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| Aufgabe | Betrachten Sie die Menge
[mm] $V:=\{\vektor{x \\ y \\ z} \in \IR^2: x^2-y^2=0, xy \ge 0\}$
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass $V [mm] \subset \IR^3$ [/mm] ein Untervektorraum ist.
b) Bestimmen Sie eine Basis von V.
c) Geben Sie ein Beispiel einer linearen Abbildung [mm] $F:\IR^3 \to \IR^3$ [/mm] an, eventuell indem Sie die zugehörige Matrix hinschreiben, für die gilt Bild(F)=V. |
Hi, ich habe mal die Aufgabe versucht. Teil a) müsste soweit stimmen oder gibts da etwas, was ich besser/anders machen könnte? Bei Teil b) und c) bräuchte ich einen Tipp.
a)
1. Prüfe ob [mm] $\vec{0} \in [/mm] V$:
Gilt? [mm] $\vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vec{0}\ [/mm] \ \ \ [mm] x^2-y^2=0\ [/mm] \ \ \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ \ \ \ [mm] 0^2-0^2=0 [/mm] \ \ \ \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ \ \ \ 0=0 \ \ \ \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ \ \ d.\ h.\ \ \ [mm] \vec{0} \in [/mm] V$ Also die Bedingung ist erfüllt.
2. Prüfe auf Addition:
Seien [mm] \vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1}, \vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2} \in [/mm] V
[mm] $x_1^2-y_1^2 [/mm] = 0$
[mm] $x_2^2-y_2^2 [/mm] = 0$ [mm] $\Rightarrow$ $\underbrace{x_1^2 + x_2^2 - y_1^2 - y_2^2=0}_{W"urde\ es\ bis\ hier\ hin\ reichen?}$ $\Rightarrow$ $(x_1^2 [/mm] + [mm] x_2^2) [/mm] - [mm] (y_1^2 [/mm] + [mm] y_2^2)=0$
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] $\vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1} [/mm] + [mm] \vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2}=\vektor{x_1 + x_2 \\ y_1 +y_2 \\ z_1 + z_2}$
[/mm]
3. Prüfe auf Multiplikation:
[mm] $x^2-y^2=0\ [/mm] \ \ [mm] \overbrace{\Rightarrow}^{*\lambda}\ [/mm] \ \ \ [mm] (x*\lambda)^2-(y*\lambda)^2=0\ [/mm] \ \ [mm] \Rightarrow\ [/mm] \ \ \ \ [mm] x^2*\lambda^2-y^2*\lambda^2=0 [/mm] \ \ \ [mm] \Rightarrow\ [/mm] \ \ \ \ [mm] \lambda^2*(x^2-y^2)=0$
[/mm]
b)
Könnt ihr mir einen Tipp geben, wie ich hier die Basis bestimmen kann? Bin etwas verunsichert werden den Quadrierten Variablen.
c)
Hier soll ich eine Matrix angeben, bei der (glaub ich zumindest) die Dimension des Bildes gleich der Dimension V ist. Bedeutet das, dass der Rang der Matrix=2 sein muss?
Danke für die Hilfe.
Gruß Thomas
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Hallo!
> 2. Prüfe auf Addition:
>
> Seien [mm]\vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1}, \vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2} \in[/mm]
> V
>
> [mm]x_1^2-y_1^2 = 0[/mm]
> [mm]x_2^2-y_2^2 = 0[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]\underbrace{x_1^2 + x_2^2 - y_1^2 - y_2^2=0}_{W"urde\ es\ bis\ hier\ hin\ reichen?}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm](x_1^2 + x_2^2) - (y_1^2 + y_2^2)=0[/mm]
>
Hier ist schon ein Problem, denn du mußt beweisen, das gilt:
Voraussetzung:
[mm]x_1^2-y_1^2 = 0[/mm]
[mm]x_2^2-y_2^2 = 0[/mm]
[mm] $x_1*y_1 [/mm] >0$ (<-- So ist das doch gemeint, oder?)
[mm] $x_2*y_2 [/mm] >0$
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] (x_1 + x_2)^2 - (y_1 + y_2)^2=0[/mm]
[mm] $(x_1 [/mm] + [mm] x_2)*(y_1 [/mm] + [mm] y_2)>0$ [/mm]
Denn du mußt ja sowohl deine beiden xy-Paare jeweils einsetzen, und das als Voraussetzung nehmen, als auch die Summe der beiden Paare.
Einen Lösungsweg sehe ich grade nicht, aber weißt du überhaupt, was für ein Objekt da überhaupt beschrieben wird?
