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"Basen": "K^n"
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:19 Mo 27.11.2006
Autor: DiscoRue

Aufgabe
Sei k ein endlich körper mit #k=q Elementen, wie viele verschiedene Basen hat der Vektorraum [mm] K^n [/mm] für n€N.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich würd sagen : [mm] q^n-1 [/mm] aber wie zeigt man das??

        
Bezug
"Basen": Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:51 Di 28.11.2006
Autor: angela.h.b.


> Sei k ein endlich körper mit #k=q Elementen, wie viele
> verschiedene Basen hat der Vektorraum [mm]K^n[/mm] für n€N.

Hallo,

[willkommenmr].

Es ist hier übrigens üblich und erwünscht, daß die Posts mit einer Begrüßung beginnen und mit einem Gruß enden. Kannst Du nicht wissen, aber als Tip für die Zukunft...

>  Ich würd sagen : [mm]q^n-1[/mm] aber wie zeigt man das??

Das wirst du so nicht zeigen können, weil es nicht stimmt, aber [mm] q^n-1 [/mm] können wir trotzdem gleich gebrauchen.

Kennst Du denn die Dimension des [mm] K^n [/mm] ?  Kennst Du EINE Basis? Jede andere Basis hat genausoviele Elemente.

So, nun geht's los. Wir beginnen den Aufbau einer Basis, startend mit einem Vektor [mm] v_1 \in K^n. [/mm]
Wieviele Möglichkeiten haben wir für den ersten unserer Basisvektoren? Wir können fast jeden Vektor des [mm] K^n [/mm] hierfür verwenden. Nur ??? nicht.
Also haben wir für [mm] {v_1 }: {q^n-1} [/mm]  Möglichkeiten.

Diesem Vektor wollen wir nun den nächsten, [mm] v_2, [/mm] zur Seite stellen.
Kommen alle Vektoren des [mm] K^n [/mm] hierfür infrage? Nein, natürlich nur die, die von [mm] v_1 [/mm] linear unabhängig sind.
Welche sind das? Die nicht in [mm] U_1:= [/mm] aufgespannten Untervektorraum liegen.
Wieviele Vektoren stehen also zur Auswahl? [mm] |K|-|U_1| [/mm] Vektoren.
Wie mächtig ist [mm] U_1? |U_1| [/mm] =q.
Also haben wir für [mm] {v_2 }: {q^n-q} [/mm] Möglichkeiten.

[mm] v_1, v_2 [/mm] wollen wir nun den nächsten, [mm] v_3, [/mm] zur Seite stellen.
Kommen alle Vektoren des [mm] K^n [/mm] hierfür infrage? Nein, natürlich nur die, die von [mm] v_1, v_2 [/mm] linear unabhängig sind.
Welche sind das? Die nicht in [mm] U_2:= [/mm] aufgespannten Untervektorraum liegen.
Wieviele Vektoren stehen also zur Auswahl? [mm] |K|-|U_2| [/mm] Vektoren.
Wie mächtig ist [mm] U_2? |U_2| [/mm] = ???
Also haben wir für [mm] v_3 [/mm]    ??? Möglichkeiten.

usw.

Gruß v. Angela


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