Basis? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:42 Mo 09.08.2004 | | Autor: | kai |
1) Bilden die folgenden Vektoren eine Basis?
v1 = 5e - 3e -2e ; v2 = 2e + 2e - 3e ; v3 = e - 4e + 2e
Muss ich dazu "nur" prüfen ob die vektoren unabhängig sind?
Wenn nicht, kann mir da mal jemand einen Tip geben wie man sowas löst? Hab da gar keine Idee zu.
2)Die folgenden Systeme von Spaltenvektoren erzeugen einen Unterraum im [mm] R^{5} [/mm] . Man ermittle die Dimension des Unterraums.(Hab die Spaltenvektoren zu Zeilenvektoren transponiert)
v1 = (2,1,0,0,3) v2 = (1,0,1,0,0) ; v3 = (1,1,0,2,1) ; v4 = (1,-1,1,-4,1)
Hierzu hab ich auch keine Idee wie man sowas lösen könnte. Für jede Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:47 Mo 09.08.2004 | | Autor: | andreas |
hi kai
fehlen bei aufgabe 1) nicht noch irgendwelche indizes hinter den e's?
sonst wäre doch z.b.
v1 = 5e - 3e -2e = 0e = 0?
andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Mo 09.08.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo kai
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
>
> 2)Die folgenden Systeme von Spaltenvektoren erzeugen einen
> Unterraum im [mm]R^{5}[/mm] . Man ermittle die Dimension des
> Unterraums.(Hab die Spaltenvektoren zu Zeilenvektoren
> transponiert)
>
> v1 = (2,1,0,0,3) v2 = (1,0,1,0,0) ; v3 = (1,1,0,2,1) ; v4 =
> (1,-1,1,-4,1)
>
> Hierzu hab ich auch keine Idee wie man sowas lösen könnte.
Dazu musst du einfach wissen, dass Vektoren linear abhängig sind, wenn der Nullvektor nur durch die Trivialdarstellung, also alle Komponenten Null, dargestellt werden kann. Da der Vektorraum isomorph zum Vektorraum ist, der durch die Koordinatenvektoren gebildet wird, kann die ganze Rechnerei mit den Koordinatenvektoren durchgeführt werden.
Wenn du dich daran erinnerst, dass unabhängige Vektoren unbhängig bleiben, wenn man zu einem der Vektoren eine beliebige Linearkombination der anderen addiert, kannst du einfach dass Gauss-verfahren, wie es zum Lösen eines liearen Gleichungssystems angewendet wird, auch hier einsetzen.
Schreibe also die Koordinaten der Vektoren untereinander - es entsteht dann eine Matrix - und versuche mit dem Gauss-Algorithmus, eine Dreiecksmatrix zu erzeugen, die unterhalb der Hauptdiagonalen lauter Nullen aufweist. Evtl. musst du auch mal 2 Zeilen oder 2 Spalten vertauschen.
Die Anzahl der übriggebliebenen, vom Null-Tupel unterschiedlichen Zeilen ist dann die Dimension des aufgespannten Vektorraumes. Die übriggebliebenen Zeilen bilden sogar eine Basis des fraglichen Unterraumes, nachdem die Spaltenvertauschungen wieder rückgängig gemacht worden sind.
So, ich hoffe, dass dir dies Angaben vorerst genügen, ansonsten meldest du dich einfach wieder.
Noch besser: du meldest dich ohnehin mit dem Resultat, damit wir das dann noch überprüfen können.
Die Aufgabe 1 sollte sich auch mit der gleichen Methode lösen lassen, sobald andreas' Zwischenfrage geklärt ist.
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:48 Di 10.08.2004 | | Autor: | Micha |
>
> Schreibe also die Koordinaten der Vektoren untereinander -
> es entsteht dann eine Matrix - und versuche mit dem
> Gauss-Algorithmus, eine Dreiecksmatrix zu erzeugen, die
> unterhalb der Hauptdiagonalen lauter Nullen aufweist. Evtl.
> musst du auch mal 2 Zeilen oder 2 Spalten vertauschen.
Ich wollte nur darauf hinweisen, dass du nur Spaltenoperationen ausführen darfst, wenn du die Vektoren als Spalten in einer Matrix schreibst, bzw. Zeilenoperationen, wenn sie als Zeilen aufgeschrieben werden. Sonst würde sich das Bild ändern und schlimmstenfalls auch die Dimension...
