Basis Bestimmung von Polynomen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Mo 19.05.2008 | | Autor: | can19 |
| Aufgabe | | Zeigen sie die polynome [mm] 1,T,T²,T³,...,T^d [/mm] eine basis von K[T] [mm] \le [/mm] d bilden. |
hallo an alle,
habe etwas schwierigkeiten mit dieser aufgabe, und zwar weiß ich nicht wie ich anfangen soll
wenn sie eine basis bilden müssen sie linear unabhängig sein, aber wie mache bzw. zeige ich das bei polynomen=??
wäre für eine hilfe sehr dankbar!!
gruß can19
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:40 Di 20.05.2008 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, can19,
wie sind denn bei Euch die T definiert?
z.B. so: [mm] T^{3} [/mm] = [mm] x^{3} [/mm] ?
mfG!
Zwerglein
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> Zeigen sie die polynome [mm]1,T,T²,T³,...,T^d[/mm] eine basis von
> K[T] [mm]\le[/mm] d bilden.
> hallo an alle,
> habe etwas schwierigkeiten mit dieser aufgabe, und zwar
> weiß ich nicht wie ich anfangen soll
> wenn sie eine basis bilden müssen sie linear unabhängig
> sein, aber wie mache bzw. zeige ich das bei polynomen=??
Hallo,
das geht genau wie immer:
Du mußt schauen, ob aus
[mm] a_0*1+a_1*T+...+a_dT^d=Null(polynom) [/mm] folgt, daß [mm] a_0=a_1=...=a_d=0 [/mm] ist.
Seien als0 [mm] a_0, a_1, [/mm] ..., [mm] a_d\in [/mm] K mit [mm] a_0*1+a_1*T+...+a_dT^d=Null(polynom).
[/mm]
Entweder hast Du schon etwas über die Gleichheit v. Polynomen gelernt, dann bist Du schnell fertig.
Ansonsten geht's über die Gleichheit von Funktionen.
Wann sind zwei Funktionen (hier: [mm] a_0*1+a_1*T+...+a_dT^d [/mm] und das Nullpolynom) gleich?
Wenn ihre Werte auf dem gesamten Definitionsbereich übereinstimmen.
Hier also:
[mm] a_0*1+a_1*T+...+a_dT^d=Null(polynom)
[/mm]
==> [mm] a_0*1+a_1*x+...+a_dx^d=0 [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] K.
Von hier mußt Du nun zu [mm] a_0=a_1=...=a_d=0 [/mm] gelangen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:58 Di 20.05.2008 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Entweder hast Du schon etwas über die Gleichheit v.
> Polynomen gelernt, dann bist Du schnell fertig.
Du meinst wahrscheinlich: K[T] ist definitionsgemäß die freie Algebra in T über K, und das isses.
> Ansonsten geht's über die Gleichheit von Funktionen.
Das ist was ganz anderes und funktioniert hier nicht, weil über K nix gesagt ist.
> Wann sind zwei Funktionen (hier: [mm]a_0*1+a_1*T+...+a_dT^d[/mm]
> und das Nullpolynom) gleich?
> Wenn ihre Werte auf dem gesamten Definitionsbereich
> übereinstimmen.
>
> Hier also:
>
> [mm]a_0*1+a_1*T+...+a_dT^d=Null(polynom)[/mm]
>
> ==> [mm]a_0*1+a_1*x+...+a_dx^d=0[/mm] für alle [mm]x\in[/mm] K.
>
> Von hier mußt Du nun zu [mm]a_0=a_1=...=a_d=0[/mm] gelangen.
Nimm mal K = F2 (was in der Aufgabe nicht ausgeschlossen ist) und das Polynom T + [mm] T^{2}.
[/mm]
Wenn die Aufgabe auf deinen 2. Lösungsweg abzielt, dann müßte sie anders formuliert werden (sach ich mal).
Gruß von der Süderelbe
Dieter
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> Wenn die Aufgabe auf deinen 2. Lösungsweg abzielt, dann
> müßte sie anders formuliert werden (sach ich mal).
O.K. Dieter, ich geb' alles zu...
Nun bleibt mir nur noch die Hoffnung, daß cat19 begeistert jubelt, weil ich die komplette Aufgabenstellung inkl. Präludium hellgesehen habe,
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:08 Di 20.05.2008 | | Autor: | can19 |
hey ich danke euch.... 
habs verstanden!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:02 Di 20.05.2008 | | Autor: | statler |
Hallo Alicia,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Gruß
Dieter
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