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| Aufgabe 1 | Hallo,
stehe bei folgenden Aufgaben auf dem Schlauch.
Aufgabe:
gegeben sind 2 Untervektorräume
U = [mm] \left\{\vec{x} \in \mathbb R ^{4}| x_{1} + x_{3}=0 \right\}
[/mm]
V = [mm] \left\{\vec{x} \in \mathbb R ^{4}| x_{2} + x_{4}=0 \right\}
[/mm]
1.) Bestimme die Dimesion von U und von V.
2.) Ermittle anschließend die Basis von U geschnitten mit V.
Mein Ansatz:
Es steht dort ja [mm] \IR^{4} [/mm] und von daher gehe ich davon aus, dass die Dimension 2 lautet. Ist das korrekt?
Ich bin da wirklich völlig planlos. Ich verstehe nicht mal richtig, was diese Schreibweise oben richtig bedeuten soll. Bin für jede Hilfe dankbar.
Gruß |
| Aufgabe 2 | | geg. ist : F: [mm] Abb(\IR,\IR) \to \IR [/mm] mit [mm] F(\partial)= \partial(1) [/mm] |
Bei der 2. Aufgabe verstehe ich es so, dass es sich hierbei eigentlich um 2 Abbildungen handelt. Also findet hier eine Hintereinanderausführung statt. Aber wie soll ich zeigen, dass diese linear ist?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:42 Fr 04.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi und willkommen hier!
Wieso sollte die Dimension 2 lauten, wenn du nur [mm] \IR^4 [/mm] liest? Müsste man da spontan nicht eher auf dim(U)=4 schließen?
Aber es ist weder 2 noch 4.
Mal eine kleine Erklärung:
In U sind z.B. die Vektoren [mm] \vektor{3 \\ 3 \\ -3 \\ 100} [/mm] oder [mm] \vektor{-10 \\ 0 \\ 10 \\ 1}.
[/mm]
Allgemein gesagt sind in U alle Vektoren des [mm] \IR^4, [/mm] bei denen die Summe der 1. und 3. Komponente [mm] (x_1 [/mm] und [mm] x_3) [/mm] gleich 0 ist.
Daher kannst du einen allgemeinen Vektor [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} [/mm] auch schreiben als [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ -x_1 \\ x_4}, [/mm] da du eben [mm] x_1+x_3=0 [/mm] ausnutzen kannst.
Und [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ -x_1 \\ x_4}=x_1*\vektor{1 \\ 0 \\ -1 \\ 0}+x_2*\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}+x_4*\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}.
[/mm]
Damit kannst du jeden Vektor aus U mit diesen 3 Vektoren darstellen, wie man da sehen kann. Man muss sie eben nur mit geeigneten zahlen multiplizieren.
Diese 3 Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm] bilden damit eine Basis für U (da sie auch linear unabhängig sind). Und da die Dimension die Anzahl der Vektoren in der Basis ist, ist dim(U) =3.
Bei V läuft das ganz genau so.
Nur beim Schnitt von U und V musst du noch ein bisschen tun (aber wirklich nicht viel, gehe vor wie davor!).
Und aus der 2. Frage wird man noch nicht schlau!
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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Vielen vielen Dank Dank für deine Hilfe Teufel.
Für mich erscheint nun einiges wesentlich verständlicher.
Ich frage mich da wirklich warum unser Prof oder Übungsleiter das nicht so einfach und deutlich erklären kann??!!
Kannst du mir das vielleicht erklären??
Habe das Gefühl, dass sie uns mit absicht das leben schwer machen wollen beim mathestudium.... ist da was wahres dran??
Also:
Habe nun die Basis von V bestimmt, die wie folgt lautet:
[mm] \vektor{1\\0\\0\\0}\vektor{0\\1\\0\\-1}\vektor{0\\ 0\\1\\0}
[/mm]
Woraus folgt, dass die Dimension von V:
dim(V) = 3 ist.
Nun ja. Jetzt zum nächsten Aufgabenteil:
Bestimme die Basis von U [mm] \cap [/mm] V
Mein Ansatz ist, dass gleichzeitig
[mm] x_1=-x_3 [/mm] UND [mm] x_4=-x_2 [/mm] gilt.
Und versuche damit eine Linearkombination zu erstellen.....
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Ah! ich glaube für U [mm] \cap [/mm] V erhält man folgende Basis:
[mm] \vektor{1\\0\\-1\\0}\vektor{0\\1\\0\\-1}
[/mm]
und damit dim(U [mm] \cap [/mm] V)=2
Danke nochmal.
Hätte da eine weitere Frage zum Thema der Linearkombinationen:
Ich weiß, dass wenn ein Vektorsystem linear unabhängig ist, auch jede echte Teilmenge von ihnen linear unabhängig ist.
Aber wie beweise ich sowas? Mir ist klar, dass das stimmt und auch warum das so ist, denke ich, aber ich wüsste leider nicht wie ich das mathematisch formal beweisen könnte.