Also nur die erlaubten Operationen ausführen... Mixen darf man das meiner Ansicht nach nur bei der Berechnung der Determinante. 
Gruß, Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:56 Di 10.08.2004 | | Autor: | kai |
Ich hab die Matrix aus den Zeilenvektoren zusammengesetzt und nur zeilen vertauscht. allerdings hab ich auch ne Spalte vertauscht, hab mir aber gemerkt welche spalte ich wohin verschoben habe.
Ist das nicht erlaubt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:03 Di 10.08.2004 | | Autor: | Micha |
> Ich hab die Matrix aus den Zeilenvektoren zusammengesetzt
> und nur zeilen vertauscht. allerdings hab ich auch ne
> Spalte vertauscht, hab mir aber gemerkt welche spalte ich
> wohin verschoben habe.
> Ist das nicht erlaubt?
>
Nein das ist nicht erlaubt, weil du damit das Bild der Matrix veränderst. Das Anordnen der Vektoren in einer Matrix entspricht ja gerade der Ermittlung der Bilder der Basisvektoren. Wenn du deren Komponenten vertauschst, ist das Bild nicht mehr gleich:
[mm]\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
\end{pmatrix} \not\approx \begin{pmatrix}
1 & 3 & 2 & 4 & 5 \\
\end{pmatrix}[/mm]
Also um diesen Bildraum unverändert zu lassen darfst du nur die "richtigen" Operationen anwenden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 Di 10.08.2004 | | Autor: | kai |
Sorry für meine Unwissenheit;)
D.h. ich darf nur Spalten vertauschen wenn ich die Matrix aus den Spaltenvektoren aufstelle und nur Zeilen vertauschen wenn ich die Matrix aus den Zeilenvektoren aufstelle. Hab ich das soweit richtig verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 Di 10.08.2004 | | Autor: | Micha |
> Sorry für meine Unwissenheit;)
>
> D.h. ich darf nur Spalten vertauschen wenn ich die Matrix
> aus den Spaltenvektoren aufstelle und nur Zeilen
> vertauschen wenn ich die Matrix aus den Zeilenvektoren
> aufstelle. Hab ich das soweit richtig verstanden?
>
Ein JA, wenn du Ding wie Bilder, Dimensionen, Kern, Rang bestimmen willst.
Ein es ist egal bei: Determinanten-Berechnung. Hier ist immer Zeilenraum = Spaltenraum, und eine Spalten-/Zeilenoperation ändern den Spalten-/Zeilenraum nicht. Deswegen ist es hier egal.
Alles klar? *g*
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:31 Mo 09.08.2004 | | Autor: | kai |
Sorry für meine späte Antwort war halt noch arbeiten! Erstmal danke an Paulus das hat mir schon sehr geholfen. Werd die Lösung morgen früh nachliefern.
Hi andreas,
ja da hast du recht. Mit dem e meinte ich den einheitsvektor, glaub zumindest das der bei dieser aufgabe gemeint ist, mit den indizes x,y,z. hoffe das hilft weiter und ihr könnt mir weiterhelfen.
l. Algebra ist irgendwie ganz und gar nicht meine sache;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:38 Mo 09.08.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Kai
> Sorry für meine späte Antwort war halt noch arbeiten!
> Erstmal danke an Paulus das hat mir schon sehr geholfen.
> Werd die Lösung morgen früh nachliefern.
>
Dann beachte bitte noch, worauf was ich in meiner Antwort völlig vergessen hatte hinzuweisen, dass du die Matrix mit den transponierten Vektoren machst. Deine gegebenen Koordinatenvektoren sollen also die Zeilen der matrix sein.
Gewiss, dass Verfahren funktioniert auch mit den Vektoren als Spalten, dann bilden die Spaltenvektoren aber nicht mehr so offensichtlich eine Basis des Vektorraumes. Sie tun es natürlich schon (weil es ja sicher gleichviele unabhängige Spaltenvektoren geben wird), aber das einzusehen, ist etwas weniger einfach (nach meiner subjektiven Meinung) 
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Di 10.08.2004 | | Autor: | kai |
ich hab nach wie vor noch keinen plan was man bei der 1. o.g. aufgabe(Bilden diese Vektoren eine Basis?) machen muss oder wie man rausfinden kann ob die vektoren eine Basis bilden.
