Basis, Darstellende Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Fr 07.02.2014 | | Autor: | Gina2013 |
| Aufgabe | Sei [mm] A=\pmat{ 1 & 2 & 1\\ 2 & 1 & -1\\ 2 & -1 & 1 }\in M_{3}(\IQ) [/mm] und [mm] B=(v_{1}, v_{2}, v_{3}) [/mm] mit [mm] v_{1}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}, v_{2}=\vektor{0 \\ 1 \\ 2}, v_{3}=\vektor{0 \\ 2 \\ 1} [/mm]
a) Beweisen Sie, dass B eine Basis von [mm] \IQ^{3} [/mm] ist.
b) Bestimmen Sie darstellende Matrix von f(A) [mm] \in [/mm] End [mm] (\IQ^{3}), [/mm] f(A)=Ax für alle x [mm] \in \IQ^{3} [/mm] bezüglich B. |
Hallo alle zusammen,
habe für A die Basis [mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 0 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & 0 }, [/mm] die aus zwei Vektoren besteht [mm] u_{1}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] und [mm] u_{2}=\vektor{0 \\ -3 \\ -3}. [/mm]
Wie mache ich weiter, dass B eine Basis aus drei Vektoren ist? Muss ich da Standardbasis anwenden? Wenn ja, wie bekomme ich die 3 v Vektoren?
Bin um jede Hilfe sehr dankbar.
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> Sei [mm]A=\pmat{ 1 & 2 & 1\\ 2 & 1 & -1\\ 2 & -1 & 1 }\in M_{3}(\IQ)[/mm]
> und [mm]B=(v_{1}, v_{2}, v_{3})[/mm] mit [mm]v_{1}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}, v_{2}=\vektor{0 \\ 1 \\ 2}, v_{3}=\vektor{0 \\ 2 \\ 1}[/mm]
> a) Beweisen Sie, dass B eine Basis von [mm]\IQ^{3}[/mm] ist.
> b) Bestimmen Sie darstellende Matrix von f(A) [mm]\in[/mm] End
> [mm](\IQ^{3}),[/mm] f(A)=Ax für alle x [mm]\in \IQ^{3}[/mm] bezüglich B.
> Hallo alle zusammen,
Hallo,
irgendetwas läuft grad schief.
Ich blicke durch Dein Tun nicht durch.
> habe für A die Basis [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 0 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & 0 },[/mm]
Was soll das?
Seit wann hat eine Matrix eine Basis?
> die aus zwei Vektoren besteht [mm]u_{1}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm]
> und [mm]u_{2}=\vektor{0 \\ -3 \\ -3}.[/mm]
Woher nimmst Du diese beiden Vektoren,
und was meinst Du, welche Bedeutung sie haben?
> Wie mache ich weiter, dass B eine Basis aus drei Vektoren
> ist? Muss ich da Standardbasis anwenden? Wenn ja, wie
> bekomme ich die 3 v Vektoren?
???
Du sollst doch zeigen, daß die drei Vektoren eine Basis des [mm] \IQ^3 [/mm] sind.
Zeige, daß sie linear unabhängig sind.
> Bin um jede Hilfe sehr dankbar.
Mir scheint, daß Du ganz große Defizite hast und die Vorlesung sehr gründlich nacharbeiten solltest.
Was haben wir hier?
Es ist zu der gegebenen Matrix A eine Abbildung [mm] f_A [/mm] definiert mit
[mm] f_A:\IQ^3\to \IQ^3 [/mm] mit
[mm] f_A(x):=Ax [/mm] für alle [mm] x\in \IQ^3.
[/mm]
A ist die darstellende Matrix dieser Abbildung bzgl. der Standardbasis.
Du sollst in b) nun die darstellende Matrix dieser Abbildung bzgl der Basis B sagen.
Eine Möglichkeit, diese zu finden ist so:
berechne die Bilder der [mm] v_i [/mm] unter der Abbildung [mm] f_A.
[/mm]
Schreibe die Bilder als Koordinatenvektoren bzgl. B.
Dies sind die Spalten der gesuchten Matrix.
Oder Du verwendest die Formel zur Basistransformation, die Ihr in der Vorlesung hattet.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:16 Sa 08.02.2014 | | Autor: | Gina2013 |
die Vektoren von B sind linear unabhängig, da x1, x2, x3 alle gleich Null sind. Ich verstehe nur nicht wie Matrix A mit Basis B ein Zusammenhang haben? Und warum geht es die Abbildung von [mm] Q^2 [/mm] in [mm] Q^3? [/mm] Nur weil es von Ax gesprochen wurde?
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> die Vektoren von B sind linear unabhängig, da x1, x2, x3
> alle gleich Null sind.
Hallo,
von welchen [mm] x_1, x_2, x_3 [/mm] sprichst Du?
Bitte stelle Deine Gedanken nachvollziehbar dar, wenn Du nur Bruchstücke postest, ist es schwer, etwas dazu zu sagen.
> Ich verstehe nur nicht wie Matrix A
> mit Basis B ein Zusammenhang haben?