Eine Idee von mir war es von der Potenzmenge zu sprechen, aber da hörts auch wieder auf.
Für Tipps wäre ich dankbar!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Fr 04.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Basis und Dimension stimmen hier auch!
Zur anderen Frage:
Nimm mal an, dass diese Teilmenge, die du aus dem System linear unabhängiger Vektoren nimmst, linear abhängig ist.
Wenn nun diese Teilmenge linear abhängig wäre, dann könnte man den Nullvektor aus diesen Vektoren auf nicht triviale Weise bilden, also gäbe es da Koeffizienten vor den Vektoren, die nicht 0 sind.
Dann kann man aber in dem ganzen System auch nicht linear den Nullvektor bilden. Du kannst nämlich alle Koeffizienten vor Vektoren, die nicht in der Teilmenge waren, 0 setzen. Dann hast du nur wieder deine Teilmenge=0 da zu stehen, salopp gesagt. Und von der nimmst du ja an, dass diese linear abhängig ist. Aber dann wäre das ganze System auch linear abhängig!
Beispiel:
[mm] (v_1, v_2, v_3) [/mm] sind linear unabhängig.
Dann nimmst du an, dass [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] linear abhängig seien.
Dann muss gelten: Bei [mm] \lambda_1 v_1+\lambda_2 v_2=0 [/mm] muss [mm] \lambda_1 \not= [/mm] 0 oder [mm] \lambda_2 \not= [/mm] 0 sein.
Nun setze in [mm] \lambda_1 v_1+\lambda_2 v_2+\lambda_3 v_3=0, \lambda_3=0.
[/mm]
Dann steht da wieder nur [mm] \lambda_1 v_1+\lambda_2 v_2=0, [/mm] und dafür gibt es ja eine nicht triviale Lösung, z.B. [mm] \lambda_1=1 [/mm] und [mm] \lambda_2=0.
[/mm]
Also könnte man dann den Nullvektor darstellen als [mm] 1*v_1+0*v_2+0*v_3=0 [/mm] und damit könnten [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] nicht linear unabhängig gewesen sein.
Teufel
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:43 Sa 05.12.2009 | | Autor: | LittleGauss |
Hmmm.. alles klar. Hatte da eine ganz andere Herangehensweise, aber gut. Deine Erklärung erscheint einfacher. Müsste das dann nur noch auf n Vektoren verallgemeinern.
Frage:
Kannst du mir was du der Abbildung sagen, die ich untersuchen soll?
Danke soweit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:22 Fr 04.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Erstmal: Kein Problem!
Und warum Professoren und/oder Übungsgruppenleiter das nicht machen, weiß ich nicht. Eventuell ist es Zeitmangel, oder sie setzen viele Dinge als trivial voraus. Wer weiß.
Dann muss man sich wohl selber helfen! Oder du sprichst deine Übungsgruppenleiter mal darauf an.
Und die Lösung ist richtig, gut!
Teufel
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Gefragt ist hier, ob es sich dabei um eine LINEARE ABBILDUNG handelt??
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich bitte Dich, die Forenregeln in Zukunft in vollem Umfang einzuhalten.
Dazu gehört der wahrheitsgmäße Hinweis mit Link, wenn Du die Frage noch an anderer Stelle stellst oder gestellt hast.
Gruß v. Angela
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> geg. ist : F: [mm]Abb(\IR,\IR) \to \IR[/mm] mit [mm]F(\partial)= \partial(1)[/mm]
Zu zeigen: F ist linear.
> Bei der 2. Aufgabe verstehe ich es so, dass es sich hierbei
> eigentlich um 2 Abbildungen handelt. Also findet hier eine
> Hintereinanderausführung statt. Aber wie soll ich zeigen,
> dass diese linear ist?
Hallo,
in dieser Aufgabe hast Du eine Funktion F, deren Definitionsbereich nicht die die Menge [mm] \IR^n [/mm] oder Vergleichbares ist, sondern der VR der Abbildungen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR.
[/mm]
Die Vektoren, auf die F angewendet wird, sind also Funktionen.
F ordnet nun jeder reellen Abbildung [mm] \partial [/mm] eine Zahl zu, nämlich den Funktionswert der Abbildung [mm] \partial [/mm] an der Stelle 1, [mm] \partial(1).
[/mm]
Für die Linearität von F mußt Du nun die beiden Linearitätsbedingungen prüfen, ob also
für alle [mm] \delta, \varespsilon \in Abb(\IR,\IR) [/mm] und alle [mm] r\in \IR [/mm] gilt
[mm] F(\delta+\varespsilon)=F(\delta)+F(\varespsilon)
[/mm]
und
[mm] F(r\delta)=rF(\delta).
[/mm]
Um dies zu zeigen, wirst Du darauf zurückgreifen müssen, wie Ihr die Addition von Funktionen und ihre Multiplikation mit Skalaren definiert habt.
