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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:01 Sa 11.02.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Beweis von Proposition:
Seien W' und W'' zwei teilräume eines Vektorraums V. Dan existieren Basen B' von W' , B'' von W'' so dass B' [mm] \cup [/mm] B'' Basis von W' + W'' und B' [mm] \cap [/mm] B'' Basis von W' [mm] \cap [/mm] W'' |
Wir haben den Beweis in der VOrlesung gemacht, jedoch verstehe ich ihn so gar nicht. Habt ihr einen Suchbegriff, mit dem ich im Internet nachschauen könnte?
Bew.:
Sei W=W' [mm] \cup [/mm] W'' Teilraum und W' + W''
So existiert ein ein zu W komplementärer Teilraum U [mm] \in [/mm] W' +W'' sodass
W' + W'' = [mm] W\oplus [/mm] U
> Hier ist mir unklar, warum W [mm] \oplus [/mm] U gleich W'+W'' ist!!
Seien U':= W' [mm] \cap [/mm] U, [mm] U'':=W''\cap [/mm] U
> wie wissen wir das?
Behauptung: W'=W [mm] \oplus [/mm] U', W''=W [mm] \oplus [/mm] U'', U=U' [mm] \oplus [/mm] U''
> Okay die muss man nachweisen, aber wie kommt man drauf, dass man genau diese nachweisen muss? Für mich sind diese aus der luft gegeriffen..
B..Basis voN W
C'..Basis von U'
C''...Basis vun U''
-> B'= B [mm] \cup [/mm] C' Basis von W [mm] \oplus [/mm] U'=W'
-> B''=B [mm] \cup [/mm] C'' Basis von W [mm] \oplus [/mm] U'' =W''
->U=C' [mm] \cup [/mm] C'' Basis von U' [mm] \oplus [/mm] U''=U
> Klar ;)
B' [mm] \cup [/mm] B'' = B [mm] \cup [/mm] (C' [mm] \cup [/mm] C'') Basis von W [mm] \oplus [/mm] U =W' + W''
B' [mm] \cap [/mm] B''=B Basis von W=W' [mm] \cup [/mm] W''
> Klar ;) Also noch zu zeigen dass unsere Behauptungen stimmen
1
ZZ. W [mm] \cap [/mm] U' [mm] =\{0\}
[/mm]
W [mm] \cap [/mm] U' [mm] \subseteq [/mm] W [mm] \cap [/mm] U [mm] =\{0\} [/mm] =>W [mm] \cap [/mm] U' [mm] =\{0\}
[/mm]
> Warum gilt W [mm] \cap [/mm] U' [mm] \subseteq [/mm] W [mm] \cap [/mm] U ???
ZZ: W + U' =W'
W + U' [mm] \subseteq [/mm] W' + W' =W'
> Warum gilt W + U' [mm] \subseteq [/mm] W' + W' ???
W' [mm] \subseteq [/mm] W + U' denn:
sei w' [mm] \in [/mm] W' => [mm] \exists [/mm] w [mm] \in [/mm] W : [mm] \exists [/mm] u [mm] \in [/mm] U: w' =w+u
=> u= w' - w [mm] \in [/mm] w' da w auch [mm] \in [/mm] W' und W' ist ein Teilraum.
=> u=w'-w [mm] \in [/mm] U [mm] \cap [/mm] W' =U' => u [mm] \in [/mm] U', w' = w + u
> Alles klar bis auf: u=w'-w [mm] \in [/mm] U [mm] \cap [/mm] W'
zwei und drei heb ich mir mal auf ;)
Liebe Grüße
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> Beweis von Proposition:
> Seien W' und W'' zwei teilräume eines Vektorraums V. Dan
> existieren Basen B' von W' , B'' von W'' so dass B' [mm]\cup[/mm]
> B'' Basis von W' + W'' und B' [mm]\cap[/mm] B'' Basis von W' [mm]\cap[/mm]
> W''
> Wir haben den Beweis in der VOrlesung gemacht, jedoch
> verstehe ich ihn so gar nicht. Habt ihr einen Suchbegriff,
> mit dem ich im Internet nachschauen könnte?
