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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Fr 16.02.2007 | | Autor: | MauriceP |
| Aufgabe | Seien:
[mm] q_1,...,q_d [/mm] eine endliche komplexe Folge mit [mm] q_0=1 [/mm] und q die zugehörige erzeugende Funktion, also [mm] q(z)=1+q_1z+...+q_dz^d, [/mm] sowie [mm] q(z)=(1-x_1z)^{y_1}(1-x_2z)^{y_2}...(1-x^kz)^{y_k}, [/mm] wobei [mm] x_i [/mm] die Nullstellen des rekursiven Polynoms [mm] q^R [/mm] und [mm] y_i [/mm] deren Vielfachheiten sind, i=1,...,k;
[mm] f:\mathbb{N}_0\rightarrow \mathbb{C} [/mm] eine rekursiv bestimmte Zählfunktion.
Dann existieren Vektorräume
[mm] V_1:=\{f:f(n+d)+q_1 f(n+d-1)+...+q_d f(n)=0\},\\
[/mm]
[mm] V_2:=\left\{f:F(z):=\sum_n f(n)z^n=\frac{p(z)}{q(z)}\right\}\\
[/mm]
mit [mm] \deg P
[mm] V_3:=\left\{f:F(z):=\sum_n f(n)z^n=\sum_{i=1}^k \frac{G_i(z)}{(1-x_iz)^{y_i}}\right\}
[/mm]
mit [mm] \deg G_i
[mm] V_4:=\left\{f:f(n)=\sum_{i=1}^k r_i(n)x_i^n\right\}
[/mm]
mit [mm] \deg r_i
Zeige, dass [mm] \dim V_i=d, [/mm] i=1,...,4. |
Für [mm] V_1 [/mm] und [mm] V_4 [/mm] müsste das recht einfach sein, wenn ichs richtig gemacht habe. Aber für [mm] V_2 [/mm] und [mm] V_3 [/mm] habe ich keine Idee.
Ich hatte schon Basen für die F(z) aufgeschrieben, als mir auffiel, dass ich ja den Raum der f aufspannen will, nicht F.
Hat jemand einen Tipp?
Es geht (wie man vielleicht sieht?) um die Lösung von Rekursionen (Kapitel 3 aus Martin Aigner: Diskrete Mathematik).
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:31 Sa 17.02.2007 | | Autor: | moudi |
Hallo Maurice
Wird [mm] $V_2$ [/mm] nicht durch die Funktionen [mm] $\frac{1}{q(z)},\frac{z}{q(z)},\dots,\frac{z^{d-1}}{q(z)}$ [/mm] erzeugt, die gleichzeitig eine Basis bilden.
Und [mm] $V_3=V_2$ [/mm] sind ja dieselben Vektorräume. Denn jede Funktion [mm] $\frac{p(z)}{q(z)}$ [/mm] mit $deg(p(z)<d$ kann man in der angegebenen Form als Partialbruchzerlegung darstellen.
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:44 Sa 17.02.2007 | | Autor: | MauriceP |
In Ordnung, das hatte ich auch zuerst, war mir aber unsicher ob der erzeugenden Funktion von f. Vielen Dank für's Angucken!
Die Vektorräume sind alle dieselben, aber um das zu zeigen brauchte ich eben die Dimensionen. Die Inklusion [mm] V_2\subseteq V_1 [/mm] hatte ich bewiesen, aber umgekehrt fiel es mir schwer dies schlüssig zu tun, daher wollte ich nur noch die Dimensionen vergleichen.
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