Wenn du auf die xy-Ebene schaust, ist das die Winkelhalbierende im I. und III. Quadranten (alsu die Funktion y=x). Des weiteren ist die Ebene parallel zur z-Achse. Demnach wären Basisvektoren: (0,0,1) und (1,1,0)
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Hi Event_Horizon,
ich bin mir nicht sicher ob man folgendes:
> Voraussetzung:
>
> [mm]x_1^2-y_1^2 = 0[/mm]
> [mm]x_2^2-y_2^2 = 0[/mm]
> [mm]x_1*y_1 >0[/mm] (<-- So ist
> das doch gemeint, oder?)
> [mm]x_2*y_2 >0[/mm]
zeigen muss.
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm](x_1 + x_2)^2 - (y_1 + y_2)^2=0[/mm]
> [mm](x_1 + x_2)*(y_1 + y_2)>0[/mm]
>
> Denn du mußt ja sowohl deine beiden xy-Paare jeweils
> einsetzen, und das als Voraussetzung nehmen, als auch die
> Summe der beiden Paare.
>
> Einen Lösungsweg sehe ich grade nicht, aber weißt du
> überhaupt, was für ein Objekt da überhaupt beschrieben
> wird?
>
> Wenn du auf die xy-Ebene schaust, ist das die
> Winkelhalbierende im I. und III. Quadranten (also die
> Funktion y=x). Des weiteren ist die Ebene parallel zur
> z-Achse. Demnach wären Basisvektoren: (0,0,1) und (1,1,0)
Hm das mit der Winkelhalbierenden seh ich da jetzt nicht. Könntest du darauf nochmal genauer eingehen bitte?
Danke für die Hilfe.
Gruß Thomas
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> Hm das mit der Winkelhalbierenden seh ich da jetzt nicht.
> Könntest du darauf nochmal genauer eingehen bitte?
Hallo,
es soll ja gelten: [mm] x^2-y^2=0 [/mm] und xy>0.
==> (y=x oder y=-x) und (x,y>0 oder x,y<0)
==> x=y
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:12 Fr 23.02.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo,
wenn Du dir noch einmal die Definition von V anschaust:
Die Bedingung : [mm] x^2 -y^2 [/mm] = 0 , x*y [mm] \ge [/mm] 0 ist äquivalent zu der Bedingung :x = y !
LG
Heiko
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> Hallo,
>
> wenn Du dir noch einmal die Definition von V anschaust:
>
> Die Bedingung : [mm]x^2 -y^2[/mm] = 0 , x*y [mm]\ge[/mm] 0 ist äquivalent
> zu der Bedingung :x = y !
>
>
> LG
>
> Heiko
>
Hi Heiko,
kann ich das als x = y schreiben und die Quadrate wegfallen lassen weil, x*y [mm]\ge[/mm] 0 d. h. entweder sind x und y negative Zahlen oder es sind beide positive Zahlen?
Danke Gruß Thomas
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DAs ist vollkommen korrekt, und damit wird auch der Beweis, den ich angesprochen habe, ziemlich trivial.
(bedenke bitte, wo das [mm] \Rightarrow [/mm] stand. Von dem davor kannst du ausgehen, und du mußt zeigen, daß das darunter stehende dann auch gilt.)
Aber nu ist [mm] $x_1=y_1=a$ [/mm] und [mm] $x_2=y_2=b$
[/mm]
Dann siehst du sofort, daß
$(a+b)(a+b)>0$
und [mm] $(a+b)^2-(a+b)^2=0$ [/mm] gilt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 Fr 23.02.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo Thomas,
genaus so ist es, Du kannst einfach x = y setzen und mit diesem Kriterium weiterrechnen.
Das Nachrechnen der UVR-Axiome und das Bestimmen einer Basis ist damit wesentlich leichter.
Gruß,
Heiko
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Hi,
ich danke euch für eure Beiträge und dass ihr mich darauf gestoßen habt, dass man die Funktion sehr viel vereinfachen kann!
Aber jetzt ist immer noch die Frage, wie kann ich die Basis bestimmen? Und Aufgabenteil c) habe ich auch leider noch keine Mitteilung, ob ich da richtig liege oder eher falsch.
Danke für die Hilfe.
Gruß Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:27 Fr 23.02.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo Thomas,
zu b) Je zwei linear unabhängige Vektoren aus V bilden eine Basis von V da dim V =2
zu c) Beispielsweise erfüllt [mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix} [/mm] die unter c) genannte Bedingung.