Hallo,
ob der Satz einen bestimmten Namen hat, kann ich nicht sagen, auf jeden Fall gehört er zum Thema "Summen und Durchschnitten von Teilräumen", und er wird sich im Vorfeld der entsprechenden Dimensionsformel finden.
Zunächst mal wäre wichtig, daß Du den Inhalt des Satzes verstehst.
Du solltest ihn Dir mal - sofern noch nicht geschehen - an einem Beispiel klarmachen, etwa für [mm] V:=\IR^3,
[/mm]
[mm] W'=<\vektor{1\\0\\0},\vektor{1\\1\\0}>, W''=<\vektor{1\\2\\3},\vektor{1\\1\\1}>, [/mm] Dir W'+W'', [mm] W'\cap [/mm] W' hinschreiben und mal gucken, ob Du Basen wie gefordert findest.
Danach könntest Du mal den Beweis parallel an diesem Beispiel nachvollziehen, also alles, was dort getan wird, mit Dein
>
> Bew.:
> Sei W=W' [mm]\cup[/mm] W'' Teilraum
Das ist i.a. nicht der Fall.
Es muß hier [mm] W=W'\red{\cap}W'' [/mm] heißen.
> und W' + W''
> So existiert ein ein zu W komplementärer Teilraum U [mm]\in[/mm] W' +W'' sodass
> W' + W'' = [mm]W\oplus[/mm] U
> Hier ist mir unklar, warum W [mm]\oplus[/mm] U gleich W'+W''
> ist!!
Du wählst ihn so!
Es ist W [mm] \subseteq [/mm] W'+W'', ein Satz aus der Vorlesung garantiert Dir die Existenz solch eines komplementären Teilraumes U, und man sagt: gut, so einen nehme ich jetzt.
>
> Seien U':= W' [mm]\cap[/mm] U, [mm]U'':=W''\cap[/mm] U
> > wie wissen wir das?
Was heißt denn "wissen"?
Das wird definiert! Wir habendie Räume W', W'' und U, und nichts hindert uns daran, die Durchschnitte zu bilden und diesen Namen zu geben.
Ein Satz aus der Vorlesung garantiert uns, daß diese Durchschnitte Vektorräume sind.
>
> Behauptung: W'=W [mm]\oplus[/mm] U', W''=W [mm]\oplus[/mm] U'', U=U' [mm]\oplus[/mm] U''
> > Okay die muss man nachweisen, aber wie kommt man drauf,
> dass man genau diese nachweisen muss? Für mich sind diese
> aus der luft gegeriffen..
Ich glaube, daß Du dies verstehst, wenn Du wirklich im Vorfeld mal versuchst, in dem Beispiel oben passende Basen zu finden.
Ansonsten paßt natürlich auch hier die Standardantwort: man macht das, weil man erkannt hat, daß es funktioniert.
>
> B..Basis voN W
> C'..Basis von U'
> C''...Basis vun U''
> -> B'= B [mm]\cup[/mm] C' Basis von W [mm]\oplus[/mm] U'=W'
> -> B''=B [mm]\cup[/mm] C'' Basis von W [mm]\oplus[/mm] U'' =W''
> ->U=C' [mm]\cup[/mm] C'' Basis von U' [mm]\oplus[/mm] U''=U
> > Klar ;)
Nochmal in Worten: man nimmt die Basis des Schnittes und ergänzt sie so durch C' bzw. C'' , daß man eine Basis von W' bzw. W'' bekommt.
