Basis Unterraum mit Skalarpr. < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:57 Di 17.07.2012 | | Autor: | JohnLH |
| Aufgabe | Der Skalarprodukt ist definiert durch skalar [mm] =\integral_{0}^{1}{f(x)*g(x) dx}
[/mm]
Ich muss eine Basis des Unterraums aller Polynome in P3 suchen, die bezüglich <.,.> senkrecht auf q(x)=x stehen. |
Ich bitte um Hilfe, denn ich weiss nicht, wie ich es anfangen/lösen kann.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://matheplanet.com/default3.html?call=viewforum.php?forum=30&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.com%2Furl%3Fsa%3Dt%26rct%3Dj%26q%3Dforum%2520lineare%2520algebra%26source%3Dweb%26cd%3D3%26ved%3D0CFwQFjAC
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Hallo JohnLH,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Der Skalarprodukt ist definiert durch skalar
> [mm]=\integral_{0}^{1}{f(x)*g(x) dx}[/mm]
>
> Ich muss eine Basis des Unterraums aller Polynome in P3
> suchen, die bezüglich <.,.> senkrecht auf q(x)=x stehen.
> Ich bitte um Hilfe, denn ich weiss nicht, wie ich es
> anfangen/lösen kann.
>
Wähle die Standardbasis dieses Unterraums.
Wende dann das ![[]](/images/popup.gif) Orthogonalierungsverfahren nach Gram-Schmidt an.
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> http://matheplanet.com/default3.html?call=viewforum.php?forum=30&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.com%2Furl%3Fsa%3Dt%26rct%3Dj%26q%3Dforum%2520lineare%2520algebra%26source%3Dweb%26cd%3D3%26ved%3D0CFwQFjAC
Gruss
MathePower
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:33 Mi 18.07.2012 | | Autor: | JohnLH |
> Wähle die Standardbasis dieses Unterraums.
Was ist die Standardbasis? Die normale [mm] {1,x,x^2,x^3} [/mm] geht nicht, weil diese Vektoren auf x nicht senkrecht stehen
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> Der Skalarprodukt ist definiert durch skalar
> [mm]=\integral_{0}^{1}{f(x)*g(x) dx}[/mm]
>
> Ich muss eine Basis des Unterraums aller Polynome in P3
> suchen, die bezüglich <.,.> senkrecht auf q(x)=x stehen.
Hallo,
.
Ich glaube, Du sollstest mal die Aufgabenstellung im Originalwortlaut verraten.
Denn so, wie Du es hier steht, wird es nicht klappen, fürchte ich...
Ich vermute eher, Du sollst drei Vektoren finden, die allesamt orthogonal zu x sind und zusammen mit x eine Basis des [mm] P_3 [/mm] bilden.
Diese Aufgabenstellung kannst Du bewältigen, indem Du das Gram-Schmidt-Verfahren mit den Startvektoren [mm] (x,1,x^2,x^3) [/mm] beginnst, denn der erste Vektor bleibt beim Orthogonalisieren ja unverändert.
Beim Orthogonalisieren mußt Du natürlich immer das hier definierte Skalarprodukt nehmen, auch beim Prüfen, ob die Vektoren wirklich orthogonal sind.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:41 Mi 18.07.2012 | | Autor: | fred97 |
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> > Der Skalarprodukt ist definiert durch skalar
> > [mm]=\integral_{0}^{1}{f(x)*g(x) dx}[/mm]
> >
> > Ich muss eine Basis des Unterraums aller Polynome in P3
> > suchen, die bezüglich <.,.> senkrecht auf q(x)=x stehen.
>
> Hallo,
>
> .
>
> Ich glaube, Du sollstest mal die Aufgabenstellung im
> Originalwortlaut verraten.
> Denn so, wie Du es hier steht, wird es nicht klappen,
> fürchte ich...
Hallo Angela,
wieso soll das nicht klappen ? Ich verstehe die Aufgabe so: sei U die lineare Hülle von [mm] \{q\}. [/mm] Gesucht ist eine Basis von [mm] U^{\perp}.
[/mm]
Grüße FRED
>
> Ich vermute eher, Du sollst drei Vektoren finden, die
> allesamt orthogonal zu x sind und zusammen mit x eine Basis
> des [mm]P_3[/mm] bilden.
> Diese Aufgabenstellung kannst Du bewältigen, indem Du das
> Gram-Schmidt-Verfahren mit den Startvektoren [mm](x,1,x^2,x^3)[/mm]
> beginnst, denn der erste Vektor bleibt beim
> Orthogonalisieren ja unverändert.
