Basenbestimmung mit Beweis < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 Di 18.12.2012 | | Autor: | Sqrt3 |
| Aufgabe | Es sei V = [mm] \IR³, [/mm] U = {(a+b,b,b-a) | a,b [mm] \in \IR [/mm] } und U' = {(x,y,z) [mm] \in \IR³ [/mm] | z = 2x + y}.
Besimmen Sie (mit Beweis!) Basen von U + U' , U [mm] \cap [/mm] U' , V/U und V/U'. |
Meine Frage ist jetzt, wie ich das für U+U' und U [mm] \cap [/mm] U' machen muss, denn für V/U und V/U' hätte ich einen Ansatz mit der Dimensionsformel, da ja:
(i) dim(V/U) = dim(V) - dim(U)
(ii) dim(V/U') = dim(V) - dim(U').
So wenn ich jetzt das verwende, was ich in der Aufgabenstellung gegeben habe , habe ich ja für
(i) dim(V/U) = 3 - 3 = 0 also ist V/U = {0} und damit der Nullvektor eine Basis von V/U. Oder?
(ii) dim(V/U') = 3 -3 = 0 also wie oben V/U' = {0} und den Nullvektor als Basis.
Würde mich freuen, wenn mir da jemand helfen könnte und sagen könnte, ob ich bei V/U und V/U' Fehler gemacht habe. Schon mal danke im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei V = [mm]\IR^3,[/mm] U = [mm] \{(a+b,b,b-a) | a,b \in \IR \} [/mm] und U' =
> [mm] {\(x,y,z) \in \IR^3 | z = 2x + y}.
[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du unterliegst einem riesengroßen Irrtum: Du glaubst, daß U und U' die Dimension 3 haben.
Das ist nicht der Fall.
Es sind sowohl U als auch U' Teilmengen vom [mm] \IR^3, [/mm] was Du daran sehen kannst, daß die Vektoren 3 Einträge haben, aber über die Dimension sagt das nichts (außer daß sie nicht größer als 3 sein kann).
Man kann zeigen, daß es sich bei U und U' jeweils um Untervektorräume des [mm] \IR^3 [/mm] handelt - dies zu tun, verlangt die Aufgabe nicht von Dir.
Laß uns nun mal überlegen, welche Dimension U' hat: da sind die Vektoren drin, die man schreiben kann als [mm] \vektor{x\\y\\2x+y}=x*\vektor{1\\0\\2}+y*\vektor{0\\1\\1}.
[/mm]
Offenbar erzeugen die beiden Vektoren [mm] \vektor{1\\0\\2}und \vektor{0\\1\\1} [/mm] den Unterraum U', und da sie offensichtlich auch linear unabhängig sind, haben wir mit ihnen eine Basis des U' gefunden und wissen nun: dim U'=2.
Nun kannst Du mal über die Dimension von U nachdenken.
Um über U+U' Aussagen machen zu können, müßtest Du Dir erstmal klarmachen, wie diese Menge definiert ist.
LG Angela
> Besimmen Sie (mit Beweis!) Basen von U + U' , U [mm]\cap[/mm] U' ,
> V/U und V/U'.
> Meine Frage ist jetzt, wie ich das für U+U' und U [mm]\cap[/mm] U'
> machen muss, denn für V/U und V/U' hätte ich einen
> Ansatz mit der Dimensionsformel, da ja:
> (i) dim(V/U) = dim(V) - dim(U)
> (ii) dim(V/U') = dim(V) - dim(U').
> So wenn ich jetzt das verwende, was ich in der
> Aufgabenstellung gegeben habe , habe ich ja für
> (i) dim(V/U) = 3 - 3 = 0 also ist V/U = {0} und damit der
> Nullvektor eine Basis von V/U. Oder?
> (ii) dim(V/U') = 3 -3 = 0 also wie oben V/U' = {0} und den
> Nullvektor als Basis.
> Würde mich freuen, wenn mir da jemand helfen könnte und
> sagen könnte, ob ich bei V/U und V/U' Fehler gemacht habe.