>
> B' [mm]\cup[/mm] B'' = B [mm]\cup[/mm] (C' [mm]\cup[/mm] C'') Basis von W [mm]\oplus[/mm] U =W'
> + W''
> B' [mm]\cap[/mm] B''=B Basis von W=W' [mm]\cup[/mm] W''
> > Klar ;) Also noch zu zeigen dass unsere Behauptungen
> stimmen
>
> 1
> ZZ. W [mm]\cap[/mm] U' [mm]=\{0\}[/mm]
> W [mm]\cap[/mm] U' [mm]\subseteq[/mm] W [mm]\cap[/mm] U [mm]=\{0\}[/mm] =>W [mm]\cap[/mm] U' [mm]=\{0\}[/mm]
> > Warum gilt W [mm]\cap[/mm] U' [mm]\subseteq[/mm] W [mm]\cap[/mm] U ???
Es ist U':= W' [mm] $\cap$ [/mm] U, also ist U' eine Teilmenge von U.
> ZZ: W + U' =W'
> W + U' [mm]\subseteq[/mm] W' + W' =W'
> > Warum gilt W + U' [mm]\subseteq[/mm] W' + W' ???
Es ist U':= W' [mm] $\cap$ [/mm] U, also ist U' eine Teilmenge von W'.
> W' [mm]\subseteq[/mm] W + U' denn:
> sei w' [mm]\in[/mm] W' => [mm]\exists[/mm] w [mm]\in[/mm] W : [mm]\exists[/mm] u [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U: w' =w+u
> => \red{u= w' - w [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
W' }da w auch [mm]\in[/mm] W' und W' ist ein
> Teilraum.
> => u=w'-w [mm]\in[/mm] U [mm]\cap[/mm] W' =U' => u [mm]\in[/mm] U', w' = w + u
> > Alles klar bis auf: u=w'-w [mm]\in[/mm] U [mm]\cap[/mm] W'
Naja: u ist aus U, und es wird doch festgestellt, daß u auch in W' ist.
Also ist u im Schnitt.
LG Angela
>
> zwei und drei heb ich mir mal auf ;)
>
> Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Sa 11.02.2012 | | Autor: | quasimo |
hallo,
ich danke dir schonmal vielmals!
2) Hab ich verstanden
3) Stecke ich bei der dritten Eigenschaft bei
ZuZeigen: U [mm] \subseteq [/mm] U' + U''
denn W'+W'' =(W+U')+(W+U'')=W+U'+U''
Sei nun [mm] u\in [/mm] U [mm] \subseteq [/mm] W' + W''
> Warum?u [mm] \subseteq [/mm] W' + W''
[mm] \exists [/mm] w [mm] \in [/mm] W, [mm] \exists [/mm] u' [mm] \in [/mm] U', [mm] \exists [/mm] u'' [mm] \in [/mm] U'', u=w+u'+u''
=>w=u+u'+u'' [mm] \in [/mm] U
=>w [mm] \in [/mm] W [mm] \cap [/mm] U [mm] =\{0\}=>u=0
[/mm]
=>u= u' + u'' dh u [mm] \in [/mm] U' + U''
> Klar.
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> hallo,
> ich danke dir schonmal vielmals!
>
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> 2) Hab ich verstanden
> 3) Stecke ich bei der dritten Eigenschaft bei
> ZuZeigen: U [mm]\subseteq[/mm] U' + U''
>
> denn W'+W'' =(W+U')+(W+U'')=W+U'+U''
> Sei nun [mm]u\in[/mm] U [mm]\subseteq[/mm] W' + W''
> > Warum?U [mm]\subseteq[/mm] W' + W''
Hallo,
weil U so gewählt war, daß W' + W'' = $ W +$ U .
LG Angela
>
> [mm]\exists[/mm] w [mm]\in[/mm] W, [mm]\exists[/mm] u' [mm]\in[/mm] U', [mm]\exists[/mm] u'' [mm]\in[/mm] U'',
> u=w+u'+u''
> =>w=u+u'+u'' [mm]\in[/mm] U
> =>w [mm]\in[/mm] W [mm]\cap[/mm] U [mm]=\{0\}=>u=0[/mm]
>
> =>u= u' + u'' dh u [mm]\in[/mm] U' + U''
> > Klar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:38 Sa 11.02.2012 | | Autor: | quasimo |
okay ;)
Jetzt macht das alles so langsam sinn ;))
Ich möcht das aber auch mit dem Bsp. verstehen.
