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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Basen von K-Vektorraum
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Basen von K-Vektorraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:22 Di 01.12.2009
Autor: Juliia

Guten Abend!
Heute habe ich  folgende  Aufgabe:
Es sei K ein Körper mit q Elementen. Weiter sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum.
a) Wieviele Elemente besitzt V?
b) Wieviele verschiedene Basen von V gibt es?
Also zu a)
q ist Anzahl der Elemente vom Körper. Sei [mm] b_{1},...b_{n} [/mm] eine Basis von V, so  hat jeder Vektor aus V eine eindeutige Basisdarstellung
[mm] (x_{1},...,x_{n}) [/mm] = [mm] x_{1} b_{1} [/mm] + ... + [mm] x_{n} b_{n} [/mm] mit Koordinaten aus K.
Es  gibt genau q Möglichkeiten, [mm] x_{1} [/mm] aus K zu wählen
Es  gibt genau q Möglichkeiten, [mm] x_{2} [/mm] aus K zu wählen
Es  gibt genau q Möglichkeiten, [mm] x_{n} [/mm] aus K zu wählen
also |V| = [mm] q^{n}. [/mm]
Damit  bin ich  schon  fertig mit a), oder?
Jetzt zu b) habe  ich  keine Ahnung....

        
Bezug
Basen von K-Vektorraum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:07 Di 01.12.2009
Autor: Juliia

Hallo, kann mir jemand helfen?......

Bezug
                
Bezug
Basen von K-Vektorraum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:49 Di 01.12.2009
Autor: angela.h.b.


> Hallo, kann mir jemand helfen?......

Hallo?

Findest Du es nicht etwas übertrieben, hier nach einer knappen Stunde schon nachzufragen?

Des weiteren stelle ich hier zum wiederholten Male fest, daß Du ein Cross-Post ohne Hinweis einstellst.

Halte Dich bitte in Zukunft an die Forenregeln.

Gruß v. Angela




Bezug
                        
Bezug
Basen von K-Vektorraum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:42 Mi 02.12.2009
Autor: Juliia

Äh, ich habe aber  diese  frage  nur  hier, in diesem Forum  gestellt....

Bezug
        
Bezug
Basen von K-Vektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:55 Di 01.12.2009
Autor: angela.h.b.


> Guten Abend!
>  Heute habe ich  folgende  Aufgabe:
>   Es sei K ein Körper mit q Elementen. Weiter sei V ein
> n-dimensionaler K-Vektorraum.
>  a) Wieviele Elemente besitzt V?
>  b) Wieviele verschiedene Basen von V gibt es?
>  Also zu a)
>  q ist Anzahl der Elemente vom Körper. Sei [mm]b_{1},...b_{n}[/mm]
> eine Basis von V, so  hat jeder Vektor aus V eine
> eindeutige Basisdarstellung
>  [mm](x_{1},...,x_{n})[/mm] = [mm]x_{1} b_{1}[/mm] + ... + [mm]x_{n} b_{n}[/mm] mit
> Koordinaten aus K.
>  Es  gibt genau q Möglichkeiten, [mm]x_{1}[/mm] aus K zu wählen
>  Es  gibt genau q Möglichkeiten, [mm]x_{2}[/mm] aus K zu wählen
>  Es  gibt genau q Möglichkeiten, [mm]x_{n}[/mm] aus K zu wählen
>  also |V| = [mm]q^{n}.[/mm]
>  Damit  bin ich  schon  fertig mit a), oder?

Hallo,

ja.

>  Jetzt zu b) habe  ich  keine Ahnung....

Du hast nun die Menge V mit ihren [mm] p^n [/mm] Vektoren.

Wieviele Vektoren hast Du für die Wahl des ersten Basisvektors zur Auswahl?

Was mußt Du bei der Wahl des nächsten Basisvektors beachten?

[Übrigens hast Du doch im anderen Forum einen ganz guten Hinweis bekommen zur Lösung der Aufgabe.

Warum machst Du dort nicht weiter oder postest zumindest das, was Du Dir daraufhin überlegt hast, hier?]

Gruß v. Angela


Bezug
                
Bezug
Basen von K-Vektorraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:05 Mi 02.12.2009
Autor: Juliia

Ich weiss das nicht, vielleicht [mm] q^{n}... [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Basen von K-Vektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:21 Do 03.12.2009
Autor: felixf

Hallo!

