www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Basen / Matrizen
Basen / Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Basen / Matrizen: Idee / Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:25 Mi 16.12.2009
Autor: chesn

Aufgabe
Sei $V$ ein $K$-Vektorraum der Dimension $n < [mm] \infty [/mm] $ und
$S = [mm] (s_{ji})_{1\le i,j \le n} \in M_n(K)$. [/mm]
Es sei weiter eine [mm] $v_1,...,v_n$ [/mm] eine Basis von V und für $i=1,...,n$ sei

[mm] $w_i [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n} s_{ji}v_j [/mm] $

Zeigen Sie: [mm] $w_1,...,w_n$ [/mm] ist eine Basis von $V [mm] \gdw [/mm] S [mm] \in Gl_n(K) [/mm] $

Hallo!

Denke mal hier ist mit $S$ eine Permutationsgruppe gemeint?!
Determinanten sind noch nicht so weit "bekannt", dass man damit arbeiten könnte.

Naja mal zu meiner vorläufigen Lösung:


Sei [mm] $v_1,...,v_n [/mm] =: B$ und [mm] $M_B$ [/mm] die Darstellungsmatrix von $B$.
Sei [mm] $w_1,...,w_n [/mm] =: W$ und [mm] $M_W$ [/mm] die Darstellungsmatrix von $W$
Sei [mm] $M_S [/mm] =: [mm] \summe_{j=1}^{n} s_{ji}$ [/mm]

Kann ich das so machen? Muss ich das irgendwie begründen?

Also kann ich [mm] $w_i [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n} s_{ji}v_j [/mm] $ mit meinen Definitionen darstellen als [mm] $M_W [/mm] = [mm] M_S [/mm] * [mm] M_B$ [/mm]

Äquivalenzbeweis: [mm] $w_1,...,w_n$ [/mm] ist eine Basis von $V [mm] \gdw [/mm] S [mm] \in Gl_n(K) [/mm] $

$" [mm] \Rightarrow [/mm] "$

[mm] $M_W [/mm] = [mm] M_S [/mm] * [mm] M_B$ [/mm] lässt sich umformen zu [mm] $M_W [/mm] * [mm] M_B^{-1}= M_S$ [/mm]
Da [mm] $M_W$ [/mm] und [mm] $M_B$ [/mm] Basen darstellen, das Inverse einer Basis wieder eine Basis ist und das Produkt zweier Basen ebenfalls wieder eine Basis ist, folgt daraus [mm] $M_S$ [/mm] ist ebenfalls eine Basis.
Damit ist [mm] $M_S$ [/mm] maximal linear unabhängiges Erzeugendsystem mit dem Rang n und damit eine $ n [mm] \times [/mm] n $ Matrix, also nach Definition invertierbar. [mm] $\Rightarrow [/mm] S [mm] \in Gl_n(K)$ [/mm]


$" [mm] \Leftarrow [/mm] "$

[mm] $M_S$ [/mm] ist invertierbar. [mm] \Rightarrow $M_S$ [/mm] ist linear unabhängiges EZS.

Problem: Wie zeige ich sinnvoll, dass [mm] M_S [/mm] eine $ n [mm] \times [/mm] n $ Matrix ist? Kann ja genau so gut eine $ m [mm] \times [/mm] m $ Matrix sein mit $m < n$ und damit wäre sie keine Basis von $V$. Habe folgendes versucht:

[mm] $w_i [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n} s_{ji}v_j [/mm] $ ist in der Aufgabenstellung vorgegeben.
Hätte [mm] $M_S$ [/mm] nicht den Rang $n$, wäre die Multiplikation mit einer Basis mit Rang $n$ nicht möglich, das wäre ein Widerspruch zur Aufgabenstellung.

Aus [mm] $rg(M_S)=n$ [/mm] und der linearen Unabhängigkeit von [mm] $M_S$ [/mm] folgt:

[mm] $M_S$ [/mm] ist eine Basis von V und [mm] $M_W$ [/mm] ist somit das Produkt zweier Basen von V. Damit folgt weiter: [mm] $M_W$ [/mm] ist ebenfalls Basis von $V$.

[mm] $\Rightarrow w_1,...,w_n$ [/mm] ist eine Basis von $V$

[mm] $w_1,...,w_n$ [/mm] ist eine Basis von $V [mm] \gdw [/mm] S [mm] \in Gl_n(K) [/mm] $ gezeigt.

q.e.d.

Anmerkung: Bin etwas verunsichert durch diese Permutationsgruppe. Habe ich irgendetwas in dem Zusammenhang nicht berücksichtigt? Bin damit noch nicht so gut vertraut.

Vielen, vielen Dank schonmal!!


        
Bezug
Basen / Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:04 Do 17.12.2009
Autor: angela.h.b.


> Sei [mm]V[/mm] ein [mm]K[/mm]-Vektorraum der Dimension [mm]n < \infty[/mm] und
> [mm]S = (s_{ji})_{1\le i,j \le n} \in M_n(K)[/mm].
> Es sei weiter eine [mm]v_1,...,v_n[/mm] eine Basis von V und für
> [mm]i=1,...,n[/mm] sei
>  
> [mm]w_i = \summe_{j=1}^{n} s_{ji}v_j[/mm]
>  
> Zeigen Sie: [mm]w_1,...,w_n[/mm] ist eine Basis von [mm]V \gdw S \in Gl_n(K)[/mm]
>  
> Hallo!
>  
> Denke mal hier ist mit [mm]S[/mm] eine Permutationsgruppe gemeint?!

Nein, sondern so, wie's dasteht: eine nxn-Matrix mit Einträgen aus dem Körper K.

