Basis aus Eigenvektoren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Mo 28.12.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe hier ein Beispiel zu Basen aus Eigenvektoren, dass ich nicht verstehe.
[mm] V=\IR^2 [/mm] und [mm] K=\IR
[/mm]
Als erstes habe ich ein Bild gegeben, an dem ein Vektor [mm] v_2 [/mm] an einem Vektor [mm] v_1 [/mm] gespiegelt wird.
Der Vektor [mm] v_1 [/mm] geht durch den Nullpunkt und zeigt in den ersten Quadranten.
Nun wird gesagt, dass die Spiegelung eine Basis [mm] (v_1,v_2) [/mm] aus Eigenvektoren hat.
Dann wird gesagt, die Eigenwerte sind [mm] \lambda_1=1 [/mm] und [mm] \lambda_2=-1.
[/mm]
Und dann, dass in dieser Basis die zugehörige Matrix die Gestalt [mm] \pmat{ +1 & 0 \\ 0 & -1 } [/mm] annimmt.
Das verstehe ich nicht.
1) Woher weiß ich, dass die Spiegelung eine Basis aus Eigenvektoren hat?
2) Woher weiß ich, was die Eigenwerte sind?
Ich meine, es gibt doch viele Abbildungsvorschriften für eine Spiegelung.
Wenn ich z.B. an der x-Achse spiegele, dann hab ich die Vorschrift $(x,y) [mm] \mapsto [/mm] (-x,-y)$.
Wenn ich an einer Geraden durch den Ursprung spiegele, die durch den ersten und dritten Quadrante geht, dann hab ich doch die Vorschrift $(x,y) [mm] \mapsto [/mm] (-x,y)$.
Wie kann ich da eindeutig Eigenwerte bestimmen?
3) Wie komme ich auf die Gestalt der Matrix? Und wieso in dieser Basis? Die Basis ist doch nur ganz allgemein [mm] (v_1,v_2).
[/mm]
Freue mich sehr über eine Antwort.
LG Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Mo 28.12.2009 | | Autor: | Merle23 |
Hi,
wie kann man eine Spiegelung in der Ebene beschreiben? In dem man die Gerade angibt an der gespiegelt wird.
Und genau das hast du hier gegeben in deinem Beispiel. Du hast eine Spiegelung an der Geraden, die durch den Richtungsvektor [mm] v_1 [/mm] gegeben ist, gegeben.
Das die Spiegelung eine Basis aus EV hat, siehst du in diesem Beispiel einfach an dem Bild. Was passiert mit [mm] v_1 [/mm] beim Spiegeln? Was mit [mm] v_2? [/mm] Dementsprechend hast du auch gleich die EW zu diesen beiden EV.
Und da [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] lin. unabh. sind, bilden sie auch gleich eine Basis.
Und in der diagonalisierten Matrix stehen immer die EW auf der Diagonale.
LG, Alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Fr 01.01.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Alex!
> wie kann man eine Spiegelung in der Ebene beschreiben? In
> dem man die Gerade angibt an der gespiegelt wird.
>
> Und genau das hast du hier gegeben in deinem Beispiel. Du
> hast eine Spiegelung an der Geraden, die durch den
> Richtungsvektor [mm]v_1[/mm] gegeben ist, gegeben.
>
> Das die Spiegelung eine Basis aus EV hat, siehst du in
> diesem Beispiel einfach an dem Bild.
> Was passiert mit [mm]v_1[/mm] beim Spiegeln?
Hmm...
Der Punkt, der gespiegelt werden soll, liegt ja auf der Spiegelungsgeraden...
Wird er dann gar nicht gespiegelt sondern bleibt dort wo er ist?
> Was mit [mm]v_2?[/mm]
Der Vektor [mm] v_2 [/mm] wird an der Geraden [mm] v_1 [/mm] auf die andere Seite der Geraden gespiegelt, oder?
> Dementsprechend hast du auch
> gleich die EW zu diesen beiden EV.
Also weil [mm] v_1 [/mm] bleibt wo er ist, hab ich quasi die Abbildung [mm] f(v_1)=v_1=1*v_1 [/mm] , daher ist 1 der Eigenwert zu [mm] v_1 [/mm] ?
Und bei [mm] v_2 [/mm] :
In meinem Beispiel steht der Vektor [mm] v_2 [/mm] senkrecht zu [mm] v_1.
[/mm]
Wenn ich dann an der Geraden [mm] v_1 [/mm] spiegele, dann ist mir klar, dass der zugehörige Funktionswert von [mm] v_2 [/mm] gerade [mm] f(v_2)=-v_2.
[/mm]
Kommt dann daher auch der Eigenwert?
[mm] f(v_2)=-v_2=_1*v_2 [/mm] ?
Aber was ist, wenn der Vektor, den ich spiegeln will, nicht senkrecht zu [mm] v_1 [/mm] steht?
Wenn z.B. [mm] v_2 [/mm] auch in den ersten Quadranten zeigt?
Dann passt die Formel doch nicht mehr ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
> Und da [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] lin. unabh. sind, bilden sie auch gleich
> eine Basis.