> Ich weiss das nicht, vielleicht [mm]q^{n}...[/mm]  

Du willst also auch den Nullvektor (der auch zu den [mm] $q^n$ [/mm] Vektoren im Vektorraum gehoert) also auch als ersten Basisvektor zulassen? Ueberleg hier nochmal genauer.

(Uebrigens: schau dir mal den Basisfortsetzungssatz an.)

LG Felix



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Bezug
Basen von K-Vektorraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:08 Do 03.12.2009
Autor: Juliia

Hallo!
Also, habe folgendes rausbekommen, weiss aber nicht  o es richtig ist.
Basis [mm] (b_{1},b_{2}, [/mm] ...., [mm] b_{n}) [/mm]
Es gibt [mm] q^{n-1} [/mm] Möglichkeiten [mm] b_{1} [/mm] aus V zu wählen. der zu Basis gehört und für sich genommen linear unabhängig ist (Nullvektor fäjjt raus, deswegen -1)
Für [mm] b_{2} [/mm] ergeben sich [mm] q^{n} [/mm] - q Möglichkeiten
Für [mm] b_{3} [/mm] ergeben sich  [mm] q^{n} [/mm] - [mm] q^{2} [/mm] Möglichkeiten usw.
Es gibt nämlich q Möglichkeiten [mm] b_{1} [/mm] aufzuspannen (linear abhängig, daher fallen sie weg)
Für [mm] b_{2} [/mm] sind es dann schon [mm] q^{2} [/mm] Möglichkeiten usw.
Daher gilt für die Anzahl der Basen von V [mm] \produkt_{k=0}^{n-1}(q^{n} [/mm] - [mm] q^{k}) [/mm]
Ist es so richtig, anders kann ich das nicht aufschreiben....

Bezug
                                        
Bezug
Basen von K-Vektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:27 Do 03.12.2009
Autor: angela.h.b.


> Hallo!
>  Also, habe folgendes rausbekommen, weiss aber nicht  o es
> richtig ist.
>  Basis [mm](b_{1},b_{2},[/mm] ...., [mm]b_{n})[/mm]
>  Es gibt [mm]q^{n-1}[/mm] Möglichkeiten [mm]b_{1}[/mm] aus V zu wählen. der
> zu Basis gehört und für sich genommen linear unabhängig
> ist (Nullvektor fäjjt raus, deswegen -1)

Hallo,

Du meinst sicher [mm] q^n-1 [/mm] Möglichkeiten, oder?

>  Für [mm]b_{2}[/mm] ergeben sich [mm]q^{n}[/mm] - q Möglichkeiten

Ja.

>  Es gibt nämlich q Möglichkeiten [mm]b_{1}[/mm] aufzuspannen

Nicht ganz: es sind bloß q-1 Vektoren, die den Raum [mm] [/mm] darzustellen.
Aber da wir den Nullvektor auch mit fortnehmen müssen, müssen q Vektoren raus.
Oder anders gesagt: es gibt q Vektoren, die Linearkombinationen von [mm] b_1 [/mm] sind, und die müssen raus, damit man als 2. Vektor garantiert einen erwischt, der von [mm] b_1 [/mm] linear unabhängig ist.

> (linear abhängig, daher fallen sie weg)

Ja.

>  Für [mm]b_{3}[/mm] ergeben sich  [mm]q^{n}[/mm] - [mm]q^{2}[/mm] Möglichkeiten

Genau

>  Für [mm]b_{2}[/mm] sind es dann schon [mm]q^{2}[/mm] Möglichkeiten usw.

Du mußt natürlich für Deine Chefs ausführen, von welchen Möglichkeiten Du redest.
Ich weiß das zwar - und sie auch, aber sie wollen es genau erklärt haben, was das für [mm] q^2 [/mm] Vektoren sind, die Du rausnimmst und warum.


> usw.

>  Daher gilt für die Anzahl der Basen von V
> [mm]\produkt_{k=0}^{n-1}(q^{n}[/mm] - [mm]q^{k})[/mm]
>  Ist es so richtig,

Vom Prinzip her auf jeden Fall.

Ich würde noch erwarten, daß in einer Vorbemerkung gezeigt wird, daß man auf diese Weise wirklich n linear unabhängige Vektoren bekommt - aber je nachdem, was Du genau studierst, ist es vielleicht auch nicht nötig.

Aber egal was Du studierst: andere mal Dein Profil so, daß man auf Dein Studienfach gucken kann, ohne daß man Augenkrebs bekommt.

Gruß v. Angela

Bezug
                
Bezug
Basen von K-Vektorraum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:39 Mi 02.12.2009
Autor: Juliia

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