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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:07 Mi 22.03.2006 | | Autor: | KatjaHaack |
| Aufgabe | Ist linear unabhängig das Selbe wie Basis sein?
Wie viele linear unabhängige Vektoren gibt es im R3 höchstens? 1,2,3, oder 4?
Wie zeigt man die lineare Abhängigkeit von 4 gegebenen Vektoren?
Gib 4 verschiedene Basen des R3 an!
Was ist die Lösung eines linearen Gleichungssystems?
Kann man aus der Tatsache das die Gleichung x1(vektor)b1+...+xn(vektor)bn eindeutig lösbar ist folgern, dass die Vektoren (b1...bn) eine Basis bilden? |
Hallo!
Ich habe 6 Fragen in Bezug auf Basen und lineare Abhängigkeit. Es wäre schön wenn mir jemand bei der Beantwortung helfen könnte...
Danke liebe Grüße Katja
1. Ist linear unabhängig das Selbe wie Basis sein?
2. Wie viele linear unabhängige Vektoren gibt es im R3 höchstens? 1,2,3, oder 4?
3. Wie zeigt man die lineare Abhängigkeit von 4 gegebenen Vektoren?
4. Gib 4 verschiedene Basen des R3 an!
5. Was ist die Lösung eines linearen Gleichungssystems?
6. Kann man aus der Tatsache das die Gleichung x1(vektor)b1+...+xn(vektor)bn eindeutig lösbar ist folgern, dass die Vektoren (b1...bn) eine Basis bilden?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Wieso schreibst du deine Fragen denn gleich zweimal? Einmal hätte gereicht.
> 1. Ist linear unabhängig das Selbe wie Basis sein?
Nein! Alle Basisvektoren sind zwar laut Definition linear unabhängig, aber das reicht nicht, damit es auch Basisvektoren sind. Für eine Basis müssen die Vektoren auch noch ein Erzeugendensystem des Raums sein. Es gibt mehrere "Definitionen" für eine Basis:
Eine Basis ist:
- ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.
- ein minimales Erzeugendensystem (also von minimaler Größe)
- eine maximal linear unabhängige Menge von Vektoren
Ich glaub, da gab's noch etwas, aber das will mir im Moment nicht einfallen... ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
> 2. Wie viele linear unabhängige Vektoren gibt es im R3
> höchstens? 1,2,3, oder 4?
Im [mm] \IR^n [/mm] gibt es maximal n linear unabhängige Vektoren, demnach gibt es im [mm] \IR^3 [/mm] maximal 3.
> 3. Wie zeigt man die lineare Abhängigkeit von 4 gegebenen
> Vektoren?
Du stellst einen der Vektoren als Linearkombination der anderen dar.
> 4. Gib 4 verschiedene Basen des R3 an!
Na, das kannst du aber mal selber probieren - mindestens eine Basis sollte klar sein. Für die Basen muss halt immer gelten, dass die Vektoren alle linear unabhängig sind und den ganzen [mm] \IR^3 [/mm] erzeugen. Ach ja, und nimm keine großen Zahlen, es müsste alles nur mit Nullen und Einsen zu machen sein. 
> 5. Was ist die Lösung eines linearen Gleichungssystems?
Kannst du das etwas konkreter formulieren?
> 6. Kann man aus der Tatsache das die Gleichung
> x1(vektor)b1+...+xn(vektor)bn eindeutig lösbar ist folgern,
> dass die Vektoren (b1...bn) eine Basis bilden?
Ich sehe kein Gleichheitszeichen, demnach ist das Ganze keine Gleichung... Aber aus dem, was du vermutlich meinst, kann man nur folgern, dass die Vektoren linear unabhängig sind. Ob sie dann auch eine Basis bilden, hängt davon ab, ob sie auch ein Erzeugendensystem sind.
So, ich habe mich erstmal recht kurz gefasst, aber vielleicht hilft dir das ja schon. Bei weiteren Nachfragen wäre ein paar Beispiele sicher nicht verkehrt (die Fragen sind doch auch bestimmt bei gewissen Aufgaben entstanden, oder?) und vielleicht stellst du zu den einzelnen Teilen die weiteren Fragen extra - also hier im Strang, aber jedesmal mit einer neuen Frage, ansonsten könnte das etwas unübersichtlich werden.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:46 Mi 22.03.2006 | | Autor: | KatjaHaack |
Dnakeschön...
Das hilft mir erstmal gut weiter ich glaube ich habe den Ansatz den ich brauche!
Vielen Danke für die schnelle Antwort,
liebe Grüße Katja
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Ich habe leider doch noch eine Frage!
Gibt es eine Koordinatendarstellung für Geraden des R3?
Ich kenne nur die Parameterdarstellung...
Help!!
Lg Katja
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Hallo,
ja, die gibt es. Man kann sogar die eine in die andere umwandeln. Eine Korrdinatendarstellung einer Gerade kann dann so aussehen:
Aus der Vektorgleichung : x = a + k u der Parameterdarstellung der Geraden, folgt
[mm] x_{1}=a_{1}+k*u_{1}
[/mm]
[mm] x_{2}=a_{2}+k*u_{2}, [/mm] d.h. [mm] k=(x_{2}-a_{2})/u_{2} [/mm] .
Setzen wir dieses k in die erste Gleichung ein, erhält man
[mm] x_{1}=a_{1}+( x_{2}-a_{2} )*(u_{1}/u_{2}), [/mm] d.h.
[mm] u_{2}*x_{1}-u_{1}*x_{2}-(a_{1}*u_{2}-a_{2}*u_{1})=0 [/mm] , kurz
[mm] A*x_{1}+B*x_{2}+C=0 [/mm] .
Viele Grüße
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mi 22.03.2006 | | Autor: | KatjaHaack |
Alles klar!
Dankeschön....
Lg Katja
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