Gibts da eine nette person die mir da einen kleinen tip geben kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 Di 10.08.2004 | | Autor: | Micha |
> ich hab nach wie vor noch keinen plan was man bei der 1.
> o.g. aufgabe(Bilden diese Vektoren eine Basis?) machen muss
> oder wie man rausfinden kann ob die vektoren eine Basis
> bilden.
>
> Gibts da eine nette person die mir da einen kleinen tip
> geben kann?
>
Hier gibts nur nette Personen *lüg* xD...
Also zum Thema Basis, du musst 2 Dinge überprüfen:
a) Ist dein System von Vektoren erzeugend? (also die Frage ob ich jeden Vektor meines Vektorraumes darstellen kann). In diesem Fall ist wahrscheinlich der [mm] $\IR^3$ [/mm] gemeint.
b) Sind die Vektoren linear unabhängig?
Teil b ist leicht zu überprüfen und wenn du b weißt, kennst du auch die Dimension von deinem Vektorensystem, nämlich im Höchstfall 3. Damit ist Teil a) schon gleich mit erledigt, weil der [mm] $\IR^3$ [/mm] immer die Dimension 3 hat und alle Vektoren dargestellt werden können.
FAZIT: Überprüfe die lineare Unabhängigkeit.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Di 10.08.2004 | | Autor: | kai |
Also das mit der Basis hab ich glaub ich noch gar nicht so richtig verstanden! Hab grad nochmal meine Unterlagen durchgeschaut und werd da nicht schlau draus.
Ich weiss auch gar nicht mehr wie ich darauf gekommen bin die unabhängigkeit der vektoren beweisen zu wollen, um zu zeigen das sie eine basis bilden(?????).
Damit die 3 Vektoren eine Basis bilden können müssen sie l. unabhängig oder abhängig sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Di 10.08.2004 | | Autor: | Micha |
> Also das mit der Basis hab ich glaub ich noch gar nicht so
> richtig verstanden! Hab grad nochmal meine Unterlagen
> durchgeschaut und werd da nicht schlau draus.
> Ich weiss auch gar nicht mehr wie ich darauf gekommen bin
> die unabhängigkeit der vektoren beweisen zu wollen, um zu
> zeigen das sie eine basis bilden(?????).
> Damit die 3 Vektoren eine Basis bilden können müssen sie
> l. unabhängig oder abhängig sein?
>
Ok fangen wir vielleicht am Anfang an. *g*
Angenommen du hast 2 Vektoren, die nicht auf einer Geraden liegen (d.h. sie sind linear unabhängig), dann kannst du jeden Vektor, der in der von deinen beiden ersten 2 Vektoren aufgespannten eben darstellen, als lineare Kombination der beiden:
$v = [mm] \lambda u_1 [/mm] + µ [mm] u_2 [/mm] $, wobei [mm] $u_1$ [/mm] und [mm] $u_2$ [/mm] die beiden Vektoren sein sollen und [mm] $\lambda$ [/mm] und $µ$ reelle Zahlen, mit denen man die 2 Vektoren skaliert (deswegen der Name Skalare).
Man nennt diese Ebene auch span oder lineares Erzeugnis von den zwei Vektoren:
[mm] $ [/mm] = [mm] span(u_1, u_2)$.
[/mm]
Nun kommt der eigentilche Punkt: Jeder Untervektorraum lässt sich als der Erzeugnis von solchen Vektoren darstellen. Wenn aber 2 Vektoren linear Abhängig sind, so gewinne ich nichts hinzu, weil der abhängige Vektor mit in der Ebene liegt. Es wird als nicht "mehr" aufgespannt und die Dimension bleibt unverändert. Anders ist es, wenn ein linear unabhängiger Vektor hinzukommt: Hier erhöht sich die Dimension gerade um 1.
Eine Basis nennt man deshalb eine Menge von Vektoren, die minimal erzeugend sind, also wo ich am wenigsten brauche, und das ist genau dann der Fall, wenn alle Vektoren voneinander unabhängig sind.
Deswegen die 2 Kriterien für die Suche einer Basis:
a) Erzeugend?
b) Lin. unabhängig?
