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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 Mo 28.03.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
ich hab hier eine Verständnisfrage zu dieser Aufgabe. Und zwar ist eine Basis (x1,x2,x3) des [mm] \IR^{3} [/mm] gesucht, so dass {x1,x2,x3} [mm] \cap [/mm] {e1,e2,e3} = [mm] \emptyset [/mm] ist
Als Lösung wurde angegeben, dass man die [mm] x_{i} [/mm] so wählen sollte: [mm] x_{i}= [/mm] 2 [mm] e_{i}
[/mm]
Ich versteh nicht, warum die Lösung so lauten kann. Die [mm] x_{i} [/mm] sind doch ein Vielfaches der Einheitsvektoren. Dann wären sie doch linear abhängig und dann ist doch der Schnitt von beiden Mengen nicht leer oder?
Danke für die Hilfe.
Moe007
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 Mo 28.03.2005 | | Autor: | mjp |
Hi.
> ich hab hier eine Verständnisfrage zu dieser Aufgabe. Und
> zwar ist eine Basis (x1,x2,x3) des [mm]\IR^{3}[/mm] gesucht, so
> dass {x1,x2,x3} [mm]\cap[/mm] {e1,e2,e3} = [mm]\emptyset[/mm] ist
> Als Lösung wurde angegeben, dass man die [mm]x_{i}[/mm] so wählen
> sollte: [mm]x_{i}=[/mm] 2 [mm]e_{i}[/mm]
>
> Ich versteh nicht, warum die Lösung so lauten kann. Die
> [mm]x_{i}[/mm] sind doch ein Vielfaches der Einheitsvektoren. Dann
> wären sie doch linear abhängig und dann ist doch der
> Schnitt von beiden Mengen nicht leer oder?
Der Schnitt zweier Mengen hat erstmal nichts mit linearer Abhaengigkeit zu tun.
[mm]e_{i}[/mm] und [mm]2*e_{i}[/mm] sind im mengentheoretischen Kontext zunaechst unterschiedliche Elemente,
denn eine Menge "erkennt" nicht, dass ein Vektor das Vielfache eines anderen ist.
Anders formuliert: Zwischen einem Vektor und seinem Vielfachen kann dort
vorderhand keine Relation hergestellt werden, die es erlauben wuerde, auf
"Gleichheit" zu schliessen.
Vielleicht hilft Dir folgende Ueberlegung:
Wenn Du 3 linear unabhaengige Standardbasisvektoren des [mm]\IR^{3}[/mm] hast, kann es dann
einen weiteren Vektor geben, der von diesen dreien linear unabhaengig ist?
Gruss,
Monika.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:13 Mo 28.03.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Moe!
> Hallo,
> ich hab hier eine Verständnisfrage zu dieser Aufgabe. Und
> zwar ist eine Basis (x1,x2,x3) des [mm]\IR^{3}[/mm] gesucht, so
> dass {x1,x2,x3} [mm]\cap[/mm] {e1,e2,e3} = [mm]\emptyset[/mm] ist
> Als Lösung wurde angegeben, dass man die [mm]x_{i}[/mm] so wählen
> sollte: [mm]x_{i}=[/mm] 2 [mm]e_{i}[/mm]
>
> Ich versteh nicht, warum die Lösung so lauten kann. Die
> [mm]x_{i}[/mm] sind doch ein Vielfaches der Einheitsvektoren. Dann
> wären sie doch linear abhängig und dann ist doch der
> Schnitt von beiden Mengen nicht leer oder?
Schreib dir doch mal die Mengen hin (ich nenne sie jetzt [mm] $M_1$ [/mm] bzw. [mm] $M_2$):
[/mm]
[m]M_1=\left\{e_1,\;e_2,\; e_3\right\}=\left\{\vektor{1\\0\\0}, \ \vektor{0\\1\\0}, \ \vektor{0\\0\\1}\right\}[/m].
[m]M_2=\left\{x_1,\;x_2,\;x_3\right\}=\left\{2e_1,\;2e_2,\;2e_3\right\}
=\left\{\vektor{2\\0\\0}, \ \vektor{0\\2\\0},\ \vektor{0\\0\\2}\right\}[/m].
Und was ist nun [mm] $M_1 \cap M_2$? [/mm] Und warum ist [mm] $M_2$ [/mm] auch eine Basis des [mm] $\IR^3$?
[/mm]
PS: Es gibt übrigens auch noch andere Möglichkeiten, eine solche Basis anzugeben:
Mit [m]\left\{\vektor{2\\0\\0},\ \vektor{1\\1\\0},\ \vektor{1\\1\\1} \right\}[/m] wäre z.B. eine weitere Lösung zu der Aufgabe gefunden...
Viele Grüße,
Marcel
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