Die Aufgabe mal in ein konkretes Beispiel übersetzt.

Der [mm] \IR^2 [/mm] ist ein VR der Dimension 2 über [mm] \IR, S:=\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] eine invertierbare 2x2-Matrix, und [mm] (\vektor{1\\6}, \vektor{1\\5}) [/mm] eine Basis des [mm] \IR^2. [/mm]

Die Aussage (Rückrichtung):

Es ist [mm] w_1:=1*\vektor{1\\6}+3 \vektor{1\\5}, w_2:=2\vektor{1\\6}+4 \vektor{1\\5} [/mm] ebenfalls eine Basis des [mm] \IR^2. [/mm]



>  Determinanten sind noch nicht so weit "bekannt", dass man
> damit arbeiten könnte.
>  
> Naja mal zu meiner vorläufigen Lösung:
>  
>
> Sei [mm]v_1,...,v_n =: B[/mm] und [mm]M_B[/mm] die Darstellungsmatrix von [mm]B[/mm].
>  Sei [mm]w_1,...,w_n =: W[/mm] und [mm]M_W[/mm] die Darstellungsmatrix von [mm]W[/mm]
>  Sei [mm]M_S =: \summe_{j=1}^{n} s_{ji}[/mm]

An dieser Stelle paßt etwas nicht mehr.
Du summierst hier die Elemente der i-ten Spalte der Matrix S.

In meinem Beispiel oben wäre ich nun etwas ratlos, ob [mm] M_S=4 [/mm] oder =6 sein soll.

Gruß v. Angela

>  
> Kann ich das so machen? Muss ich das irgendwie begründen?
>
> Also kann ich [mm]w_i = \summe_{j=1}^{n} s_{ji}v_j[/mm] mit meinen
> Definitionen darstellen als [mm]M_W = M_S * M_B[/mm]
>  
> Äquivalenzbeweis: [mm]w_1,...,w_n[/mm] ist eine Basis von [mm]V \gdw S \in Gl_n(K)[/mm]
>  
> [mm]" \Rightarrow "[/mm]
>  
> [mm]M_W = M_S * M_B[/mm] lässt sich umformen zu [mm]M_W * M_B^{-1}= M_S[/mm]
>  
> Da [mm]M_W[/mm] und [mm]M_B[/mm] Basen darstellen, das Inverse einer Basis
> wieder eine Basis ist und das Produkt zweier Basen
> ebenfalls wieder eine Basis ist, folgt daraus [mm]M_S[/mm] ist
> ebenfalls eine Basis.
>  Damit ist [mm]M_S[/mm] maximal linear unabhängiges Erzeugendsystem
> mit dem Rang n und damit eine [mm]n \times n[/mm] Matrix, also nach
> Definition invertierbar. [mm]\Rightarrow S \in Gl_n(K)[/mm]
>
>
> [mm]" \Leftarrow "[/mm]
>  
> [mm]M_S[/mm] ist invertierbar. [mm]\Rightarrow[/mm]  [mm]M_S[/mm] ist linear
> unabhängiges EZS.
>  
> Problem: Wie zeige ich sinnvoll, dass [mm]M_S[/mm] eine [mm]n \times n[/mm]
> Matrix ist? Kann ja genau so gut eine [mm]m \times m[/mm] Matrix
> sein mit [mm]m < n[/mm] und damit wäre sie keine Basis von [mm]V[/mm]. Habe
> folgendes versucht:
>
> [mm]w_i = \summe_{j=1}^{n} s_{ji}v_j[/mm] ist in der
> Aufgabenstellung vorgegeben.
>  Hätte [mm]M_S[/mm] nicht den Rang [mm]n[/mm], wäre die Multiplikation mit
> einer Basis mit Rang [mm]n[/mm] nicht möglich, das wäre ein
> Widerspruch zur Aufgabenstellung.
>  
> Aus [mm]rg(M_S)=n[/mm] und der linearen Unabhängigkeit von [mm]M_S[/mm]
> folgt:
>  
> [mm]M_S[/mm] ist eine Basis von V und [mm]M_W[/mm] ist somit das Produkt
> zweier Basen von V. Damit folgt weiter: [mm]M_W[/mm] ist ebenfalls
> Basis von [mm]V[/mm].
>  
> [mm]\Rightarrow w_1,...,w_n[/mm] ist eine Basis von [mm]V[/mm]
>  
> [mm]w_1,...,w_n[/mm] ist eine Basis von [mm]V \gdw S \in Gl_n(K)[/mm]
> gezeigt.
>  
> q.e.d.
>  
> Anmerkung: Bin etwas verunsichert durch diese
> Permutationsgruppe. Habe ich irgendetwas in dem
> Zusammenhang nicht berücksichtigt? Bin damit noch nicht so
> gut vertraut.
>  
> Vielen, vielen Dank schonmal!!
>  


Bezug
                
Bezug
Basen / Matrizen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:02 Do 17.12.2009
Autor: chesn

jaa da hab ich mich wohl durch die letzte vorlesung verwirren lassen in der es ausschließlich um gewisse permutationen "S" ging.
werd nochmal ein bisschen rumbasteln, sollte ja kein problem sein solang der rest ok ist.

vielen dank nochmal!

Bezug
                        
Bezug
Basen / Matrizen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:41 Do 17.12.2009
Autor: chesn

was hab ich da auch für einen mist verzapft... :D
ersetze also [mm] $M_S$ [/mm] durch $ S $ und streiche die def. [mm] "$=:M_S$" [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Basen / Matrizen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:46 Do 17.12.2009
Autor: chesn

achja und S ist ja gemäß aufgabenstellung eine nxn matrix... hab ich auch irgendwie verpeilt.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de