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| Aufgabe | Sei [mm]\varphi[/mm]: X-->X eine lineare Abbildung,
dim(X)=n und [mm]\varphi^n[/mm]=0,[mm]\varphi^{n-1}[/mm]
[mm]\not=[/mm]0
i) Zu zeigen: Es existiert ein [mm]x\in[/mm]X, sodass
B:= [mm]\left\{x,\varphi(x),...,\varphi^{n-1}(x)\right\}[/mm]
eine Basis von X ist.
ii) Bestimme die [mm]\varphi[/mm] zugeordnete Matrix
bzgl. B.
iii) Bestimme Rg([mm]\varphi[/mm]) und eine Basis von
Ker ([mm]\varphi[/mm]) |
Hallo,
also bei meiner Aufgabenstellung bräuchte ich v.a. zu der i) nen echt guten Tipp und vllt auch etwas Hilfe, da ich da wirklich nicht weiß, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll. Wäre voll nett, wenn mir da jemand helfen könnte.
Lg
zimtschnecke
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> Sei [mm]\varphi[/mm]: X-->X eine lineare Abbildung,
> dim(X)=n und [mm]\varphi^n[/mm]=0,[mm]\varphi^{n-1}[/mm] [mm]\not=[/mm]0
>
> i) Zu zeigen: Es existiert ein [mm]x\in[/mm]X, sodass
> B:= [mm]\left\{x,\varphi(x),...,\varphi^{n-1}(x)\right\}[/mm]
> eine Basis von X ist.
> Hallo,
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> also bei meiner Aufgabenstellung bräuchte ich v.a. zu der
> i) nen echt guten Tipp und vllt auch etwas Hilfe, da ich da
> wirklich nicht weiß, wie ich an diese Aufgabe rangehen
> soll. Wäre voll nett, wenn mir da jemand helfen könnte.
Hallo,
was bedeutet es denn, wenn [mm] \varphi^{n-1} \not=0 [/mm] ?
Gruß v. Angela
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Also wenn [mm]\varphi^{n^-1}\not=[/mm]0 ist müsste dass ja bedeuten, dass auch dim(X-1)=n-1 gilt und damit, dass, sobald die Dimension von X um eins kleiner ist, [mm]\varphi[/mm] nicht mehr auf die 0 abgebildet wird, oder?
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> Also wenn [mm]\varphi^{n^-1}\not=[/mm]0 ist müsste dass ja
> bedeuten, dass auch dim(X-1)=n-1
Hallo,
was meinst Du damit? Was soll X-1 sein?
> gilt und damit, dass,
> sobald die Dimension von X um eins kleiner ist,
???
> [mm]\varphi[/mm]
> nicht mehr auf die 0 abgebildet wird, oder
[mm] \varphi [/mm] wird überhaupt nicht abgebildet. [mm] \varphi [/mm] bildet ab.
[mm] \varphi [/mm] ist doch eine lineare Abbildung, welche Elemente des n-dimensionalen Vektorraumes X auf Elemente von X abbildet, also [mm] \varphi: X\to [/mm] X.
Ist Dir klar, was mit [mm] \varphi^k [/mm] gemeint ist? Dies [mm] \underbrace{\varphi\circ\varphi\circ ... \circ \varphi}_{k-mal}.
[/mm]
Wenn da nun steht, daß [mm] \varphi^{n-1}\not=0, [/mm] dann bedeutet das, daß die lineare Abbildung [mm] \varphi^{n-1} [/mm] nicht die Nullabbildung ist.
Also gibt es ein [mm] x\in [/mm] X mit ???
Gruß v. Angela
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> Wenn da nun steht, daß [mm]\varphi^{n-1}\not=0,[/mm] dann bedeutet
> das, daß die lineare Abbildung [mm]\varphi^{n-1}[/mm] nicht die
> Nullabbildung ist.
Das meinte ich mit:
[mm]\varphi[/mm]
> > nicht mehr auf die 0 abgebildet wird, oder
nur, dass ich mich da wohl leider fachlich falsch ausgedrückt habe *sry*
> Also gibt es ein [mm]x\in[/mm] X mit ???
[mm]\varphi(x)\not=[/mm]0 ?
Hoffe, dass is richtig, habe da nämlich noch so meine Probleme in der Thematik
>
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Hallo,
stell Rückfragen als fragen, also mit rotem kasten, damit sie von allen beachtet werden.
> > Wenn da nun steht, daß [mm]\varphi^{n-1}\not=0,[/mm] dann bedeutet
> > das, daß die lineare Abbildung [mm]\varphi^{n-1}[/mm] nicht die
> > Nullabbildung ist.
>
> Das meinte ich mit:
> [mm]\varphi[/mm]
> > > nicht mehr auf die 0 abgebildet wird, oder
>
> nur, dass ich mich da wohl leider fachlich falsch
> ausgedrückt habe *sry*
>
> > Also gibt es ein [mm]x\in[/mm] X mit ???
>
> [mm]\varphi(x)\not=[/mm]0 ?
Zunächst mal reden wir ja gerade über die Funktion [mm] \varphi^{n-1}.
[/mm]
Es gibt ein x mit [mm] \varphi^{n-1}(x)\not=0, [/mm] und wenn man weiterdenkt, dann stellt man fest, daß für alle [mm] k\le [/mm] n-1 gilt [mm] \varphi^k(x)\not=0.
[/mm]
Nun liegt es doch nahe, einfach mal einen Versuchsballon zu starten, und nachzuschauen, ob das womöglich schon das x ist, von dessen Existenz in der Aufgabe die Rede ist.
Gruß v. Angela
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Wenn, es dass x wäre, von dem die Rede ist, dann müsste es ja eine Linearkombination sein, die linear unabhängig ist, damit auch phi(x) linear unabhängig ist und sich damit eine basis bildet, oder?
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Hallo,
> Wenn, es dass x wäre, von dem die Rede ist, dann müsste
> es ja eine Linearkombination sein, die linear unabhängig
> ist,
Es gibt keine linear unabhängigen Linearkombinationen.
Ich kenne linear unabhängige Familien von Vektoren.
>damit auch phi(x) linear unabhängig ist
wovon?
> und sich
> damit eine basis bildet, oder?
???
Ich verstehe nicht, was Du sagen willst.
Wir hatten festgestellt, daß ein [mm] x\in [/mm] X existiert mit [mm] x\not=0 [/mm] und [mm] \phi^{n-1}(x)\not=0.
[/mm]
Wenn Du zeigen willst, daß [mm] (x,\phi(x), ...,\phi^{n-1}(x)) [/mm] linear unabhängig ist, was ist dann zu tun?
Gruß v. Angela
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hallo angela,
wollte mich für deine Mühen bedanken, mir dass auch verständlich beizubringen, aber ich hatte doch noch das Glück, dass jemand aus meinem Bekanntenkreis mir das nochmals erklärenb konnte wie man die Aufgabe i) beweisen kann.
Vielen Dank trotzdem, dass dir die Mühe gemacht hast, mir das wirklich verständlich zu machen.
Lg
zimtschnecke
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