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| Aufgabe | a) Geben Sie eine Basis B an zu:
LH [mm] \{ sin(x) ; cos(x) ; sin(x+2\pi) ; \pi ; \bruch{x^{3}+x}{x^{2}+1} ; x-1; x^{2} ; 2sin(x)\}
[/mm]
b) Liegt [mm] cos^{2} [/mm] in B? |
Hallo !!
was eine Basis ist,weiß ich . die vektoren/ elemente der Basis sind ja linear unabhängig. ich schätze mal,dass es mehrere Basen gibt?
hier:
sin(x) und 2sin(x) sind linear abhängig,also gemeinsam sind sie nicht in der Basis.
ich weiß aber irgendwie nicht,welche noch lin abhängig sind,damit ich diese ausschließen kann.
wie sieht das bei der b aus? wie überprüf ich das?
ich hoffe,es kann mir jemand einen tipp geben:(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
> a) Geben Sie eine Basis B an zu:
> LH [mm]\{ sin(x) ; cos(x) ; sin(x+2\pi) ; \pi ; \bruch{x^{3}+x}{x^{2}+1} ; x-1; x^{2} ; 2sin(x)\}[/mm]
>
> sin(x) und 2sin(x) sind linear abhängig,also gemeinsam
> sind sie nicht in der Basis.
Soweit so gut, fang doch vorne an und Prüfe, ob das hinzugekommene Element linear abhängig ist von den vorherigen.
1.) sinx
Ok, alleine ist sinx bestimmt nicht linear abhängig :)
2.) cosx
Lässt sich cosx darstellen als [mm] \lambda*sinx? [/mm] Nein => ergo nicht lin ab.
3.) [mm] sin(x+2\pi) [/mm] = ?
Überlege es dir, dann kennst du die Antwort 
4.) [mm] \pi [/mm] Kannst du diese Konstante durch die vorherigen Elemente erzeugen?
5.) [mm] \bruch{x^{3}+x}{x^{2}+1} [/mm] Klammer oben x aus, und kürze maximal. Kannst du das Element was herauskommt erzeugen?
.
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Naja, mach das mal zuende und dann schreibe wieder 
> b) Liegt [mm]cos^{2}[/mm] in B?
Überlege dir, ob du [mm] cos^2 [/mm] durch die Elemente der Basis erzeugen kannst.
Wenn ja, gib es am besten einfach an, wenn nicht, warum nicht?
Vllt hilft dir dabei ja auch [mm] cos^2(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(1+cos(2x))
[/mm]
MfG,
Gono.
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hej!!dankeschön...aber ich konnte danach nicht schlafen und hab es selbst versucht. bin auf fast alles gekommen;)
merci!!
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zur a)
ich hab mal das hier rausbekommen:
1.) sinx --->kommt in meine Basis
2.) cosx ---> kommt in meine Basis
3.) [mm] sin(x+2\pi) [/mm] ---> kommt NICHT rein,weil sinx das gleiche ergebnis erzeugt, zb für x= [mm] 2\pi [/mm] sinx= 0 und [mm] sin(x+2\pi)= [/mm] 0
4.) [mm] \bruch{x^{3}+x}{x^{2}+1} [/mm] ergibt nach kürzen x --->kommt in meine Basis
5.) x-1 --->kommt in meine Basis,denn kann ich durch nichts anderes hier ausdrücken
6.) [mm] x^{2}--->kommt [/mm] NICHT in meine Basis, weil ich das ergebnis durch x ausdrücken kann, BEISPIEL: x= 3 [mm] x^{2}=9 [/mm] = 3x
7.) 2sinx --->kommt NICHT in meine Basis, weil 2*1.) = 2sinx
8.) [mm] \pi [/mm] da häng ich,ich glaub nicht,dass es durch was anderes hier ausgedrückt werden kann.
meine Basis B= [mm] \{sin(x) ; cos(x) ; \pi ; \bruch{x^{3}+x}{x^{2}+1} ; x-1 \}
[/mm]
b) ich denke ich kann [mm] cos^{2} [/mm] durch cosx ausdrücken, vielleicht so wie bei [mm] x^{2} [/mm] und x ...aber da muss ich heut mal noch überlegen....
danke schonmal:)
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Huhu
> zur a)
> ich hab mal das hier rausbekommen:
> 1.) sinx --->kommt in meine Basis
> 2.) cosx ---> kommt in meine Basis
> 3.) [mm]sin(x+2\pi)[/mm] ---> kommt NICHT rein,weil sinx das
> gleiche ergebnis erzeugt, zb für x= [mm]2\pi[/mm] sinx= 0 und
> [mm]sin(x+2\pi)=[/mm] 0
Oder kurz: Es gilt [mm]sin(x+2\pi) = sinx[/mm] da [mm] 2\pi [/mm] gerade die Periode vom Sinus ist
> 4.) [mm]\bruch{x^{3}+x}{x^{2}+1}[/mm] ergibt nach kürzen x
> --->kommt in meine Basis
Jap
> 5.) x-1 --->kommt in meine Basis,denn kann ich durch
> nichts anderes hier ausdrücken
Ok
> 6.) [mm]x^{2}--->kommt[/mm] NICHT in meine Basis, weil ich das
> ergebnis durch x ausdrücken kann, BEISPIEL: x= 3 [mm]x^{2}=9[/mm]
> = 3x
Sooo und hier hast du einen kleinen Denkfehler.
