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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 Sa 24.04.2010 | | Autor: | Phecda |
Hi
hab einige Verständnisprobleme bei folgender Aufgabe:
Sei [mm] K^\IN [/mm] := { [mm] (a_n)_n\in\IN [/mm] | [mm] \forall n\in\IN: a_n \in [/mm] K und [mm] \exists [/mm] N [mm] \in\IN: a_n [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N} der K-VR der abbrechenden Folgen in K.
[mm] e_1:= [/mm] (1,0,0,0,...)
[mm] e_2:= [/mm] (0,1,0,0,...)
[mm] e_3:= [/mm] (0,0,1,0,...)
...
[mm] b_1 [/mm] := [mm] e_{i+1} [/mm] - [mm] e_i \in K^\IN [/mm] für i [mm] \in \IN
[/mm]
Zeigen sie
[mm] (b_1,b_2,b_3,...) [/mm] ist eine Basis von [mm] K^\IN.
[/mm]
Sei [mm] b_i\* [/mm] : [mm] K^\IN [/mm] -> K, [mm] b_j [/mm] -> [mm] d_{ij} [/mm] für i,j [mm] \in\IN.
[/mm]
Bestimme [mm] b_i\*(e_j) [/mm] für i,j [mm] \in\IN.
[/mm]
Okay zuerst. Ich versteh schon gar nicht warum b eine basis sein soll bzw. wie ich das zeigen soll.
ich hab hier die ersten paar elemente:
(1,0,0,0,0,...)
(-1,1,0,0,0,...)
(0,-1,1,0,0,0...)
(0,0,-1,1,0,0,...)
Oder ist das falsch?
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Hallo,
> hab einige Verständnisprobleme bei folgender Aufgabe:
>
> Sei [mm]K^\IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= { [mm](a_n)_n\in\IN[/mm] | [mm]\forall n\in\IN: a_n \in[/mm] K
> und [mm]\exists[/mm] N [mm]\in\IN: a_n[/mm] = 0 [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
N} der K-VR der
> abbrechenden Folgen in K.
>
> [mm]e_1:=[/mm] (1,0,0,0,...)
> [mm]e_2:=[/mm] (0,1,0,0,...)
> [mm]e_3:=[/mm] (0,0,1,0,...)
> ...
>
> [mm]b_1[/mm] := [mm]e_{i+1}[/mm] - [mm]e_i \in K^\IN[/mm] für i [mm]\in \IN[/mm]
Du meinst wohl:
[mm] $b_{1}:= e_{1}$,
[/mm]
[mm] $b_{i+1}:=e_{i+1} [/mm] - [mm] e_{i}$
[/mm]
für [mm] $i\in\IN$.
[/mm]
> Zeigen sie
>
> [mm](b_1,b_2,b_3,...)[/mm] ist eine Basis von [mm]K^\IN.[/mm]
> Sei [mm]b_i\*[/mm] : [mm]K^\IN[/mm] -> K, [mm]b_j[/mm] -> [mm]d_{ij}[/mm] für i,j [mm]\in\IN.[/mm]
> Bestimme [mm]b_i\*(e_j)[/mm] für i,j [mm]\in\IN.[/mm]
> Okay zuerst. Ich versteh schon gar nicht warum b eine basis
> sein soll bzw. wie ich das zeigen soll.
> ich hab hier die ersten paar elemente:
>
> (1,0,0,0,0,...)
> (-1,1,0,0,0,...)
> (0,-1,1,0,0,0...)
> (0,0,-1,1,0,0,...)
> Oder ist das falsch?
Das ist richtig.
Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.
-Leuchtet es dir ein, warum die Basis ein Erzeugendensystem ist? Wenn nein, warum nicht?
Stelle zum Beispiel die Folge
(1,2,3,0,0,0,0,...)
mit Hilfe der Basis dar.
Beachte: Eine Linearkombination aus einer Familie von Vektoren besteht bei uns aus endlich vielen Summanden!
Genau deswegen wurde in der Aufgabenstellung auch benötigt, dass es "abbrechende Folgen" sind.
-Warum ist diese Basis linear unabhängig? Ich zitiere dazu: "Eine Basis ist linear unabhängig, wenn jede endliche Teilfamilie der Basis linear unabhängig ist". Nimm also endlich viele [mm] b_{i_{1}},...,b_{i_{r}} [/mm] aus der Basis heraus und zeige, dass diese linear unabhängig sind.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Sa 24.04.2010 | | Autor: | Phecda |
okay das mit der basis habe ich verstanden ....
soll ich die argumentation aufschreiben?
mit der dualen abbildung verstehe ich gar nciht... kann ich nicht einfach [mm] e_j(ei) [/mm] nehmen?
dann hätte ich ja sozusagen das triviale skalarprodukt von den e vektoren ....
was hat das mit b zu tun?
wäre schön wenn du mir da noch etwas weiterhelfen könntest
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Hallo,
> okay das mit der basis habe ich verstanden ....
> soll ich die argumentation aufschreiben?
Ja, auf deinen Zettel! 
> mit der dualen abbildung verstehe ich gar nciht... kann ich
> nicht einfach [mm]e_j(ei)[/mm] nehmen?
> dann hätte ich ja sozusagen das triviale skalarprodukt
> von den e vektoren ....
> was hat das mit b zu tun?
Du willst nun [mm] $b_{i}^{\*}(e_{j})$ [/mm] bestimmen.
Mache dir dazu klar, dass
[mm] $e_{j} [/mm] = [mm] b_{1} [/mm] + ... + [mm] b_{j}$,
[/mm]
d.h.
[mm] $b_{i}^{\*}(e_{j}) [/mm] = [mm] b_{i}^{\*}( b_{1} [/mm] + ... + [mm] b_{j}) [/mm] = ...$
und die Definition der Bilder von den [mm] b_{k} [/mm] kennst du per Definition!
Grüße,
Stefan
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