W'= [mm] <\vektor{1\\ 0 \\0},\vektor{1\\ 1 \\0}>=\{\lambda*\vektor{1\\ 0 \\0}+ \mu \vektor{1\\ 1 \\0}| \labda, \mu \in \IR\}
[/mm]
[mm] W''=<\vektor{1\\ 2\\3},\vektor{1\\ 1 \\1}>=\{s*\vektor{1\\ 2\\3}+l*\vektor{1\\ 1 \\1}|s,l \in \}
[/mm]
W' + W'' = [mm] \vektor{\lambda+3 \mu\\2\mu\\ \mu} [/mm] + [mm] \vektor{s+l\\2s+l\\3s+l}
[/mm]
W' [mm] \cap [/mm] W''= [mm] \{-s\vektor{6\\ 4 \\2}|s\in \IR\}
[/mm]
Basis von W' + W'' ist ja die Vereinigung der basen von W' und W'' jedoch sind diese nicht alle linear unabhängig.
Also Basis von W'+W'' ist [mm] \vektor{1\\ 0 \\0},\vektor{1\\ 1 \\0},\vektor{1\\ 1 \\1}
[/mm]
Und Basis von W' [mm] \cap [/mm] W' weiß ich nicht, denn was ist der Durchschnitt der Basen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:52 Sa 11.02.2012 | | Autor: | jumape |
hi,
du suchst hier nicht den Durchschnitt der Basen sonder die Basis der Schnittmenge der Räume.
Die Basis besteht also, vorrausgesetzt du hast richtig gerechet, gerade aus dem Vektor (6,4,2)
Viele Grüße
jumape
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> Ich möcht das aber auch mit dem Bsp. verstehen.
> W'= [mm]<\vektor{1\\
0 \\
0},\vektor{1\\
1 \\
0}>=\{\lambda*\vektor{1\\
0 \\
0}+ \mu \vektor{1\\
1 \\
0}| \labda, \mu \in \IR\}[/mm]
>
> [mm]W''=<\vektor{1\\
2\\
3},\vektor{1\\
1 \\
1}>=\{s*\vektor{1\\
2\\
3}+l*\vektor{1\\
1 \\
1}|s,l \in \}[/mm]
>
> W' + W'' = [mm] \red{\{}\vektor{\lambda+3 \mu\\
2\mu\\
\mu} + \vektor{s+l\\
2s+l\\
3s+l}\red{| \lambda, \mu, s, l\in \IR\}}
[/mm]
> W' [mm]\cap[/mm] W''= [mm]\{-s\vektor{6\\
4 \\
2}|s\in \IR\}[/mm]
Hallo,
den Schnitt hast Du falsch ausgerechnet, denn offensichtlich ist [mm] \vektor{6\\4\\2} [/mm] nicht in W', was aber der Fall sein müßte.
>
>
> Basis von W' + W'' ist ja die Vereinigung der basen von W' und W''
Nein.
Die Vereinigung der beiden Basen ist ein Erzeugendensystem von W'+W''.
(Sorgfalt mit den Begriffen walten lassen!)
> jedoch sind diese nicht alle linear unabhängig.
Genau. Aber Du weißt ja, daß jedes Erzeugendensystem eine Basis enthält, und eine solche suchst Du Dir jetzt aus:
> Also Basis von W'+W'' ist [mm]\vektor{1\\
0 \\
0},\vektor{1\\
1 \\
0},\vektor{1\\
1 \\
1}[/mm]
>
> Und Basis von W' [mm]\cap[/mm] W' weiß ich nicht, denn was ist der
> Durchschnitt der Basen?