> Schon mal danke im Voraus.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:41 Mi 19.12.2012 | | Autor: | Sqrt3 |
Aso für U = {(a+b,b,b-a) | a,b [mm] \in \IR} [/mm] kann man ja alle Elementa als
[mm] \vektor{a+b \\ b \\ b-a} [/mm] = a * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] + b * [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] oder?
So und Mengen sind doch dadurch definiert, das jedes Element aus der einen Menge mit jedem Element aus der anderen Menge addiert wird. Also müsste U + U' doch dann u + u' sein, wenn u [mm] \in [/mm] U und u' [mm] \in [/mm] U'
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Aso für U = {(a+b,b,b-a) | a,b [mm]\in \IR}[/mm] kann man ja alle
> Elementa als
> [mm]\vektor{a+b \\
b \\
b-a}[/mm] = a * [mm]\vektor{1 \\
0 \\
-1}[/mm] + b * [mm]\vektor{1 \\
1 \\
1}[/mm] oder?
Hallo,
ja, genau.
Damit hast Du auch eine basis von U in den Händen.
> So und Mengen
Du meinst sicher: Summen von Mengen bzw. Summen von Unterräumen
> sind doch dadurch definiert, das jedes
> Element aus der einen Menge mit jedem Element aus der
> anderen Menge addiert wird. Also müsste U + U' doch dann u + u' sein, wenn u [mm]\in[/mm] U und u' [mm]\in[/mm] U' .
Genau. [mm] U+U':=\{u+u'| u\in U, u'\in U'\}.
[/mm]
Daran siehst Du, daß Du, wenn die die Basen von U und U' zusammenwirfst, ein Erzeugendensystem von U+U' hast.
Nun gilt es, "irgendwie" eine Basis dieses Raumes herauszufinden.
Falls Ihr den von wieschoo angesprochenen Zassenhausalgorithmus hattet, kannst Du Basen von U+U' und [mm] U\cap [/mm] U' in der Tat schnell damit herausfinden.
Wenn er nicht dran war, würde ich ihn nicht verwenden, sondern lieber ganz hausbacken an die Lösung der Aufgabe herangehen.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:18 Mi 19.12.2012 | | Autor: | Sqrt3 |
Vielen DAnk dan werde ich das jetzt mal versuchen aber wie muss ich dann bei V/U und V/U' arbeiten weil mein Ansatz da ja falsch war
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:50 Mi 19.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Vielen DAnk dan werde ich das jetzt mal versuchen aber wie
> muss ich dann bei V/U und V/U' arbeiten weil mein Ansatz da
> ja falsch war
Allgemein:
Ist V ein Vektorraum und U ein Untervektorraum von V, so bezeichne ich die Elemente von V/U mit
[mm] \hat{v} [/mm] (v [mm] \in [/mm] V)
Ist W ein Komplementärraum von U , also V=U [mm] \oplus [/mm] W, und B eine Basis von W, so ist
[mm] \{\hat{b}: b \in B\}
[/mm]
eine Basis von V/U.
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:00 Mi 19.12.2012 | | Autor: | Sqrt3 |
Woher kenne ich den Komplementärraum von U?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:03 Mi 19.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Woher kenne ich den Komplementärraum von U?
Suche und finde einen: Hast Du eine Basis von U ? Wenn ja, so ergänze diese zu einer Basis des [mm] \IR^3.
[/mm]
Hilft das ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:19 Mi 19.12.2012 | | Autor: | Sqrt3 |
ja das hilft danke
aber ich habe mich jetzt gerade nochmal mit U+U' beschäftigt und habe dann U+U'={u+u' | u [mm] \in [/mm] U, u' [mm] \in [/mm] U'} das wäre ja dann ( [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] + [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] ) und das ist ja dann { [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 3} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 2} [/mm] }. Und das ist ja ein Erzeugendensystem von U+U'. wie soll ich dann eine Basis bestimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:45 Mi 19.12.2012 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> ja das hilft danke
> aber ich habe mich jetzt gerade nochmal mit U+U'
> beschäftigt und habe dann U+U'={u+u' | u [mm]\in[/mm] U, u' [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U'}
> das wäre ja dann ( [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -1}[/mm] + [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 2}[/mm]
> , [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -1}[/mm] + [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm] , [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> + [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 2}[/mm] , [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] + [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> ) und das ist ja dann { [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 1}[/mm] , [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> , [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 3}[/mm] , [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}. Und das
> ist ja ein Erzeugendensystem von U+U'. wie soll ich dann
> eine Basis bestimmen?