Woher weißt du denn, dass sie linear unabhängig sind?
Ja klar, wenn [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] senkrecht zueinander stehen, dann sind sie lin. unabhängig.
Aber was bei meiner Frage von oben, wenn [mm] v_2 [/mm] eben nicht senkrecht auf [mm] v_1 [/mm] steht?
Ich hab ja weder [mm] v_1 [/mm] noch [mm] v_2 [/mm] konkret angegeben, die können ja alles sein
> Und in der diagonalisierten Matrix stehen immer die EW auf
> der Diagonale.
Mit diesen diagonalisierten Matrizen hab ich große Probleme.
Was ist die diagonalisierte Matrix mit den Eigenwerten genau für eine Matrix?
Ist es genau die, die die Abbildung beschreibt?
Oder ist sie nur zu einer Matrix ähnlich, die die Abbildung beschreibt ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
LG, Nadine
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> > wie kann man eine Spiegelung in der Ebene beschreiben? In
> > dem man die Gerade angibt an der gespiegelt wird.
> >
> > Und genau das hast du hier gegeben in deinem Beispiel. Du
> > hast eine Spiegelung an der Geraden, die durch den
> > Richtungsvektor [mm]v_1[/mm] gegeben ist, gegeben.
> >
> > Das die Spiegelung eine Basis aus EV hat, siehst du in
> > diesem Beispiel einfach an dem Bild.
>
> > Was passiert mit [mm]v_1[/mm] beim Spiegeln?
>
> Hmm...
>
> Der Punkt, der gespiegelt werden soll, liegt ja auf der
> Spiegelungsgeraden...
>
> Wird er dann gar nicht gespiegelt sondern bleibt dort wo er
> ist?
>
Hallo,
ja, er bleibt bei der Spiegelung dort, wo er ist.
>
>
> > Was mit [mm]v_2?[/mm]
>
> Der Vektor [mm]v_2[/mm] wird an der Geraden [mm]v_1[/mm] auf die andere Seite
> der Geraden gespiegelt, oder?
Ja.
>
>
>
> > Dementsprechend hast du auch
> > gleich die EW zu diesen beiden EV.
>
> Also weil [mm]v_1[/mm] bleibt wo er ist, hab ich quasi die Abbildung
> [mm]f(v_1)=v_1=1*v_1[/mm] , daher ist 1 der Eigenwert zu [mm]v_1[/mm] ?
Ja.
>
> Und bei [mm]v_2[/mm] :
> In meinem Beispiel steht der Vektor [mm]v_2[/mm] senkrecht zu [mm]v_1.[/mm]
> Wenn ich dann an der Geraden [mm]v_1[/mm] spiegele, dann ist mir
> klar, dass der zugehörige Funktionswert von [mm]v_2[/mm] gerade
> [mm]f(v_2)=-v_2.[/mm]
> Kommt dann daher auch der Eigenwert?
> [mm]f(v_2)=-v_2=-1*v_2[/mm] ?
Ja.
>
> Aber was ist, wenn der Vektor, den ich spiegeln will, nicht
> senkrecht zu [mm]v_1[/mm] steht?
Bevor wir uns dieser Frage zuwenden, stellen wir fest:
zu einer vorgegebenen Spiegelung gibt es eine Basis, bzgl derer die Spiegelung besonders einfach zu beschreiben ist, wenn man nämlich als Basisvektoren einen in Richtung der Spiegelachse wählt und einen dazu senkrechten.
Einen beliebigen Vektor v zerlegt man in eine Linearkombination aus diesen beiden Basisvektoren und kann ihn dann sehr einfch spiegeln.
> > Und da [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] lin. unabh. sind, bilden sie auch gleich
> > eine Basis.
>
> Woher weißt du denn, dass sie linear unabhängig sind?
> Ja klar, wenn [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] senkrecht zueinander stehen,
> dann sind sie lin. unabhängig.
Eben.
> Aber was bei meiner Frage von oben, wenn [mm]v_2[/mm] eben nicht
> senkrecht auf [mm]v_1[/mm] steht?
Dann nimmst Du als [mm] v_2 [/mm] eben einen Vektor, der auf [mm] v_1 [/mm] steht.
> Ich hab ja weder [mm]v_1[/mm] noch [mm]v_2[/mm] konkret angegeben, die
> können ja alles sein
Wenn angegeben ist, woran gespiegelt werden soll, kannst Du Dir Deine Basis genau auf dieses Problem zugeschnitten wählen, wie oben geschildert.
>
>
>
> > Und in der diagonalisierten Matrix stehen immer die EW auf
> > der Diagonale.
Ja.
>
> Mit diesen diagonalisierten Matrizen hab ich große
> Probleme
Hast Du die Basistransformationen verstanden? Darstellungsmatrizen bzgl. verschiedener Basen?
Falls nein: nacharbeiten.
Falls ja: dann dürftest Du hier kein Problem haben.
> Was ist die diagonalisierte Matrix mit den Eigenwerten
> genau für eine Matrix?