Im allgemeinen sind Matritzen aber erst eindeutig bestimmt, wenn die Bilder der Basisvektoren angegeben werden, denn es gibt unendlich viele lineare Abbildungen, die als Bildraum die Menge V haben.
MfG
Heiko
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Hi Heiko,
danke für deine Antwort!
Also hab ich das jetzt so richtig verstanden, dass bei b) z. B.
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] eine Bais bilden würden? Da sie beide ein minimal erzeugenden System sind und linear Abhängig sind?
Ich bin mir jetzt hier nur nicht sicher, ob ich das richtig gemacht habe, dass dieser Vektor "3 Koordinaten" hat. Ich habe jetzt die 3te Koordinate auf 0 gesetzt, da doch dort [mm] \IR^2 [/mm] steht.
Ist in diesem Fall das Bild(F)=2 da die Funktion 2 Koordinaten x, y hat?
> Hallo Thomas,
>
> zu b) Je zwei linear unabhängige Vektoren aus V bilden eine
> Basis von V da dim V =2
>
> zu c) Beispielsweise erfüllt [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
Deshalb diese Matrix, da hier die 1te und 2te Zeile gleich sind, und wenn ich die dann mit Gauß transformiere der Rang=2 heraus kommt?
die
> unter c) genannte Bedingung.
> Im allgemeinen sind Matritzen aber erst eindeutig
> bestimmt, wenn die Bilder der Basisvektoren angegeben
> werden, denn es gibt unendlich viele lineare Abbildungen,
> die als Bildraum die Menge V haben.
>
> MfG
>
> Heiko
>
Danke für die Hilfe Gruß Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 Fr 23.02.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo Thomas ,
in der Aufgabenstellung ist ein Schreibfehler : Es muß natürlich [mm] R^3 [/mm] statt [mm] R^2 [/mm] heißen.
Der Vektor [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] ist kein Basisvektor von V , da doch x = y gelten muß !
Die Tatsache, dass dim V = 2 bedeutet nicht, das die Vektoren aus dem [mm] R^2 [/mm] sein müssen,sonden in diesem Fall, daß die in der Aufgabenstellung beschriebene Teilmenge V des [mm] R^3 [/mm] die Dimension 2 hat.
Die Matrix hat deshalb , wie du richtig erkannt hast, den Rang 2
LG
Heiko
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> Hallo Thomas ,
>
> in der Aufgabenstellung ist ein Schreibfehler : Es muß
> natürlich [mm]R^3[/mm] statt [mm]R^2[/mm] heißen.
>
> Der Vektor [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] ist
> kein Basisvektor von V , da doch x = y gelten muß !
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Wäre das ein Basisvektor? Denn jetzt ist x=y. Ich bin mir deshalb nicht sicher, da ich jetzt für z einen Wert eingesetzt habe, obwohl die z-Koordinate keine Rolle mehr spielt!
Ich habe noch 3 Fragen:
1. Weil die dim V = 2, muss es 2 Basisvektoren geben die linear unabhängig sind und die Basis bilden?
2. Wie sehe ich, dass diese Funktion von [mm] \IR^3 [/mm] nach [mm] \IR^2 [/mm] abbilden? - Deswegen, weil in der Funktion selbst, nur x, y auftaucht und kein "z-Wert" mehr?
3. Die dim V = 2 sagt doch aus, dass sie in den [mm] \IR^2 [/mm] abbildet oder?
Danke!
Lg Thomas
>
> Die Tatsache, dass dim V = 2 bedeutet nicht, das die
> Vektoren aus dem [mm]R^2[/mm] sein müssen,sonden in diesem Fall, daß
> die in der Aufgabenstellung beschriebene Teilmenge V des
> [mm]R^3[/mm] die Dimension 2 hat.
>
> Die Matrix hat deshalb , wie du richtig erkannt hast, den
> Rang 2
>
>
> LG
> Heiko
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 Fr 23.02.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo Thomas,
wie gesagt : Je zwei Vektoren aus der Menge V bilden eine Basis von V, wenn diese linear unabhängig sind, deine beiden Vektoren erfüllen offensichtlich diese Bedingung.
Zu 1) Ja
Zu 2 und 3) Vergiß den [mm] R^2, [/mm] die Matrix beschreibt eine Abbildung [mm] R^3 [/mm] -> [mm] R^3 [/mm] denn V ist eine Teilmenge des [mm] R^3.
[/mm]
Wenn Du beispielweise die Einheitsvektoren des [mm] R^3 [/mm] in die Matrix einsetzt bekommst Du die Vektoren [mm] \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix} [/mm] , also Elemente aus V , heraus.
MfG
Heiko
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