Ansonsten schau nochmal in deinem Lina-Buch oder frag wenn noch was unklar sein sollte.
Gruß Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:07 Di 10.08.2004 | | Autor: | kai |
Ja danke erstmal für diese ausführliche erklärung. Ich kann zwar jetzt nicht behaupten das wirklich verstanden zu haben aber ich denke das wird schon reichen um den schein zu bestehen.
und dann nie wieder l. algebra;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 Di 10.08.2004 | | Autor: | Micha |
Wenn noch was unklar ist frag ruhig, lieber einmal gut verstanden als 100 mal schlecht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:51 Mo 09.08.2004 | | Autor: | kai |
Ja , dann mal danke für den tip paulus wenn ich auch nicht wirklich verstanden hab wieso das jetzt einfacher ist;)
so muss jetzt schlafen, morgen früh lös ich die aufgabe(das sagt sich so leicht;)) und stell dann mein lösung rein. bis dahin...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:47 Di 10.08.2004 | | Autor: | kai |
So hab die 2. Aufgabe nach dem Gauss Algo. gelöst.
Meine Lösung sieht wie folgt aus:
[mm] \pmat{1 & -1 & 1 & -4 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & -1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
Heisst das jetzt mein Unterraum ist von der 3. Dimension oder was heisst das jetzt für die Aufgabenstellung?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:57 Di 10.08.2004 | | Autor: | Micha |
> So hab die 2. Aufgabe nach dem Gauss Algo. gelöst.
>
> Meine Lösung sieht wie folgt aus:
>
> [mm]\pmat{1 & -1 & 1 & -4 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & -1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
>
>
> Heisst das jetzt mein Unterraum ist von der 3. Dimension
> oder was heisst das jetzt für die Aufgabenstellung?
>
Sieht ganz gut aus ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") . Meine erste Zeile sieht nur anders aus, aber das kann schon gut hinkommen, auf jeden fall ist die Dimension 3, weil die letzen beiden Zeilen linear abhängig sind, bzw. du kannst durch die Kombination der letzten beiden Zeilen eine Nullzeile erzeugen.
Gruß, Micha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Di 10.08.2004 | | Autor: | kai |
Erstmal danke für die prompte Antwort.
Aber ist das dann nicht genau das gleiche wie den Rang einer Matrix ausrechnen?
gruss kai
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:14 Di 10.08.2004 | | Autor: | Micha |
> Erstmal danke für die prompte Antwort.
> Aber ist das dann nicht genau das gleiche wie den Rang
> einer Matrix ausrechnen?
>
> gruss kai
>
>
Vom Prinzip schon, praktisch nicht ganz, weil der Rang zumindest bei uns so definiert wurde:
[mm] rang := \dim Im \, F [/mm]
Ich weiß jetzt nicht wie weit du schon in Linearer Algebra bist, aber eine Matrix stellt dir die Bilder der Basisvektoren von linearen Abbildungen da. In dem Verfahren was wir benutzt haben, verwenden wir einfach die Abbildung:
$id : V [mm] \to [/mm] V $
...und ermitteln die Dimension des Bildes. Da hast du die parallele zu deiner Rang-Ermittlung. In der Tat hängen die Begriffe Dimension und Rang ziemlich eng zusammen, schon allein aus der Definition.
Wenn du noch Fragen hast stelle sie ruhig.
Gruß, Micha
PS: Ich würde nochmal die Matrix überprüfen, wenn du dort die Operationen vermischt hast...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 Di 10.08.2004 | | Autor: | kai |
Ok, hab die Matrix nochmals gerechnet. Diesmal nur mit Zeilenumformungen.
Meine Lsg.:
[mm] \pmat{1 & -1 & 1 & -4 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
Da hat sich ja im grossen und ganzen nicht viel verändert. Der Unterraum hat nach wie vor die Dimension 3, oder nicht?
Muss ich bei den Vektoren noch irgendetwas beachten wenn ich die Dimension des Unterraums berechnen will?
z.B. - müssen die vektoren abhängig oder unabhängig sein
- gibt es konstellationen bei denen ich gar nicht die Dimension des Unterraums bestimmen kann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:36 Di 10.08.2004 | | Autor: | Micha |
> Ok, hab die Matrix nochmals gerechnet. Diesmal nur mit
> Zeilenumformungen.
