm], [mm]\phi'_{b}(x)=- \bruch{2}{x^{2}}[/mm], [mm]\phi'_{b}(-1)=-2<1[/mm] und [mm]\phi'_{b}(2)=- \bruch{1}{2}<1[/mm].
[mm]\phi_{c}(x)=x= \bruch{2}{x-1}[/mm], [mm]\phi'_{c}(x)= \bruch{-2}{(x-1)^{2}}[/mm], [mm]\phi'_{c}(-1)=-\bruch{1}{2}<1[/mm] und [mm]\phi'_{c}(2)=-2<1[/mm],
[mm]\phi_{d}(x)=x= \pm (x+2)^{1/2}[/mm], [mm]\phi'_{d}(x)= \pm \bruch{1}{2}(x+2)^{-1/2}[/mm], [mm]\phi'_{d}(-1)= \pm \bruch{1}{2}<1[/mm] und [mm]\phi'_{d}(2)= \pm \bruch{1}{4}<1[/mm].
Was ist denn bei den ???? passiert, warum ergibt sich da ein Wert der >1 ist?
Kann ich diese Tabelle nutzen um an (iii) heranzugehen, denn da soll ich die Iteration geometrisch durchführen!?
Zum Aufgabenteil b) ist mir noch nichts eingefallen, für Hinweise wäre ich dankbar!
Danke für Deine Geduld!
LG Joergi
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Hallo joergi,
[mm] \phi_b(x) [/mm] konvergiert nicht ? Wenn Du Dir deine Ableitungen anschaust wirst Du feststellen das die die konvergieren alle eine betragsmäßig kleine Ableitung haben. Das ist auch Voraussetzng für den Banachschen Fixpunktsatz. Wenn dieses L schon am Fixpunkt größer 1 ist kanns keine Umgebung des FP geben wo's kleiner 1 ist. Man spricht für auch von abstoßenden Fixpunkten.
gruß
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:07 Di 25.01.2005 | | Autor: | Joergi |
Hy Mathemaduenn,
jetzt bin ich etwas irritiert, denn von einem abstoßendem Fixpunkt habe ich noch nie was gehört. Bin nun auch total verunsichert was meine herangehensweise betrifft. Deshalb habe ich noch die folgenden Fragen:
1. Was ist ein abstoßender Fixpunkt genau?
2. Waren meine Startwerte paasend gewählt zu (i) und (ii)?
3. Konnte ich das Newton-Verfahren überhaupt anwenden oder ist das alles Käse, was ich gemacht habe?
Bin jetzt voll verunsichert! Ich hoffe Du kannst mir sagen was ich da falsch gemacht habe!?
Gruß Joergi
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Hallo Joergi
> 1. Was ist ein abstoßender Fixpunkt genau?
Wenn Du - 0.99 als Startwert(also einen der sehr nahe beim Fixpunkt liegt) für die Fixpunktiteration [mm] \phi_a [/mm] einsetzt konvergiert's trotzdem nicht.
> 2. Waren meine Startwerte paasend gewählt zu (i) und
> (ii)?
Wenn man Werte nimmt die näher bei den Fixpunkten liegen sieht man u.U. schneller ob Konvergenz vorliegt.
> 3. Konnte ich das Newton-Verfahren überhaupt anwenden?
Ich denke die Aufgabe ist eher in Richtung der Funktionen [mm] \phi_a ,\phi_b [/mm] , [mm] \phi_c [/mm] gedacht.
Alles klar?
gruß
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 Di 25.01.2005 | | Autor: | Joergi |
Hy Mathemaduenn,
danke, jetzt weiß ich was mit abstoßendem Fixpunkt gemeint ist, klingt ja auch logisch was Du da geschrieben hast.
Ich weiß, wenn ich das näher gewählt hätte, dass man das schneller gesehen hätte, wollte jedoch, dass man sieht, dass es konvergiert.
Kann ich dann (i) und (ii) so lassen? Kannst Du mir auch einen Tipp zum Aufgabenteil b) geben? Da weiß ich noch nicht wie ich rangehen soll.
Danke für Deine Mühen,
Gruß Joergi
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Hallo Joergi,
Das Newtonverfahren ist nat. auch eine Fixpunktiteration. Die Frage die sich mir hier stellt ist: Was mit äquivalent in der Aufgbenstellung gemeint ist? Ich würd's so lassen. Aber ob's Punkte gibt oder ob äquivalent = Äquivalenzumformungen ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
gruß
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:35 Di 25.01.2005 | | Autor: | Joergi |
Hy Mathemaduenn,
diese Frage mit den Äquivalenzumformungen habe ich mir nämlich auch gestellt, deswegen war ich in Bezug auf das Newton-Verfahren so unsicher, aber ich lasse das auch so!
Ich habe mich mal mit b) beschäftigt und habe schonmal zeigen können, dass es genau eine Lösung gibt:
[mm]sin(x)=2+ln(x)[/mm], [mm]X>0[/mm]
[mm] \gdw sin(x)-2=ln(x)[/mm]
[mm] \gdw exp(sin(x)-2)=exp(ln(x))[/mm]
[mm] \gdw x=e^{sin(x)-2}[/mm].
Jetzt könnte ich ja hingehen und sagen, dass [mm]x= \phi(x)=e^{sin(x)-2}[/mm] ist. Wie zeige ich jetzt,dass diese von mir gewählte Fixpunktiteration gegen die Lösung der Gleichung bei einem beliebigen Startwert [mm] x_{0} [/mm] konvergiert?
P.S. Aufgabenteil a) habe ich jetzt auch etwas "verschönert"!
Lg Joergi
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Hallo Joergi,
In deinem Hinweis war doch schon gegeben wie Du die Konstante L bestimmst. Wenn Du die hast (und sie hat die gewünschten Eigenschaften) hast Du die Voraussetzungen des BFPS.
gruß
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:39 Do 27.01.2005 | | Autor: | Joergi |
Hy Mathemaduenn,
ich habe die Aufgabe komplett lösen können, dank Dir! Dafür ein herzliches Danke schön meinerseits, warst mir echt eine große Hilfe!
LG Joergi
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