Der Durchschnitt der beiden bisher verwendeten Basen von W' und W'' ist leer.
Der Durchschnitt der beiden Räume sicher nicht.
Wir brauchen erst den Durchschnitt der Räume. Wenn wir den kennen, kennen wir seine Basis.
Ich weise nochmal auf jumapes Antwort hin: hättest Du den Schnitt richtig berechnet, wäre [mm] \vektor{6\\4\\2} [/mm] eine Basis des Schnittes.
Wie hast Du denn den Durchschnitt berechnet?
Rechne erneut. Falls Du wieder auf das Ergebnis von oben kommst, solltest Du mal vorrechnen.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 So 12.02.2012 | | Autor: | quasimo |
> W'= $ [mm] <\vektor{1\\ 0 \\ 0},\vektor{1\\ 1 \\ 0}>=\{\lambda\cdot{}\vektor{1\\ 0 \\ 0}+ \mu \vektor{1\\ 1 \\ 0}| \labda, \mu \in \IR\} [/mm] $
>
> $ [mm] W''=<\vektor{1\\ 2\\ 3},\vektor{1\\ 1 \\ 1}>=\{s\cdot{}\vektor{1\\ 2\\ 3}+l\cdot{}\vektor{1\\ 1 \\ 1}|s,l \in \} [/mm] $
>
W' + W'' = $ [mm] \red{\{}\vektor{\lambda+ \mu\\ \mu\\ 0} + \vektor{s+l\\ 2s+l\\ 3s+l}\red{| \lambda, \mu, s, l\in \IR\}} [/mm] $
W' [mm] \cap [/mm] W''= $ [mm] \{-s\vektor{2\\ 1 \\ 0}|s\in \IR\} [/mm] $
$ [mm] \vektor{1\\ 0 \\ 0},\vektor{1\\ 1 \\ 0},\vektor{1\\ 1 \\ 1} [/mm] $ ist Basis von W'+W''
> Der Durchschnitt der beiden bisher verwendeten Basen von W' und W'' ist leer.
> Der Durchschnitt der beiden Räume sicher nicht.
Jap.
Also [mm] \vektor{2\\ 1 \\ 0} [/mm] eine basis von W' [mm] \cap [/mm] W''
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> > W'= [mm]<\vektor{1\\
0 \\
0},\vektor{1\\
1 \\
0}>=\{\lambda\cdot{}\vektor{1\\
0 \\
0}+ \mu \vektor{1\\
1 \\
0}| \labda, \mu \in \IR\}[/mm]
>
> >
> > [mm]W''=<\vektor{1\\
2\\
3},\vektor{1\\
1 \\
1}>=\{s\cdot{}\vektor{1\\
2\\
3}+l\cdot{}\vektor{1\\
1 \\
1}|s,l \in \}[/mm]
>
> >
> W' + W'' = [mm]\red{\{}\vektor{\lambda+ \mu\\
\mu\\
0} + \vektor{s+l\\
2s+l\\
3s+l}\red{| \lambda, \mu, s, l\in \IR\}}[/mm]
>
> W' [mm]\cap[/mm] W''= [mm]\{-s\vektor{2\\
1 \\
0}|s\in \IR\}[/mm]
>
> [mm]\vektor{1\\
0 \\
0},\vektor{1\\
1 \\
0},\vektor{1\\
1 \\
1}[/mm]
> ist Basis von W'+W''
>
> > Der Durchschnitt der beiden bisher verwendeten Basen von W'
> und W'' ist leer.
> > Der Durchschnitt der beiden Räume sicher nicht.
> Jap.
> Also [mm]\vektor{2\\
1 \\
0}[/mm] eine basis von W' [mm]\cap[/mm] W''
Hallo,
ja, genau.
LG Angela
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:48 So 12.02.2012 | | Autor: | quasimo |
ich dank dir ;)
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