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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
| Aufgabe | Sei [mm] \IB={sin,cos,sin*cos,sin²,cos²} [/mm] und V=span [mm] \subset Abb(\IR,\IR). [/mm] Betrachten Sie den Endomorphismus F: V [mm] \to [/mm] V , f [mm] \mapsto [/mm] f´ wobei f´ die erste Ableitung von f bezeichnet.
Zeigen Sie, dass [mm] \IB [/mm] eine Basis von V ist. |
Hallo!
An für sich ist mir klar wie ich zeigen kann ob die angegebene Basis tatsächlich eine Basis ist. Nun B bildet schon ein erzeugendensystem nun muss ich ja prüfen ob sie linear unabhängig sind. Ok.
nun seien also [mm] a_{1},...a_{5} \in \IR [/mm] gegenen mit
[mm] a_{1}*sin+a_{2}cos+a_{3}sin*cos+a_{4}sin²+a_{5}cos²=0 [/mm] Irgendwie hänge ich hier wie kann ich da weiter machen?
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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> Sei [mm]\IB={sin,cos,sin*cos,sin²,cos²}[/mm] und V=span [mm]\subset Abb(\IR,\IR).[/mm]
> Betrachten Sie den Endomorphismus F: V [mm]\to[/mm] V , f [mm]\mapsto[/mm] f´
> wobei f´ die erste Ableitung von f bezeichnet.
> Zeigen Sie, dass [mm]\IB[/mm] eine Basis von V ist.
> Hallo!
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> An für sich ist mir klar wie ich zeigen kann ob die
> angegebene Basis tatsächlich eine Basis ist. Nun B bildet
> schon ein erzeugendensystem nun muss ich ja prüfen ob sie
> linear unabhängig sind. Ok.
> nun seien also [mm]a_{1},...a_{5} \in \IR[/mm] gegenen mit
> [mm]a_{1}*sin+a_{2}cos+a_{3}sin*cos+a_{4}sin²+a_{5}cos²=0[/mm]
> Irgendwie hänge ich hier wie kann ich da weiter machen?
Hallo,
mach Dir zunächst klar, daß rechts nicht die Zahl 0 steht, sondern die Funktion, welche alles auf die Null abbildet.
Du hast heir also die Gleichheit von Funktionen zu untersuchen.
Wann sind Funktionen gleich? Wenn sie an allen Stellen übereinstimmen.
Aha.
Also folgt aus dem, was Du oben schriebst:
[mm] a_{1}*sin(x)+a_{2}cos(x)+a_{3}sin*cos(x)+a_{4}sin²(x)+a_{5}cos²(x)=0 [/mm] für alle [mm] x\in \IR.
[/mm]
Im Prinzip umfaßt das unendlich viele lineare Gleichungen, denn die Gleichung muß ja für jede reelle Zahl gelten.
Jetzt kommt es darauf an, daß Du aus den vielen reellen Zahlen 5 auswählst, mit denen Du ein eindeutig lösbares GS erhältst. Ich würde es mal mit den besonderen Stellen der trig. Funktionen versuchen.
Gruß v. Angela
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> Ok dann könnte ich die folgenden Zahlen nehmen?
Mußt halt probieren, ob's funktioniert.
Ich würde allerdings eher die Vielfachen 0, [mm] \pi, \bruch{\pi}{2}, \bruch{3\pi}{2} [/mm] und vielleicht [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] nehmen, da gibt's mehr Einsen.
>
> 0, [mm]\pi, \bruch{\pi}{2}[/mm] , [mm]\bruch{\pi}{3}[/mm] , [mm]\bruch{pi}{4}[/mm] 2
> [mm]\pi[/mm] ?? und dass dann alles einsetzen dann habe ich eine 5
> [mm]\times[/mm] 5 Matrix und die muss ich lösen? Man das ist ja ganz
> schon viel arbeit 
Ein Studium ist halt kein Ponyhof. (Mal ganz abgesehen davon, daß es auf letzterem auch viel Arbeit gibt.)
Die Sache mit der linearen Abhängigkeit v. Funktionen hat übrigens Eigenarten, welche man sich mal klargemacht haben muß:
Angenommen, bei Deinem LGS kommt heraus, daß es eine von der trivialen Lsg. verschiedene Lösung gibt, dann hat das gar nichts weiter zu bedeuten: die Funktionen können trotzdem linear unabhängig sein - denn es kann ja andere Stellen geben, die die triviale Lösung erzwingen.
Für lineare Unabhängigkeit reicht es, wenn man ein GS findet, welches die triviale Lösung erzwingt.
Bei Abhängigkeit mußt Du zeigen, daß die nichttriviale Linearkombi für alle x funktioniert.
Gruß v. Angela
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