Basen des R3 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:13 Fr 15.02.2008 | | Autor: | tgouned |
| Aufgabe | | [mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{pmatrix} [/mm] |
Hallo,
wir haben am Dienstag unsere Mathe-Klausur (für Wirtschaftswissenschaftler) geschrieben. Eine Aufgabe lautete wie folgt:
Geben sie ALLE Basen des R3 an, die sich aus dieser 3x4-Matrix ergeben.
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
Nun habe ich jeweils 3 Spaltenvektoren als Tripel zusammengeschrieben.. eine Freundin sagt aber, die Lösung sei einfach
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] .
Was stimmt denn nun?
Gruß Chris
(Der Vollständigkeit halber: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:40 Fr 15.02.2008 | | Autor: | statler |
Hi Chris! ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
> wir haben am Dienstag unsere Mathe-Klausur (für
> Wirtschaftswissenschaftler) geschrieben. Eine Aufgabe
> lautete wie folgt:
>
> Geben sie ALLE Basen des R3 an, die sich aus dieser
> 3x4-Matrix ergeben.
>
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Nun habe ich jeweils 3 Spaltenvektoren als Tripel
> zusammengeschrieben.. eine Freundin sagt aber, die Lösung
> sei einfach
>
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> .
> Was stimmt denn nun?
Beides stimmt nicht. Es gibt 4 Möglichkeiten, aus den 4 Spalten 3 auszuwählen, indem ich nämlich jeweils eine Spalte wechlasse. Wenn ich Spalte 2, 3 oder 4 streiche, bleibt eine Basis übrig, wenn ich Spalte 1 aussondere, bleibt offensichtlich keine Basis übrig, weil alle ersten Koordinaten 0 sind.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Fr 15.02.2008 | | Autor: | tgouned |
Ich hoffe diese Antwort landet jetzt da wo sie hinsoll :)
Erstmal danke Dieter für die schnelle Antwort.
Ich denke wir meinen an sich beide das gleiche - mit "jeweils 3 Spaltenvektoren zu einem Tripel" meinte ich, dass ich als mögliche Basen
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
sowie die anderen 3 Vektorkombinationen angegeben habe.
Was mich aber jetzt noch interessiert - ist
[mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
(besteht aus den gleichen Vektoren, aber in einer anderen Reihenfolge)
die selbe Basis oder eine andere? Ansonsten gäbe es ja 4*3! = 24 Basen (und die habe ich zeitaufwändigerweise *g* als Lösung alle aufgeschrieben).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Fr 15.02.2008 | | Autor: | statler |
hi noch mal!
> Ich denke wir meinen an sich beide das gleiche - mit
> "jeweils 3 Spaltenvektoren zu einem Tripel" meinte ich,
> dass ich als mögliche Basen
>
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> sowie die anderen 3 Vektorkombinationen angegeben habe.
Die Kombination
[mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1},\vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm]
ist keine Basis!
> Was mich aber jetzt noch interessiert - ist
>
> [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> (besteht aus den gleichen Vektoren, aber in einer anderen
> Reihenfolge)
>
> die selbe Basis oder eine andere?
Das ist normalerweise dieselbe Basis, jjedenfalls, wenn man eine Basis als Menge auffaßt. Bei Mengen ist die Reihenfolge der Elemente unwichtig.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Fr 15.02.2008 | | Autor: | tgouned |
Da ich mir grad ein wenig dumm vorkomme, wollte ich dir eigentlich eine PN schicken, aber das geht leider nicht. :)
Wieso ist denn
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1},\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
kein Basis? Vermutlich sagst du jetzt was von linearer Abhängigkeit.. aber ich dachte (aus dem Schulunterricht), dass Vektoren mit Nullen an unterschiedlicher Stelle linear unabhängig sein müssen?
Gruß Chris
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 Fr 15.02.2008 | | Autor: | Sabah |
Hallo Chris
> Wieso ist denn
>
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1},\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> kein Basis? Vermutlich sagst du jetzt was von linearer
> Abhängigkeit..![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
aber ich dachte (aus dem Schulunterricht),
> dass Vektoren mit Nullen an unterschiedlicher Stelle linear
> unabhängig sein müssen?
Man sieht sehr einfach dass die Vektoren linearabhängig sind. Mit der ersten und zweiten vektor, kannst du die 3. Vektor erzeugen.
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