Die obigen 4 Vektoren sind linear abhängig.
Finde 3 linear unabhängige.
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 Mi 19.12.2012 | | Autor: | Sqrt3 |
Vielen Dank ihr habt mir sehr geholfen
aber oben kam gerade, dass $ [mm] \{\hat{b}: b \in B\} [/mm] $ eine Basis von V/U ist wie kann ich mir das denn vorstellen?
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> Vielen Dank ihr habt mir sehr geholfen
> aber oben kam gerade, dass [mm]\{\hat{b}: b \in B\}[/mm] eine Basis
> von V/U ist wie kann ich mir das denn vorstellen?
Hallo,
Du ergänzt eine Basis von U zu einer Basis von V.
Die zu den ergänzenden Vektoren gehörenden Äquivalenzklassen sind eine Basis von V/U.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:06 Mi 19.12.2012 | | Autor: | Sqrt3 |
Gut dann hat sich das geklärt danke
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> ja das hilft danke
> aber ich habe mich jetzt gerade nochmal mit U+U'
> beschäftigt und habe dann U+U'={u+u' | u [mm]\in[/mm] U, u' [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U'}
> das wäre ja dann ( [mm]\vektor{1 \\
0 \\
-1}[/mm] + [mm]\vektor{1 \\
0 \\
2}[/mm] , [mm]\vektor{1 \\
0 \\
-1}[/mm] + [mm]\vektor{0 \\
1 \\
1}[/mm] , [mm]\vektor{1 \\
1 \\
1}[/mm] + [mm]\vektor{1 \\
0 \\
2}[/mm] , [mm]\vektor{1 \\
1 \\
1}[/mm] + [mm]\vektor{0 \\
1 \\
1}[/mm] )
Hallo,
nein, das stimmt nicht.
Weder besteht U+U' nur aus diesen 4 Vektoren,
noch bekommt man zwingend (!) ein Erzeugendensystem, wenn man "jeden zu jedem" addiert.
Gegenbeispiel:
sei [mm] U_1 [/mm] erzeugt von [mm] \vektor{1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\1},
[/mm]
sei [mm] U_2 [/mm] erzeugt von [mm] \vektor{-1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\-1}.
[/mm]
Offensichtlich ist [mm] U_1+U_2=\IR^2,
[/mm]
und ebenso offensichtlich ist [mm] \vektor{0\\0}, \vektor{1\\-1},\vektor{-1\\1} [/mm] kein Erzeugendensystem des [mm] \IR^2.
[/mm]
Du mußt Dir das mal richtig überlegen:
In Deinem U sind all die Vektoren, die Du als Linearkombination der beiden Basisvektoren [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] schreiben kannst,
in U' all die Vektoren, die Du als Linearkombination der Basisvektoren [mm] c_1, c_2 [/mm] schreiben kannst.
Also sind in U+U' all die Vektoren, die man als Linearkombination von [mm] b_1, b_2, c_1, c_2 [/mm] schreiben kann.
Die 4 Vektoren sind ein Erzeugendensystem von U+U', und Du mußt nun irgendwie eine Basis finden.
Nun, daß [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] linear unabhängig sind, weißt Du ja.
Nun kannst Du gucken, ob auch [mm] b_1, b_2, c_1 [/mm] linear unabhängig sind.
Wenn ja, nimmst Du [mm] c_2 [/mm] dazu und überlegst erneut,
wenn nein, dann prüftst Du [mm] b_1, b_2, c_2 [/mm] auf lineare Unabhängigkeit.
Man kann das auch schematisch mit dem Gaußalgorithmus machen - kommt halt drauf an, ob das dran war oder nicht. Wohl schon:
1. Möglichkeit:
stell die vier erzeugenden Vektoren als Spalten in eine Matrix, bring sie auf ZSF.
Schau, in welchen Spalten die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen. Die entsprechenden Spalten der Ursprungsmatrix sind eine Basis von U+U'.
