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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:30 Do 03.12.2009 | | Autor: | Goth |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Vektoren
[mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
und [mm] v_2 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 2}
[/mm]
eine Basis des [mm] \IZ_{5}-Vektorraumes (\IZ_{5})^2 [/mm] bilden. Schreiben Sie
v = [mm] \vektor{1 \\ 4}
[/mm]
als Linearkombination von [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2. [/mm] |
Hallo,
ich weiß nicht, wie man das zeigen kann - völlig überfragt :-(
Danke schon mal für eure Hilfe :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zeigen Sie, dass die Vektoren
> [mm]v_1[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm]
> und [mm]v_2[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 2}[/mm]
> eine
> Basis des [mm]\IZ_{5}-Vektorraumes (\IZ_{5})^2[/mm] bilden.
> Schreiben Sie
> v = [mm]\vektor{1 \\ 4}[/mm]
> als Linearkombination von [mm]v_1[/mm] und
> [mm]v_2.[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich weiß nicht, wie man das zeigen kann - völlig
> überfragt :-(
Hallo,
tja, dann werden wir uns auch hier etwas warmmachen müssen:
Was ist eine Basis?
Was ist der [mm] \IZ_{5}-Vektorraumes (\IZ_{5})^2? [/mm] Wie sind seine Elemente gemacht?
Welche Dimension hat dieser Raum? Kennst Du eine Basis?
Was ist zu zeigen, wenn man zeigen will, daß n Vektoren eines n-dimensionalen Raumes eine Basis bilden?
Was ist eine Linearkombination?
Was muß gelten, wenn v eine Linearkombination von [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] ist?
Gruß v. Angela
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> Huch, hier ist ja die Aufgabe - habe sie schon gesucht 
Hallo,
ich hatte Dir eine PN geschickt, nachdem ich's abgehängt hatte, vielleicht hast Du die übersehen?
Gruß v, Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:49 So 06.12.2009 | | Autor: | Goth |
Ah, habs gefunden 
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> [mm]\IZ_{5}[/mm] ist ein Körper mit 5 Elementen (0,1,2,3,4).
> Vektorraum [mm](\IZ_{5})^2[/mm] hat 2 dim und die Vektoren
> enthalten Elemente aus [mm]\IZ_{5}.[/mm]
Hallo,
ja.
>
> Eine Basis ist eien Menge von Vektoren aus V in dem Fall
> [mm](\IZ_{5})^2,[/mm] die ein linear unabhängiges
> Erzeugendensystem bilden.
Ja.
>
> Erzeugendensystem: [mm][/mm] = V.
>
> Also es ist klar, dass [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] linear unabhängig sein
> müssen. Zeigt man, indem man Spatprodukt bildet:
Ömm... Ein Spatprodukt in der Ebene? Eher nicht, oder?
>
> [mm][/mm] = [mm]\vmat{ 1 & 1 \\ 0 & 2 }[/mm] = [mm]det(\vektor{1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 2})[/mm]
> = 1*2-1*0 [mm]\not=[/mm] 0.
Achso. Du berechnest die Determinante - und zwar modulo 5, was hier allerdings keinen Unterschied macht.
Du hast mithilfe der Det. festgestellt, daß die beiden Vektoren linear unabhängig sind, also hast Du eine Basis gefunden - den ndie Dimension des Raumes ist ja =2.
(Ist Dir eigentlich klar, welches GS Du lösen mußt, um über (Un)Abhängigkeit zu entscheiden?
>
> [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] sollen nun ein Erzeugendensystem sein. Da
> versteh ich die Def. von Erzeugendensystem nicht so recht.
Erzeugendensystem: mit Linearkombinatioen der in einem Erzeugendensystem enthaltenen Vektoren kannst Du jeden Vektor des fraglichen Raumes erzeugen.
Der [mm] (\IZ_{5})^2 [/mm] hat die Dimension 2, eine Basis hast Du gefunden, und weil eine Basis auch ein Erzeugendensystem ist, hast Du ein Erzeugendensystem.
Weil es ein Erzeugendensystem ist, kannst Du insbesondere den Vektor [mm] \{1\\4} [/mm] als Linearkombination von [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] schreiben.
Und weil wir uns gerade in dem VR [mm] (\IZ_{5})^2 [/mm] über dem Körper [mm] \IZ_{5} [/mm] bewegen, müssen die Koeffizienten [mm] \in \IZ_{5} [/mm] sein.
> Das Spatprodukt soll gleich dem Vektorraum sein?! Eventuell
> der dim des Vektorraumes oder? Dann würde das sogar passen
>
Irgendwie bist Du hier auf einem völlig falschen Trip.
Mal abgesehen davon, daß es im Zweidimensionalen kein Spatprodukt gibt: wie soll solch eine Verknüpfung ein VR sein? Das ist [mm] Kokolores^3.
[/mm]
Lies Dir durch, was ein VR ist.
> Linearkombination von [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] für [mm]v=\vektor{1 \\ 4}[/mm]
>
> [mm]k_1*v_1[/mm] + [mm]k_2*v_2[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 4}[/mm]
>
> [mm]k_1*\vektor{1 \\ 1}[/mm] + [mm]k_2[/mm] * [mm]\vektor{0 \\ 2}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 4}[/mm]
>
> [mm]k_1[/mm] = 1 und [mm]k_2[/mm] = [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
> [mm]1*\vektor{1 \\ 1}[/mm] + [mm]\bruch{3}{2}[/mm] * [mm]\vektor{0 \\ 2}[/mm] =
> [mm]\vektor{1 \\ 4}[/mm]
> [mm]\gdw \vektor{1 \\ 1}[/mm] + [mm]\vektor{0 \\ 3}[/mm] =
> [mm]\vektor{1 \\ 4}[/mm]
> Also: 1* [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] + [mm]\bruch{3}{2}[/mm] *
> [mm]\vektor{0 \\ 2}[/mm] Linearkombination für [mm]\vektor{1 \\ 4}.[/mm]
>
> Passt das?
Wenn wir gerade im [mm] \IR^2 [/mm] agieren würden, wäre es richtig.
Aber im [mm] \IZ_5 [/mm] gibt es das Element [mm] \bruch{3}{2} [/mm] ja nicht. Du hast ja selbst gesagt, daß nur 0,1,2,3,4 enthalten sind.
Vielleicht meintest Du gar nicht [mm] \bruch{3}{2}? [/mm] Sondern vielleicht [mm] 3*2^{-1}? [/mm] Dann überleg Dir, was das Inverse von 2 bzgl der Multiplikation ist.
Gruß v. Angela
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