Basis,Dimension,lin.Unabh. < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:29 Sa 12.12.2009 | | Autor: | simplify |
| Aufgabe | | Seien U,V [mm] \subset \IR^{5} [/mm] die Untervektorräume ezeugt von {e1+e2,e2+e3} bzw. {e1-e3,e4}. Welche Vektoren liegen in U [mm] \cap [/mm] V? Was ist die Dimension von U+ V? |
hallöchen,
ich hab da schon mal ein wenig rumprobiert,aber ich bin mir bei meinen ergebnissen nicht so ganz sicher.
also erstmal habe ich paar dinge umbenannt e1+e2:=b1 , e2+e3:=b2 , e1-e3:=r1 und e4:=r2.
b1 <-> (1,1,0,0) , b2 <-> (0,1,1,0)
r1 <-> (1,0,-1,0) , r2 <-> (0,0,0,1)
da b1 und b2 nicht durch vielfache darstellbar sind ist dimU=2, analog V=2.
U wird wohl aus {e1,e2,e3} erzeugt.
es folgt,dass dim(U+V)=3 ist,da r1 auch aus e1 und31 erzeugt wird.r2 nicht.
außerdem ist doch {b1,b2,r1} eine basis von U+V,oder?
nun ddie dimensionsformel anwenden:
dim(U [mm] \cap [/mm] V)=dimU+dimV-dim(U+V)=2+2-3=1
mir ist aber nicht ganz klar welche vektoren in U [mm] \cap [/mm] V liegen?
|
|
| |
|
Hallo simplify,
> Seien U,V [mm]\subset \IR^{5}[/mm] die Untervektorräume ezeugt von
> {e1+e2,e2+e3} bzw. {e1-e3,e4}. Welche Vektoren liegen in U
> [mm]\cap[/mm] V? Was ist die Dimension von U+ V?
> hallöchen,
> ich hab da schon mal ein wenig rumprobiert,aber ich bin
> mir bei meinen ergebnissen nicht so ganz sicher.
> also erstmal habe ich paar dinge umbenannt e1+e2:=b1 ,
> e2+e3:=b2 , e1-e3:=r1 und e4:=r2.
>
> b1 <-> (1,1,0,0) , b2 <-> (0,1,1,0)
> r1 <-> (1,0,-1,0) , r2 <-> (0,0,0,1)
>
> da b1 und b2 nicht durch vielfache darstellbar sind ist
> dimU=2, analog V=2.
Das ist richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") . Beachte aber beim Aufschreiben, dass die Vektoren aus [mm] \IR^{5} [/mm] sind, also 5 Komponenten haben (oder hast du dich verschrieben?)
> U wird wohl aus {e1,e2,e3} erzeugt.
> es folgt,dass dim(U+V)=3 ist,da r1 auch aus e1 und31
> erzeugt wird.r2 nicht.
> außerdem ist doch {b1,b2,r1} eine basis von U+V,oder?
Das ist falsch. Du siehst doch ganz deutlich, dass der Vektor [mm] e_{4} [/mm] in U ist. Wie willst du den denn durch die anderen drei Einheitsvektoren darstellen (wo die Einheitsvektoren doch linear unabhängig sind...).
Zur Bestimmung einer Basis solltest du folgendermaßen vorgehen:
- (Leichter verständlich): Du schreibst dir alle Vektoren von oben mit Zahlen auf, schreibst sie in eine Matrix als Zeilen und bringst diese auf Zeilenstufenform:
[mm] \begin{pmatrix}e_{1}+e_{2}\\ e_{2}+e_{3} \\ e_{1} - e_{3} \\ e_{4}\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \to \begin{pmatrix}1& 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
[/mm]
und wenn du jetzt die zweite auf die dritte Zeile addierst, siehst du dass:
[mm] \to \begin{pmatrix}1& 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
[/mm]
entsteht, also steht in der dritten Zeile genau die erste Zeile, diese fällt also weg:
[mm] \to \begin{pmatrix}1& 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
[/mm]
Oder "allgemein" ausgedrückt:
[mm] \begin{pmatrix}e_{1}+e_{2}\\ e_{2}+e_{3} \\ e_{1} - e_{3} \\ e_{4}\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \to \begin{pmatrix}e_{1}+e_{2}\\ e_{2}+e_{3} \\ e_{1} + e_{2} \\ e_{4}\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \to \begin{pmatrix}e_{1}+e_{2}\\ e_{2}+e_{3} \\ e_{4}\end{pmatrix}
[/mm]
Damit hast du nun eine "wahre" Basis von V+U. Dimension stimmt natürlich immer noch 
> nun ddie dimensionsformel anwenden:
> dim(U [mm]\cap[/mm] V)=dimU+dimV-dim(U+V)=2+2-3=1
> mir ist aber nicht ganz klar welche vektoren in U [mm]\cap[/mm] V
> liegen?
Nun, du musst schauen, welche Vektoren sich durch beide Erzeugendensysteme {e1+e2,e2+e3} und {e1-e3,e4} ausdrücken lassen.
Die kann man gut daran erkennen, dass sie sich oben "wegkürzen", als wir die Basis von V+U bestimmt haben. Also überprüfe doch einfach mal, welcher Vektor aus dem ES2 sich durch Vektoren des ES1 darstellen lassen konnte.
Wir wissen aus der Dimensionsformel ja schon, dass wir nur einen brauchen.
Grüße,
Stefan
|
|
|
|
