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| Aufgabe | Die Lösung des Gleichungssystem bildet ein Unterraum.
3x1-x2-x3-x4=0
-9x1+7x2-5x3+7x4=0
Bestimmen Sie die Basis des Untervektorraumes. |
Ich weiß nicht, wie ich diese Aufgabe zu lösen habe. Wir hatten auch keine Matrizen in den Vorlesungen, wir kennen lediglich die Definition der Basis aus der Vorlesung.
Meine Idee:
Darstellung als Vektoren:
x1(3/-9)+x2(1/7)+...=0
Aber ich weiß hier auch nicht, wie ich da weiterkomme. Ich würde mich sehr freuen, wenn ihr mir einen Ansatz geben könntet.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Die Lösung des Gleichungssystem bildet ein Unterraum.
> 3x1-x2-x3-x4=0
> -9x1+7x2-5x3+7x4=0
> Bestimmen Sie die Basis des Untervektorraumes.
Hallo,
prinzipiell ist es immer gut, den Originalwortlaut der Aufgabe anzugeben und nicht eine Nacherzählung.
Es geht hier um eine Teilmenge des [mm] \IR^4, [/mm] nämlich um die Menge
[mm] U:=\{\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}\in \IR^4| 3x_1-x_2-x_3-x_4=0 und -9x_1+7x_2-5x_3+7x_4=0\}.
[/mm]
Ich würde mich nicht wundern, wenn Du die Unterraumeigenschaft auch erstmal noch zeigen müßtest.
Wenden wir uns nun dem Problem der Bestimmung einer Basis zu.
Es sind also die Vektoren x in der Menge U, für deren Komponenten gilt
[mm] 3x_1-x_2-x_3-x_4=0 [/mm]
[mm] -9x_1+7x_2-5x_3+7x_4=0
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] 3x_1-x_2-x_3-x_4=0
[/mm]
[mm] 4x_2-8x_3+4x_4=0\qquad [/mm] (entstanden aus 3*1.Zeile+2.Zeile)
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] 3x_1-x_2-x_3-x_4=0
[/mm]
[mm] x_2-2x_3+x_4=0
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] 3x_1-3x_3=0 \qquad [/mm] (entstanden aus 1.Zeile +2.Zeile)
[mm] x_2-2x_3+2x_4=0
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] x_1-x_3=0
[/mm]
[mm] x_2-2x_3+x_4=0.
[/mm]
Also gilt für die Vektoren, die in U sind
[mm] x_1=x_3 [/mm] und [mm] x_2=2x_3-x_4,
[/mm]
dh. sie sind von der Bauart
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{x_3\\2x_3-x_4\\x_3\\x_4}=x_3*\vektor{1\\2\\1\\0}+x_4*\vektor{...\\...\\...\\...}.
[/mm]
Hier siehst Du nun, welche beiden Vektoren die Menge U erzeugen.
Offensichtlich sind sie linear unabhängig, also eine Basis.
Gruß v. Angela
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Vielen Dank für deine ausführliche Antwort! Es war schon eine Teilaufgabe, aber ich musste nicht zeigen, dass das Gleichungssystem ein Unterraum ist. Aber jetzt kan ich die anderen Aufgaben auch lösen. Juhu!
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