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| Aufgabe | Bestimme eine Basis und die Dimension des Vektorraumes V
a) V={ [mm] {\vektor{a \\ 0} | a Element \IR} [/mm] }
b) V={ [mm] {\vektor{a \\ 0 \\ b} | a,b Element \IR} [/mm] }
c) V={ [mm] {\vektor{a \\ 0 \\ a} | a Element \IR} [/mm] } |
Guten Abend,
Ich weiß gar nicht wie ich ansetzen soll um die basis oder dimension zu bestimmen. Im unterricht haben esalle mal eben so mündlich gemacht, aber ich komme irgendwie nicht drauf was man rechnen muss...
Könntet ihr mir bitte helfen und ansätze geben?
Danke ...
Mfg Powerranger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Do 04.02.2010 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
> Bestimme eine Basis und die Dimension des Vektorraumes V
>
> a) V=$\{$ [mm]{\vektor{a \\ 0} | a Element \IR}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\}$
> b) V=$\{$ [mm]{\vektor{a \\ 0 \\ b} | a,b Element \IR}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\}$
> c) V=$\{$ [mm]{\vektor{a \\ 0 \\ a} | a Element \IR}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\}$
> Guten Abend,
> Ich weiß gar nicht wie ich ansetzen soll um die basis oder
> dimension zu bestimmen. Im unterricht haben esalle mal eben
> so mündlich gemacht, aber ich komme irgendwie nicht drauf
> was man rechnen muss...
> Könntet ihr mir bitte helfen und ansätze geben?
> Danke ...
eine Basis besteht hier aus einer maximalen Anzahl linear unabhängiger Vektoren des Vektorraums (bzw. einer minimalen Anzahl von den Raum aufspannenden Vektoren).
Wenn Du (bei einem endlichdimensionalen Vektorraum) eine Basis gefunden hast, so zähle die Anzahl der Vektoren einer solchen Basis, und das ist dann die Dimension.
Zu a):
Hier ist $\left\{\vektor{a\\0}: a \in \IR\right\}=\left\{a*\blue{\vektor{1\\0}}: a \in \IR\right\}\,.$ Überlege Dir, dass $\left\{\blue{\vektor{1\\0}}\right\}$ hier eine Basis dieses VRs liefert. (Basen sind übrigens nicht eindeutig (wohl aber die Dimension): z.B. wäre hier auch $\left\{\vektor{\pi\\0}\right\}$ eine Basis dieses VRs; aber auch diese bestünde aus nur einem Vektor).
Was ist dann die Dimension?
Zu c):
Analoger Tipp:
$\left\{\vektor{a\\0\\a}: a \in \IR\right\}=\left\{a*\blue{\vektor{1\\0\\1}}: a \in \IR\right\}$. Also?
Zu b):
$\left\{\vektor{a\\0\\b}: a,b \in \IR\right\}=\left\{a*\blue{\vektor{1\\0\\0}}+b*\blue{\vektor{0\\0\\1}}: a \in \IR\right\}\,.$
Du siehst (hoffentlich):
Hier besteht eine Basis also aus mehr als einem Vektor. (Wieviel genau?) Warum sind diese beiden (oben blau gefärbten) Vektoren linear unabhängig? Warum kann hier eine Basis nicht mehr als zwei Vektoren beinhalten?
Beste Grüße,
Marcel
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Hallo,
also erstmal VIELEN LIEBEN DANK für die ausführliche Antwort :)
> Wenn Du (bei einem endlichdimensionalen Vektorraum) eine
> Basis gefunden hast, so zähle die Anzahl der Vektoren
> einer solchen Basis, und das ist dann die Dimension.
OK.Verstanden.
> Zu a):
>
> Hier ist [mm]\left\{\vektor{a\\0}: a \in \IR\right\}=\left\{a*\blue{\vektor{1\\0}}: a \in \IR\right\}\,.[/mm]
> Überlege Dir, dass [mm]\left\{\blue{\vektor{1\\0}}\right\}[/mm]
> hier eine Basis dieses VRs liefert. (Basen sind übrigens
> nicht eindeutig (wohl aber die Dimension): z.B. wäre hier
> auch [mm]\left\{\vektor{\pi\\0}\right\}[/mm] eine Basis dieses VRs;
> aber auch diese bestünde aus nur einem Vektor).
Und nimmt man dann der Einfachheitshalber Vektoren mit der 1?
> Was ist dann die Dimension?
Die Dimension wäre dann 1.
>
> Zu c):
>
> Analoger Tipp:
> [mm]\left\{\vektor{a\\0\\a}: a \in \IR\right\}=\left\{a*\blue{\vektor{1\\0\\1}}: a \in \IR\right\}[/mm].
> Also?
Ja, dann wäre die Basis [mm] {\vektor{1\\0\\1}} [/mm] und die Dimension 1..?
>
> Zu b):
>
> [mm]\left\{\vektor{a\\0\\b}: a,b \in \IR\right\}=\left\{a*\blue{\vektor{1\\0\\0}}+b*\blue{\vektor{0\\0\\1}}: a \in \IR\right\}\,.[/mm]
>
> Du siehst (hoffentlich):
> Hier besteht eine Basis also aus mehr als einem Vektor.
Woher kann ich es denn sehen, einfach so?? Hättest du mir das nicht gezeigt, würde ich nicht drauf kommen. Und wie kommt man darauf, die basis so zu bilden?Also mein problem ist glaube ich, dass ich nicht weiß, wie ich die basis bilde.