Wir haben die Abbildung [mm] f_A [/mm] mit der Darstellungsmatrix A,
und für alle [mm] x\in \IQ^3 [/mm] ist f(x)=Ax.
x ist hier ein Vektor, der "ganz normal" in Koordinaten bzgl der Standardbasis ist.
Die Frage ist nun, wie die Darsellungsmatrix aussehen muß, wenn wir die Abbildung auf Vektoren anwenden möchten, die in Koordinaten bzgl der Basis B gegeben sind, und wenn wir die Ergebnisse auch als Koordinatenvektoren bzgl B bekommen möchten.
> Und warum geht es die
> Abbildung von [mm]Q^2[/mm] in [mm]Q^3?[/mm] Nur weil es von Ax gesprochen
> wurde?
Oh, tut mir leid: das wa ein Tippfehler. [mm] f_A [/mm] ist wie in der Aufgabenstellung gesagt, ein Endomorphismus des [mm] \IQ^3.
[/mm]
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Sa 08.02.2014 | | Autor: | Gina2013 |
[mm] B=\pmat{ 1 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 2\\3 & 2 & 1 }
[/mm]
LGS:
[mm] x_{1}=0
[/mm]
[mm] x_{2}+2x_{3}=0
[/mm]
[mm] 2x_{2}+x_{3}=0, [/mm] daraus folgt, dass [mm] x_{2}=0, x_{3}=0
[/mm]
die Vektoren [mm] v_{1},v_{2},v_{3} [/mm] sind linear unabhängig. Wäre a) damit schon gelöst?
zu b) wie du sagst, dass A ist Darstellungsmatrix?
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> [mm]B=\pmat{ 1 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 2\\3 & 2 & 1 }[/mm]
> LGS:
> [mm]x_{1}=0[/mm]
> [mm]x_{2}+2x_{3}=0[/mm]
> [mm]2x_{2}+x_{3}=0,[/mm] daraus folgt, dass [mm]x_{2}=0, x_{3}=0[/mm]
> die
> Vektoren [mm]v_{1},v_{2},v_{3}[/mm] sind linear unabhängig. Wäre
> a) damit schon gelöst?
Hallo,
eine zusammenhängende Darstellung ist das immer noch nicht.
Du solltest Dich daran gewöhnen, Deine Überlegungen in einem bequem zu lesenden Text mit nachvollziehbaren Begründungen zu formulieren.
Das erwartet man im Studium von Dir.
Du möchtest uns sicher erzählen, daß Du die drei Vektoren [mm] v_1:=.. [/mm] , [mm] v_2:=.. [/mm] und [mm] v_3:=... [/mm] auf lineare Unabhängigkeit prüfen möchtest.
Dafür ist herauszufinden, ob aus der Gleichung [mm] x_1v_1+x_2v_2+x_3v_3=0 [/mm] folgt, daß [mm] x_1=x_2=x_3=0.
[/mm]
Sei
[mm] x_1v_1+x_2v_2+x_3v_3=0 [/mm] .
Daraus er gibt sich ein homogenes LGS mit der Koeffizientenmatrix
> [mm]B=\pmat{ 1 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 2\\3 & 2 & 1 }[/mm],
welches die Lösung
[mm] x_1=x_2=x_3=0 [/mm] hat.
Also sind die drei Vektoren linear unabhängig.
> zu b) wie du sagst, dass A ist Darstellungsmatrix?
Ich sagte:
A ist die Darstellungsmatrix von [mm] f_A [/mm] bzgl der Standardbasis.
Ich sagte weiter:
Gesucht ist die Darstellungsmatrix von [mm] f_A [/mm] bzgl der Basis B.
Was weißt Du eigentlich über Darstellungsmatrizen?
Was soll die Darstellungsmatrix von [mm] f_A [/mm] bzgl der Basis B leisten?
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Sa 08.02.2014 | | Autor: | Gina2013 |
Darstellende Matrix beschreibt die lineare Abbildung zwischen 2 Vektorräumen. Dafür braucht man 2 Basen, von Definitionsmenge und von der Zielmenge. Wäre dann A die Definitionsmenge?
zu a) ich muss wirklich alles ausführlich machen und werde das üben, danke schön
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Hallo,
> Darstellende Matrix beschreibt die lineare Abbildung
> zwischen 2 Vektorräumen. Dafür braucht man 2 Basen, von
> Definitionsmenge und von der Zielmenge. Wäre dann A die
> Definitionsmenge?
Nein.
Du betrachtest die lineare Abbildung
[mm] $f:\IQ^3 \to \IQ^3, [/mm] f(x) = A*x$ mit der Matrix $A = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 1\\ 2 & 1 & -1\\ 2 & -1 & 1 }$.
[/mm]
Deine Definitionsmenge ist also [mm] $\IQ^3$, [/mm] genau wie die Zielmenge.
Du suchst nun die Darstellungsmatrix von $f$, und zwar bzgl. der Basis $B$ in der Definitionsmenge und bzgl. der Basis $B$ in der Zielmenge (also zweimal die gleiche Basis).
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Was soll so eine Darstellungsmatrix [mm] $_{B}M_{B}(f)$ [/mm] von $f$ leisten?
