Banachscher Fixpunktsatz < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:07 Fr 25.12.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich habe Verständnisproblem mit dem folgenden Text:
"Beispiel 1: Sei X das Stadtgebiet von Darmstadt (das wir als abgeschlossene
Teilmenge des R2 auffassen und das deshalb vollständig ist). Irgendwo in Darmstadt
breiten wir einen Stadtplan von Darmstadt aus und erklären eine Abbildung
f : X → X wie folgt. Jedem Punkt x ∈ X wird derjenige Punkt f(x) ∈ X zugeordnet,
über dem das Bild von x auf dem Stadtplan liegt"
(Insbesondere verstehe ich nicht , was: "über dem das Bild von x auf dem Stadtplan liegt" bedeutet.)
Könnt ihr das bitte anschaulicher/genauer erklären, was diese Abbildung f macht?
Der Text geht dann so weiter : "Ist 1 : n der Maßstab des Stadtplans, so ist f eine kontrahierende Abbildung mit der Kontraktionskonstanten
L = 1/n. Nach dem Banachschen Fixpunktsatz gibt es genau einen
Punkt x in Darmstadt mit f(x) = x, d.h. x liegt genau unter demjenigen Punkt
des Stadtplanes, der x abbildet."
Gruss
Igor
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Am Beispiel wird dir die Zuordnung ziemlich schnell klar. Zunächst ist aber wichtig, dass du mit dem Stadtplan von Darmstadt irgendwo in Darmstadt stehst und den Plan waagerecht hältst.
Nun betrachten wir z.B. das Rathaus in Darmstadt (fassen wir mal als Punkt auf, sonst nimmst du statt dessen den Mittelpunkt des Hydranten, der vor dem Eingang steht und die Koordinaten.... hat). Das Rathaus befindet sich irgendwo in der Stadt weit weg von deinem Plan, aber du findest es auch auf deinem Plan wieder. Nun bohrst du ein Loch in deinen Plan an der Stelle, wo das Rathaus eingezeichnet ist, streust ein bisschen Zucker aufs Loch, das rieselt durch und trifft wegen der Windstille genau den Boden senkrecht unter dem Loch.
Das Rathaus = [mm] x\in [/mm] X wurde durch diesen Vorgang auf den Punkt f(x) [mm] \in [/mm] X - nämlich den Punkt, auf den der Zucker gefallen ist - abgebildet.
Auf diese Weise werden alle Punkte aus Darmstadt auf diejenigen Punkte abgebildet, die sich gerade zufällig unterhalb deines Stadtplanes von Darmstadt befinden.
Nach dem Fixpunktsatz wird dann ein Punkt genau auf sich selber abgebildet. In unserem Beispiel könnte es so sein, dass du die Karte genau so über den erwähnten Hydranten hältst, das der Karten-Eintrag des Hydrantenmittelpunktes genau über dem tatsächlichen Hydrantenmittelpunkt liegt. Dann wäre dies der Fixpunkt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Fr 25.12.2009 | | Autor: | Igor1 |
wenn ich (o.B.d.A) Rathaus als Punkt x aus dem Stadtgebiet X wähle und irgendwo in Darmstadt mit dem Plan ausserhalb des Stadtgebietes stehe, dann fällt der Zucker auf einen Punkt , der nicht in X liegt. Jedoch
f(x) soll in X liegen, oder?
Edit: jetzt fällt mir ein :Stadtgebiet ist keine echte Teilmenge von Darmstadt , sondern gleich "Darmstadt"
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Ja, mit Stadtgebiet ist nicht ein Stadtteil, sondern die ganze Stadt gemeint. Du darfst nicht außerhalb von Darmstadt stehen. Die Abbildung (der Zuckerregen) muss auf eine Stadtfläche fallen, die auch im Plan enthalten ist.
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