> (Wieviel genau?)
Aus 2 vektoren. Also, Dimension 2?
Warum sind diese beiden (oben blau
> gefärbten) Vektoren linear unabhängig?
Keine Ahnung, Weil es die gesuchten Basen sind?Könnte ich hier aber auch andere Vektoren nehmen?so wie oben mit dem [mm] \pi [/mm] ?
Warum kann hier
> eine Basis nicht mehr als zwei Vektoren beinhalten?
Weil zwei variable vorhanden sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:07 Fr 05.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
indirekt liegt es an den 2 Parametern a und b, aber genauer, weil du ja a und b verschieden wählen kannst, a=1,b=0 und a=0 b=1 ist das einfachste und dann hast du 2 linear unabhängige Vektoren. unabhängig heissen sie, weil man
[mm] \alpha*\vektor{1\\0\\0}+\beta*\vektor{0\\0\\1}=\vektor{0\\0\\0} [/mm] nur lösen kann, mit [mm] \alpha=\beta=0
[/mm]
dagegen wären [mm] \vektor{4\\0\\2}und \vektor{-2\\0\\-1} [/mm] nicht linear unabhängig, weil [mm] 1*\vektor{4\\0\\2}+(-2)*\vektor{-2\\0\\-1}=\vektor{0\\0\\0} [/mm] ergibt.
aber auch hier könntest du als Basis andere Wählen, z.Bsp [mm] \vektor{4\\0\\2} [/mm] und [mm] \vektor{3\\0\\2} [/mm] auch die kann man nicht zu Null addieren ausser mit [mm] \alpha=\beta=0
[/mm]
da die anderen aber einfacher sind und man direkt sieht, dass die Bedingung nur mit [mm] \alpha=\beta=0 [/mm] kann man die Addition hinkriegen nimmt man üblicherweise die einfachsten.
Die Dimension ist die maximalzahl der lin unabhängigen Vektoren in einem VR.
Gruss leduart
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Hallo,
Ehrlich gesagt hat mich das noch mehr verwirrt, weil es ja mit a=b=0 mit jedem Basisvektor klappt, und, wenn das so ist, dass a=b=0 sein muss, sind die Vektoren doch abhängig ?
Vielleicht frage ich mal anders: Wie gehe ich an diese Aufgabe ran?
Muss ich versuchen durch die Basis den Nulllvektor darzustellen oder muss ich versuchen durch eine Linearkombination der Basisvektoren den Vektorraum darzustellen?
d.h. z.B. : r * [mm] \vektor{x \\ y}+ [/mm] s* [mm] \vektor{m \\ n} [/mm] = [mm] \vektor{a \\ 0} [/mm] ??
MfG Powerranger
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> Hallo,
> Ehrlich gesagt hat mich das noch mehr verwirrt, weil es ja
> mit a=b=0 mit jedem Basisvektor klappt, und, wenn das so
> ist, dass a=b=0 sein muss, sind die Vektoren doch abhängig
> ?
Hallo,
linear unabhängig sind zwei Vektoren [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2, [/mm] wenn aus [mm] av_1+bv_2=0 [/mm] folgt, daß a=b=0,
wenn es also keine andere Möglichkeit als dieses gibt, die Null als Linearkombination von [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] darzustellen.
Linear abhängig sind zwei Vektoren [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2, [/mm] wenn es eine Möglichkeit gibt, die Null zu schreiben als [mm] av_1+bv_2=0, [/mm] wobei a und b nicht beide =0 sind.
>
> Vielleicht frage ich mal anders: Wie gehe ich an diese
> Aufgabe ran?
Du sollst eine Basis sagen von den angegebenen Mengen.
Eine Basis ist ein Erzeugendensystem mit zusätzlichen Eigenschaften.
Marcel hat Dir in seiner Antwort sehr schön vorgeführt, wie Du ein Erzeugendensystem der angegebenen Mengen "sehen" kannst.
Um zu zeigen, daß die gefundenen Erzeugendensysteme Basen sind, hast Du diese Möglichkeiten:
1. Du zeigst, daß es sich um ein linear unabhängiges Erzeugendensystem handelt
2. Du zeigst, daß das Erzeugendensystem minimal ist, also auf keinen der Vektoren verzichtet werden kann.
> Muss ich versuchen durch die Basis den Nulllvektor
> darzustellen
Wenn Du nachweist, daß der Nullvektor nur auf triviale Weise als Linearkombination der fraglichen vektoren darzustellen ist, hast Du die lineare Unabhängigkeit gezeigt. (s.o.)
> oder muss ich versuchen durch eine
> Linearkombination der Basisvektoren den Vektorraum
> darzustellen?
Wenn Du zeigst, daß man jedes Element der Menge als Linearkombination der fraglichen Vektoren darstellen kann, hast Du gezeigt, daß es sich um ein Erzeugendensystem handelt.
Basis beinhaltet: linear unabhängig und Erzeugendensystem.
Gruß v. Angela
> d.h. z.B. : r * [mm]\vektor{x \\ y}+[/mm] s* [mm]\vektor{m \\ n}[/mm] =
> [mm]\vektor{a \\ 0}[/mm] ??
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> MfG Powerranger
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Guten Abend,
Ich danke allen, ich werde es mir nochmal mit einem klaren kopf angucken und dann werde ich es schon verstehen. Ich habe einen brett vorm kopf, das weitere fragen nützt nichts mehr. Nachher wird sich es schon ergeben
Schönen Abend noch
Gruß
Powerranger
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