Es geht nicht darum, es für EIN x zu erzeugen, sondern ob du die Funktion f(x) = [mm] x^2 [/mm] durch die vorherigen Funktionen erzeugen kannst.
D.h. gibt es [mm]a,b,c \in \IR[/mm], so dass [mm]x^2 = asinx + bcosx + cx[/mm] für ALLE x gilt?
> 7.) 2sinx --->kommt NICHT in meine Basis, weil 2*1.) =
> 2sinx
Jop
> 8.) [mm]\pi[/mm] da häng ich,ich glaub nicht,dass es durch was
> anderes hier ausgedrückt werden kann.
Schau dir mal 4.) und 5.) an.
> b) ich denke ich kann [mm]cos^{2}[/mm] durch cosx ausdrücken,
> vielleicht so wie bei [mm]x^{2}[/mm] und x ...aber da muss ich heut
> mal noch überlegen....
Na dann überleg nochmal
> danke schonmal:)
Kein DIng.
MfG,
Gono.
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also ich habe nun diese aufgabe mit einem freund versucht zu lösen
Basis= $ [mm] \{ sin(x) ; cos(x) ; \pi ; \bruch{x^{3}+x}{x^{2}+1} ; x-1; x^{2} \} [/mm] $
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| Aufgabe | Geben Sie eine Basis des folgenden Vektorraums U:= LH [mm] \{sin^{2}(x) ; 2sin^{2}(x) + 3e^{x}; x^{2}+x ; x; \pi ; e^{x} ; x^{3} + 2x^{4}\} [/mm] an.
Liegt [mm] cos^{2}(x) [/mm] in U?? |
als basis hab ich raus B= [mm] \{sin^{2}(x) ; x^{2}+x ; x; \pi ; e^{x} ; x^{3} + 2x^{4}\}
[/mm]
nun meint jemand,dass [mm] cos^{2}(x) [/mm] in U liegt,weil:
[mm] cos^{2}(x) [/mm] + [mm] sin^{2}(x) [/mm] = 1
diese begründung versteh ich nicht,weil wo ist meine 1 in U??
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> Geben Sie eine Basis des folgenden Vektorraums U:= LH
> [mm]\{sin^{2}(x) ; 2sin^{2}(x) + 3e^{x}; x^{2}+x ; x; \pi ; e^{x} ; x^{3} + 2x^{4}\}[/mm]
> an.
>
> Liegt [mm]cos^{2}(x)[/mm] in U??
> als basis hab ich raus B= [mm]\{sin^{2}(x) ; x^{2}+x ; x; \pi ; e^{x} ; x^{3} + 2x^{4}\}[/mm]
>
> nun meint jemand,dass [mm]cos^{2}(x)[/mm] in U liegt,weil:
> [mm]cos^{2}(x)[/mm] + [mm]sin^{2}(x)[/mm] = 1
>
> diese begründung versteh ich nicht,weil wo ist meine 1 in
> U??
Hallo,
1 ist in U enthalten, denn es ist ja [mm] \bruch{1}{\pi}*\pi=1.
[/mm]
Damit kannst Du cos^2x schreiben als Linearkombination von [mm] \pi [/mm] und sin^2x, also ist [mm] cos^2 [/mm] in der Linearen Hülle.
Gruß v. Angela
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danke angela,
mensch,warum bin ich nicht selbst drauf gekommen:)
dementsprechend gilt dies für meine frage 1 nicht,also
bei frage 1:
[mm] cos^{2}(x) [/mm] ist nicht in Basis,da es sich nicht durch sin(x) und [mm] \pi [/mm] ausdrücken lässt. wäre in meiner frage 1 auch das [mm] sin^{2}(x) [/mm] enthalten,dann ginge das natürlich wieder!!
DANKE!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:55 So 29.03.2009 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
ich nochmal.
Deine Basis ist falsch.
Schau dir mal nochmal genau [mm] \pi [/mm] ; [mm] \bruch{x^{3}+x}{x^{2}+1} [/mm] ; x-1 an.
MfG,
Gono.
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danke Gonozal...hab das übersehen:
also ist [mm] \bruch{x^{2}+x}{x^{2}+1}=(x-1) [/mm] *1 + [mm] \pi*\bruch{1}{\pi}
[/mm]
demnach wäre meine Basis
$ [mm] \{ sin(x) ; cos(x) ; \pi ; x-1; x^{2} \} [/mm] $
Danke nochmal für den Hinweis:)
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