Es ist die darstellende Matrix der Abbildung bzgl. einer besonders günstigen Basis, nämlich einer Basis aus Eigenvektoren.
> Ist es genau die, die die Abbildung beschreibt?
Es ist die, die die Abbildung bzgl. einer schlau gewählten Basis beschreibt.
> Oder ist sie nur zu einer Matrix ähnlich, die die
> Abbildung beschreibt
???
Die darstellenden Matizen einer vorgegebenen Abbildung bzgl verschiedener Basen sind allesamt ähnlich zueinander, weil sie durch Basistransformation auseinander hervorgehen.
Gruß v. Angela
>
>
>
> LG, Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 So 10.01.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
Danke für deine Antwort!
> Hast Du die Basistransformationen verstanden?
> Darstellungsmatrizen bzgl. verschiedener Basen?
Ich denke schon.
Ich kann jede lineare Abbildung durch eine Matrix beschreiben.
Dafür muss ich im Urbildraum und im Bildraum der linearen Abbildung eine Basis wählen, anhand derer sich die beschreibende Matrix ermitteln lässt.
Nehme ich andere Basen, so ändert sich auch die beschreibende Matrix.
Richtig so?
> > Was ist die diagonalisierte Matrix mit den Eigenwerten
> > genau für eine Matrix?
>
> Es ist die darstellende Matrix der Abbildung bzgl. einer
> besonders günstigen Basis, nämlich einer Basis aus
> Eigenvektoren.
Warum ist das so, dass bei einer Basis aus Eigenvektoren auf der Diagonalen die Eigenwerte stehen?
LG Nadine
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Hallo,
hast Du Dich selbst ein Weilchen mit dieser Fragestellung beschäftigt?
Nehmen wir den [mm] \IR^3. [/mm] Sei [mm] B=(b_1, b_2, b_3) [/mm] eine Basis aus Eigenvektoren zu den Eigenwerten [mm] \lambda_i.
[/mm]
Was ist dann [mm] f(b_i), [/mm] und wie lautet dieser Vektor in Koordinaten bzgl. B?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Mo 11.01.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
> Nehmen wir den [mm]\IR^3.[/mm] Sei [mm]B=(b_1, b_2, b_3)[/mm] eine Basis aus
> Eigenvektoren zu den Eigenwerten [mm]\lambda_i.[/mm]
>
> Was ist dann [mm]f(b_i),[/mm] und wie lautet dieser Vektor in
> Koordinaten bzgl. B?
Oh ja, natürlich!
Da [mm] b_1,b_2,b_3 [/mm] Eigenvektoren sind, gilt für [mm] f(b_i) [/mm] :
[mm] f(b_1)=\lambda_1*b_1=\lambda_1*b_1+0*b_2+0*b_3
[/mm]
[mm] f(b_2)=\lambda_2*b_2=0*b_1+\lambda_2*b_2+0*b_3
[/mm]
[mm] f(b_3)=\lambda_3*b_3=0*b_1+0*b_2+\lambda_3*b_3
[/mm]
Und die Einträge vor den [mm] b_i [/mm] ergeben dann die Einträge in der Matrix!
Klar!
So stimmts doch, oder?
Die Darstellung mit den Eigenwerten auf der Diagonalen funktioniert aber nur, wenn ich im Endomorphismus $f:V [mm] \to [/mm] V$ in beiden V's die Basis aus Eigenvektoren habe, oder?
LG, Nadine
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> Hallo Angela!
>
>
>
> > Nehmen wir den [mm]\IR^3.[/mm] Sei [mm]B=(b_1, b_2, b_3)[/mm] eine Basis aus
> > Eigenvektoren zu den Eigenwerten [mm]\lambda_i.[/mm]
> >
> > Was ist dann [mm]f(b_i),[/mm] und wie lautet dieser Vektor in
> > Koordinaten bzgl. B?
>
> Oh ja, natürlich!
>
> Da [mm]b_1,b_2,b_3[/mm] Eigenvektoren sind, gilt für [mm]f(b_i)[/mm] :
>
> [mm]f(b_1)=\lambda_1*b_1=\lambda_1*b_1+0*b_2+0*b_3[/mm]
>
> [mm]f(b_2)=\lambda_2*b_2=0*b_1+\lambda_2*b_2+0*b_3[/mm]
>
> [mm]f(b_3)=\lambda_3*b_3=0*b_1+0*b_2+\lambda_3*b_3[/mm]
>
> Und die Einträge vor den [mm]b_i[/mm] ergeben dann die Einträge in
> der Matrix!
>
> Klar!
>
> So stimmts doch, oder?
Hallo,
ja, Du hast's kapiert.
>
> Die Darstellung mit den Eigenwerten auf der Diagonalen
> funktioniert aber nur, wenn ich im Endomorphismus [mm]f:V \to V[/mm]
> in beiden V's die Basis aus Eigenvektoren habe, oder?
Ja.
Gruß v. Angela
>
>
>
> LG, Nadine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:13 Mo 11.01.2010 | | Autor: | Pacapear |
Vielen Dank für eure Hilfe 
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