>
> Beim Orthogonalisieren mußt Du natürlich immer das hier
> definierte Skalarprodukt nehmen, auch beim Prüfen, ob die
> Vektoren wirklich orthogonal sind.
>
> LG Angela
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> > > Ich muss eine Basis des Unterraums aller Polynome in P3
> > > suchen, die bezüglich <.,.> senkrecht auf q(x)=x stehen.
> >
> > Hallo,
> >
> > .
> >
> > Ich glaube, Du sollstest mal die Aufgabenstellung im
> > Originalwortlaut verraten.
> > Denn so, wie Du es hier steht, wird es nicht klappen,
> > fürchte ich...
>
> Hallo Angela,
>
> wieso soll das nicht klappen ? Ich verstehe die Aufgabe so:
> sei U die lineare Hülle von [mm]\{q\}.[/mm] Gesucht ist eine Basis
> von [mm]U^{\perp}.[/mm]
Hallo,
achso!
Ja, das ist sinnvoll.
Ich dacht', man sollte eine Basis des [mm] P_3 [/mm] angeben, und ich habe noch dazugedichtet, daß es eine OGB sein soll.
Nun, von der Rechnung her hab' ich mit meiner Interpetation dann immerhin doch nichts Falsches initiiert.
Der von Dir vorgeschlagene Lösungsweg ist aber entscheiden angenehmer.
LG Angela
>
> Grüße FRED
> >
> > Ich vermute eher, Du sollst drei Vektoren finden, die
> > allesamt orthogonal zu x sind und zusammen mit x eine Basis
> > des [mm]P_3[/mm] bilden.
> > Diese Aufgabenstellung kannst Du bewältigen, indem Du
> das
> > Gram-Schmidt-Verfahren mit den Startvektoren [mm](x,1,x^2,x^3)[/mm]
> > beginnst, denn der erste Vektor bleibt beim
> > Orthogonalisieren ja unverändert.
> >
> > Beim Orthogonalisieren mußt Du natürlich immer das hier
> > definierte Skalarprodukt nehmen, auch beim Prüfen, ob die
> > Vektoren wirklich orthogonal sind.
> >
> > LG Angela
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:49 Mi 18.07.2012 | | Autor: | fred97 |
Ich verstehe die Aufgabe so: sei U die lineare Hülle von $ [mm] \{q\}. [/mm] $ Gesucht ist eine Basis von $ [mm] U^{\perp}. [/mm] $
Sei p [mm] \in P_3, p(x)=ax^3+bx^2+cx+d.
[/mm]
Dann:
p [mm] \in U^{\perp} \gdw \integral_{0}^{1}{x\cdot{}p(x) dx}=0 \gdw
[/mm]
(*) [mm] \bruch{1}{5}a+ \bruch{1}{4}b+ \bruch{1}{3}c+ \bruch{1}{2}d=0.
[/mm]
Bestimme also 3 linear unabhängige Polynome aus [mm] P_3, [/mm] deren Koeffizienten jeweils die Gl. (*) erfüllen.
Das geht wesentlich schneller als mit Gram.Schmidt
FRED
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:09 Mi 18.07.2012 | | Autor: | JohnLH |
A =
0.5000 0 0 0
-0.3333 1.0000 0 0
-0.2500 0 1.0000 0
-0.2000 0 0 1.0000
Mit deiner Formel kommt diese Matrix raus, wie kann ich überprüfen, ob diese funktioniert?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Mi 18.07.2012 | | Autor: | JohnLH |
Oder wäre die Basis
-5 -5 -5 0
0 0 4 -4
0 3 0 -3
2 0 0 4
?Aber dabei ist der letzte Vektor linear abhängig, also es ist eigentlich keine Basis.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:27 Mi 18.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Oder wäre die Basis
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> -5 -5 -5 0
> 0 0 4 -4
> 0 3 0 -3
> 2 0 0 4
>
> ?Aber dabei ist der letzte Vektor linear abhängig, also es
> ist eigentlich keine Basis.
Was treibst Du da eigentlich ?
Wir hatten:
(*) $ [mm] \bruch{1}{5}a+ \bruch{1}{4}b+ \bruch{1}{3}c+ \bruch{1}{2}d=0. [/mm] $
Du hast die große Auswahl !
Wir wählen z.B. immer d=-2.
erstes Basiselement: b=c=0 und a=5, also [mm] p_1(x)=5x^3-2
[/mm]
zweites Basiselement: a=c=0 und b=4, also [mm] p_2(x)=4x^2-2
[/mm]
drittes Basiselement: a=b=0 und c=3, also [mm] p_3(x)=3x-2
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Fr 20.07.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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