Du nimmst einen beliebigen Vektor $v$ aus [mm] $\IQ^3$, [/mm] stellst ihn bzgl. der Basis $B = [mm] (v_1,v_2,v_3)$ [/mm] dar (d.h. schreibst $v = [mm] \lambda_1 v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 v_2 [/mm] + [mm] \lambda v_3$). [/mm] Der Koordinatenvektor von $v$ bzgl. $B$ ist dann [mm] $\vektor{\lambda_1\\ \lambda_2 \\ \lambda_3}$.
[/mm]
Dann liefert [mm] $\vektor{\mu_1\\ \mu_2 \\ \mu_3} [/mm] = [mm] _{B}M_{B}(f)*\vektor{\lambda_1\\ \lambda_2 \\ \lambda_3}$ [/mm] erneut einen Koordinatenvektor in $B$, und das Ergebnis
$w = [mm] \mu_1 v_1 [/mm] + [mm] \mu_2 v_2 [/mm] + [mm] \mu_3 v_3$
[/mm]
ist dasselbe wie die ursprüngliche lineare Abbildung geliefert hätte, d.h. $f(v) = w$.
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Wie ermittelt man jetzt die Darstellungsmatrix?
Der Merksatz lautet: In den Spalten der Darstellungsmatrix [mm] $_{B}M_{B}(f)$ [/mm] stehen die Koordinatenvektoren bzgl. $B$ der Bilder der Basisvektoren von $B$ unter $f$.
Auf Deutsch:
Schritt 1: Berechne die Bilder der Basisvektoren von $B$ unter $f$, d.h. [mm] $f(v_1)$, $f(v_2)$, $f(v_3)$
[/mm]
Schritt 2: Stelle die Bilder durch Koordinatenvektoren bzgl. $B$ dar, d.h. finde [mm] $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ [/mm] sodass [mm] $f(v_1) [/mm] = [mm] \lambda_1 v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 v_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 v_3$ [/mm] (und analog für [mm] $f(v_2),f(v_3)$ [/mm] mit Koeffizienten [mm] $\mu_i,\nu_i$)
[/mm]
Schritt 3: Deine Darstellungsmatrix ist
[mm] $_{B}M_{B}(f) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}\lambda_1 & \mu_1 & \nu_1\\
\lambda_2 & \mu_2 & \nu_2\\
\lambda_3 & \mu_3 & \nu_3\end{pmatrix}$
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:55 Sa 08.02.2014 | | Autor: | Gina2013 |
Vielen Dank Stefan für so ausführliche Erklärung,
nur bei dem ersten Schritt bin ich mir unsicher, ob [mm] f(v_{1})=v_{1} [/mm] wäre, da es das selbe Basis ist? Oder verstehe ich wieder was falsch?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Sa 08.02.2014 | | Autor: | Gina2013 |
Wäre dann [mm] f(v_{1}) [/mm] = [mm] v_{1}? [/mm]
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Hallo,
> Wäre dann [mm]f(v_{1})[/mm] = [mm]v_{1}?[/mm]
Nein.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Sa 08.02.2014 | | Autor: | Gina2013 |
Wären dann die Bilder Basisvektoren von B ein Standardbasis?
da f [mm] (v_{1})=f(\vektor{1 \\ 2 \\ 3})= 1\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+0\vektor{0 \\ 1 \\2}+0\vektor{0 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
[mm] f(v_{2})=0\vektor{1 \\ 2 \\3}+1\vektor{0 \\ 1 \\ 2}+0\vektor{0 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
[mm] f(v_{3})=0\vektor{1 \\ 2 \\3}+0\vektor{0 \\ 1 \\ 2}+1\vektor{0 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
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Hallo,
> Wären dann die Bilder Basisvektoren von B ein
> Standardbasis?
> da f [mm](v_{1})=f(\vektor{1 \\ 2 \\ 3})= 1\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+0\vektor{0 \\ 1 \\2}+0\vektor{0 \\ 2 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]f(v_{2})=0\vektor{1 \\ 2 \\3}+1\vektor{0 \\ 1 \\ 2}+0\vektor{0 \\ 2 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]f(v_{3})=0\vektor{1 \\ 2 \\3}+0\vektor{0 \\ 1 \\ 2}+1\vektor{0 \\ 2 \\ 1}[/mm]
>
Nein, das ist falsch.
Du hast die Bilder [mm] $f(v_1), f(v_2), f(v_3)$ [/mm] falsch berechnet.
Laut Definition ist
[mm] $f(v_1) [/mm] = [mm] A*v_1 [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 1\\ 2 & 1 & -1\\ 2 & -1 & 1 }*\vektor{1\\2\\3} [/mm] = ...$.
Hast du das wirklich so ausgerechnet???
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Bei Schritt 2 ist dann ein lineares Gleichungssystem in [mm] $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ [/mm] zu lösen.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:42 So 09.02.2014 | | Autor: | Gina2013 |
Vielen herzlichen Dank Stefan, jetzt habe ich verstanden wie das geht und es ist gar nicht so schwierig, wie ich am Anfang gedacht habe.
Lg
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