2. Möglichkeit
leg die erzeugenden Vektoren als Zeilen in eine Matrix, bring sie auf ZSF. Transponiere die Matrix.
Die Nichtnullspalten sind eine Basis von U+U'.
LG Angela
> Und das
> ist ja ein Erzeugendensystem von U+U'. wie soll ich dann
> eine Basis bestimmen?
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:41 Mi 19.12.2012 | | Autor: | Aguero |
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> Man kann das auch schematisch mit dem Gaußalgorithmus
> machen - kommt halt drauf an, ob das dran war oder nicht.
> Wohl schon:
>
> 1. Möglichkeit:
> stell die vier erzeugenden Vektoren als Spalten in eine
> Matrix, bring sie auf ZSF.
> Schau, in welchen Spalten die führenden Elemente der
> Nichtnullzeilen stehen. Die entsprechenden Spalten der
> Ursprungsmatrix sind eine Basis von U+U'.
>
> 2. Möglichkeit
> leg die erzeugenden Vektoren als Zeilen in eine Matrix,
> bring sie auf ZSF. Transponiere die Matrix.
> Die Nichtnullspalten sind eine Basis von U+U'.
>
wenn die basis von
U = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm]
U´ = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
ist
wie genau soll ich dann bei den 2 Möglichkeiten vorgehen?
hast du lust das mal vorzumachen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Mi 19.12.2012 | | Autor: | Aguero |
Wie genau soll die Schreibweise der Basis eines Quotientenvektorraumes aussehen?
B_(V/U) { [ [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}] [/mm] }
oder
B_(V/U) { [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] }
also mit [] oder ohne? es soll ja die basis einer Äq.KLASSE sein!
danke :)
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Wie genau soll die Schreibweise der Basis eines
> Quotientenvektorraumes aussehen?
> B_(V/U) { [ [mm]\vektor{0 \\
0 \\
1}][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> oder
> B_(V/U) { [mm]\vektor{0 \\
0 \\
1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> also mit [] oder ohne? es soll ja die basis einer
> Äq.KLASSE sein!
Hallo,
es soll nicht die Basis einer Äquivalenzklasse sein, sondern eine Basis des Quotientenraumes/Faktorraumes, dessen Elemente Äquivalenzklassen sind.
Weil die Vektoren des Quotientenraumes Äquivalenzklassen sind, besteht natürlich auch die Basis aus Äquivalenzklassen.
Langer Rede kurzer Sinn: mit eckiger Klammer.
LG Angela
>
> danke :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:18 Mi 19.12.2012 | | Autor: | Aguero |
Danke Angela :D
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> >
> > Man kann das auch schematisch mit dem Gaußalgorithmus
> > machen - kommt halt drauf an, ob das dran war oder nicht.
> > Wohl schon:
> >
> > 1. Möglichkeit:
> > stell die vier erzeugenden Vektoren als Spalten in eine
> > Matrix, bring sie auf ZSF.
> > Schau, in welchen Spalten die führenden Elemente der
> > Nichtnullzeilen stehen. Die entsprechenden Spalten der
> > Ursprungsmatrix sind eine Basis von U+U'.
> >
> > 2. Möglichkeit
> > leg die erzeugenden Vektoren als Zeilen in eine
> Matrix,
> > bring sie auf ZSF. Transponiere die Matrix.
> > Die Nichtnullspalten sind eine Basis von U+U'.
> >
>
>
> wenn die basis von
> U = [mm]\vektor{1 \\
0 \\
-1}[/mm] und [mm]\vektor{1 \\
1 \\
1}[/mm]
> U´ = [mm]\vektor{1 \\
0 \\
2}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\
1 \\
1}[/mm]
> ist
>
> wie genau soll ich dann bei den 2 Möglichkeiten vorgehen?
> hast du lust das mal vorzumachen?
Hallo,
nein, dazu habe ich keine Lust, denn ich habe es oben beschrieben.
Ich würde Dir lieber beim Machen zugucken und ggf. weiterhelfen.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:54 Mi 19.12.2012 | | Autor: | wieschoo |
Der meist etwas stiefmütterlich behandelte Zassenhaus-Algorithmus kann dir da Arbeit abnehmen.
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