Gruß v. Angela
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ok , danke. dann lag ich wohl mit der komposition falsch.
mach mich dann mal sofort an die aufgabe.
vorher aber noch ne andere frage:
ich habe eine weitere Abbildung wie folgt gegeben:
Sei [mm] Pol_2([-1,1]),\IR) [/mm] der VR der Polynomfunktionen auf dem Intervall [-1,1] vom Grad [mm] \le [/mm] 2. Dann ist die Abbildung wie folgt geg.:
L: [mm] Pol_2([-1,1],\IR) [/mm] to [mm] \IR [/mm] , f [mm] \mapsto \integral_{-1}^{1}{f(t) dt}
[/mm]
1.) Zeige , dass diese Abb. IR-linear ist und bestimme eine Basis vom Kern(L).
Meine Frage ist nun:
Gibt es einen Unterschied zwischen linear und IR-linear??
Ist mein folgender Lösungsansatz richtig?
zz.: L(f)+L(g)=L(f+g)
Also:
[mm] \integral_{-1}^{1}{f(t) dt} [/mm] + [mm] \integral_{-1}^{1}{g(t) dt} [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{1}{(f(t) + g(t))dt} [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{1}{(f+g)(t) dt}
[/mm]
Ist das soweit korrekt?
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>
> ich habe eine weitere Abbildung wie folgt gegeben:
>
> Sei [mm]Pol_2([-1,1]),\IR)[/mm] der VR der Polynomfunktionen auf
> dem Intervall [-1,1] vom Grad [mm]\le[/mm] 2. Dann ist die
> Abbildung wie folgt geg.:
>
> L: [mm]Pol_2([-1,1],\IR)[/mm] to [mm]\IR[/mm] , f [mm]\mapsto \integral_{-1}^{1}{f(t) dt}[/mm]
>
> 1.) Zeige , dass diese Abb. IR-linear ist und bestimme eine
> Basis vom Kern(L).
>
>
> Meine Frage ist nun:
>
> Gibt es einen Unterschied zwischen linear und IR-linear??
Hallo,
[mm] \IR-linear [/mm] bedeutet, daß die Skalare aus [mm] \IR [/mm] sind.
Wenn es sowieso klar ist, welchem Körper die Skalare entstammen sollen, schreibt man einfach "linear".
>
> Ist mein folgender Lösungsansatz richtig?
>
> zz.: L(f)+L(g)=L(f+g)
Und dann noch: für alle [mm] f\in Pol_2... [/mm] und [mm] r\in \IR [/mm] gilt L(rf)=rL(f).
>
> Also:
>
> [mm]\integral_{-1}^{1}{f(t) dt}[/mm] + [mm]\integral_{-1}^{1}{g(t) dt}[/mm] =
> [mm]\integral_{-1}^{1}{(f(t) + g(t))dt}[/mm] =
> [mm]\integral_{-1}^{1}{(f+g)(t) dt}[/mm]
>
> Ist das soweit korrekt?
Du mußt natürlich jeden Schritt begründen, bzw. vorrechnen.
Ich würde hier zu vorrechnen tendieren, denn wenn Du einfach sagst: das Integral ist linear, dann beißt sich ja die Katze in den Schwanz.
Gruß v. Angela
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Was meinst du mit Vorrechnen? Ich habe doch schließlich keine konkrete Funktion und auch keine konkreten Werte gegeben.
Ich dachte die Umformungen wären wegen den Regeln für die Addition von Funktionen gültig.. ??
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> Was meinst du mit Vorrechnen? Ich habe doch schließlich
> keine konkrete Funktion und auch keine konkreten Werte
> gegeben.
> Ich dachte die Umformungen wären wegen den Regeln für die
> Addition von Funktionen gültig.. ??
Hallo,
> $ [mm] \integral_{-1}^{1}{f(t) dt} [/mm] $ + $ [mm] \integral_{-1}^{1}{g(t) dt} $\green{=} [/mm] $ [mm] \integral_{-1}^{1}{(f(t) + g(t))dt} [/mm] $ =$ [mm] \integral_{-1}^{1}{(f+g)(t) dt} [/mm] $
Die markierte Gleichheit erklärt sich so aber nicht.
Entweder berufst Du Dich hier auf Eigenschaften des Integrals, oder Du rechnest es vor.
(Wie die Elemente von von $ [mm] Pol_2([-1,1],\IR) [/mm] $ aussehen, weiß man doch recht genau: [mm] ax^2+bx+c [/mm] mit [mm] a,b,c\in \IR.
[/mm]
Von denen kannst Du Dir zwei hernehmen und dann integrieren.)
Gruß v. Angela
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achso! das meintest du mit vorrechnen. wenn ich rechnen höre/lese, denke ich immer an konkrete zahlen. alles klar. danke dir angela.
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