>
> Meine Lsg.:
>
> [mm]\pmat{1 & -1 & 1 & -4 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
>
>
Kannst du evtl. noch 1 bis 2 Zwischenschritte davor einfügen?
> Da hat sich ja im grossen und ganzen nicht viel verändert.
> Der Unterraum hat nach wie vor die Dimension 3, oder
> nicht?
> Muss ich bei den Vektoren noch irgendetwas beachten wenn
> ich die Dimension des Unterraums berechnen will?
> z.B. - müssen die vektoren abhängig oder unabhängig sein
> - gibt es konstellationen bei denen ich gar nicht
> die Dimension des Unterraums bestimmen
> kann
>
Solche Extremfälle sind mir nicht bekannt, und ich kann mir auch nicht vorstellen, dass es so etwas gibt. Das einzige was passieren kann, ist, dass alle Zeilen linear abhängig sind und alle Zeilen Nullzeilen werden bis auf eine, dann hast du den rang 1. Und die Frage ob die Vektoren linear abhängig sind oder nicht, willst du ja gerade überprüfen. =)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 Di 10.08.2004 | | Autor: | kai |
[mm] \pmat{2 & 1 & 0 & 0 & 3 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -4 & 1} [/mm] Ausgangsmatrix!
Vertauschungen: 1)zeile 4 mit zeile1
2) zeile 4 mit zeile 2
[mm] \pmat{1 & -1 & 1 & -4 & 1 \\ 0 & 3 & -2 & 8 & 1 \\ 0 & 2 & -1 & 6 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & -1}
[/mm]
Vertauschungen: 1) zeile4 mit zeile 2
[mm] \pmat{1 & -1 & 1 & -4 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & -2 & -4 & 4}
[/mm]
und darauf folgt meine Lsg.
Hab ich soweit alles richtig gemacht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 Di 10.08.2004 | | Autor: | Micha |
meine Lösung ist etwas kürzer und weniger umständlich *denk*:
[mm]\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 & 3 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1&1&0&2&1\\
1&-1&1&-4&1 \\
\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}
2&1&0&0&3 \\
0&-1&2&0&-3 \\
0&1&0&4&-1 \\
0&-3&2&-8&-1 \\
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 & 3 \\
0&-1&2&0&-3 \\
0&0&2&4&-4 \\
0&0&2&4&-4\\
\end{pmatrix}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:00 Di 10.08.2004 | | Autor: | kai |
Hi hathorman,
deine lsg. kann ich leider nicht nachvollziehen.
ich weiss nicht wie du von der ausgangsmatrix auf die nächste Matrix kommst. Du müsstest doch die 1. Zeile eigentlich mit -0,5 erweitert haben oder nicht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:09 Di 10.08.2004 | | Autor: | Micha |
ich verdoppele jeweils die 2., 3. und 4. Zeile und ziehe davon die erste Zeile ab...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:31 Di 10.08.2004 | | Autor: | kai |
ah ja alles klar die richtung kann man ja auch gehen! danke für den tip!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Di 10.08.2004 | | Autor: | kai |
Hi,
hab mir grad mal die Lsg zu dieser Aufgabe angeschaut und die sagt aus, dass der Unterraum dieser 4 Vektoren eine Dimension von 2 hat.
Aber ich hatte 3 raus! Was ist denn da jetzt falsch gelaufen?
Wenn ich mir die zur Dreiecksmatrix umgeformte Matrix anschaue was ist denn da der Unterraum? Ist das der teil in dem nur 0 stehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Di 10.08.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Kai
da kann ich mir mir nur vorstellen, dass entweder die Musterlösung falsch ist ocer du dich bei den Vektoren vertippt hast. Denn auch ich erhalte das Ergebnis, dass die 4 Vektoren einen Unterraum der Dimension 3 aufspannen.
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:03 Di 10.08.2004 | | Autor: | kai |
Vertippt habe ich mich nicht, dass hab ich grad mal geprüft. Dann muss ja folglich die Lsg. falsch sein und dabei sollte man seinem Prof. doch eigentlich vertrauen können was richtige lösungen angeht.
Naja trotzdem vielen dank für eure hilfe.
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