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| Aufgabe | Teilaufgabe 1)
Sei $ V := [mm] {(x_1, \cdots\, x_5) \in \IR^5 | x_1+x_2-x_5=0 \wedge x_1+2x_2-x_3+x_4+x_5=0} [/mm] $
Bestimme eine Basis für $ V $. Was ist $dim(V)$?
Teilaufgabe 2)
Bestimme eine Basis für $ [mm] W:= [/mm] $, wobei
$ [mm] v_1 [/mm] := [mm] \vektor{1\\0\\1\\1}, v_2 [/mm] := [mm] \vektor{-3\\3\\7\\1}, v_3 [/mm] := [mm] \vektor{-1\\3\\9\\3}, v_4 [/mm] := [mm] \vektor{-5\\3\\5\\1} [/mm] $ |
Hi,
Teilaufgabe 1)
Hier habe ich zunächst geschaut, mit Hilfe welcher Kombinationen von $ [mm] x_1, \cdots, x_5 [/mm] $ man einen solchen Vektor erzeugen kann:
$ [mm] (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) [/mm] = [mm] (x_1, x_2, x_3, -2x_1-3x_2+x_3, x_1+x_2) [/mm] $
weil ja gilt, dass $ [mm] x_5 [/mm] = [mm] x_1+x_2 [/mm] $ und $ [mm] x_4 [/mm] = [mm] -2x_1-3x_2+x_3$.
[/mm]
[mm] x_1, x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] kann ich jetzt frei wählen. Wenn ich für $ [mm] x_1=1, x_2=x_3=0 [/mm] $ wähle, erhalte ich
$ [mm] (x_1, [/mm] 0, 0, [mm] -2x_1, x_1) [/mm] $.
Wenn [mm] $x_2=1, x_1=x_3=0$, [/mm] dann
$ (0, [mm] x_2, [/mm] 0, [mm] -3x_2, x_2) [/mm] $
und wenn $ [mm] x_3=1, x_1=x_2=0 [/mm] $, dann
$ (0, 0, [mm] x_3, x_3, [/mm] 0) $.
Hieraus muss ich jetzt jeden Vektor aus $V$ bilden können, also
$ [mm] (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) [/mm] = [mm] (x_1, [/mm] 0, 0, [mm] -2x_1, x_1)+(0, x_2, [/mm] 0, [mm] -3x_2, x_2)+(0, [/mm] 0, [mm] x_3, x_3, 0)=x_1(1,0,0,-2,1)+x_2(0,1,0,-3,1)+x_3(0,0,1,1,0) [/mm] $
Die drei Vektoren
[mm] \vektor{1\\0\\0\\-2\\1}, \vektor{0\\1\\0\\-3\\1} [/mm] und [mm] \vektor{0\\0\\1\\1\\0} [/mm]
bilden also ein minimales Erzeugendensystem für $V$. Wenn ich jetzt schaue, ob die drei Vektoren linear unabhängig sind, erhalte ich die folgende Matrix als lineares Gleichungssystem:
[mm] \pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\-2&-3&1\\1&1&0}
[/mm]
und man sieht sofort, dass die drei Vektoren linear unabhängig sind (weil [mm] $x_1=x_2=x_3=0$).
[/mm]
Hieraus kann ich also schließen, dass die oben genannten Vektoren eine Basis für $V$ bilden, und dass $dim(V) = 3$, weil die Basis drei Elemente enthält.
Teilaufgabe 2)
Um hier eine Basis zu bestimmen, schaue ich erst, ob die vier Vektoren linear unabhängig sind. Also:
$ [mm] a\vektor{1\\0\\1\\1}+b\vektor{-3\\3\\7\\1}+c\vektor{-1\\3\\9\\3}+d\vektor{-5\\3\\5\\1}=0, [/mm] a,b,c,d [mm] \in \IR [/mm] $
Hieraus ergibt sich die Matrix
[mm] \pmat{1&-3&-1&-5\\0&3&3&3\\1&7&9&5\\1&1&3&1}
[/mm]
Jetzt subtrahiere ich I von III und IV und dividiere II durch 3:
[mm] \pmat{1&-3&-1&-5\\0&1&1&1\\0&10&10&10\\0&4&4&6}
[/mm]
Weiter rechne ich $ I-II, III-10II, IV-4II$:
[mm] \pmat{1&-4&-2&-6\\0&1&1&1\\0&0&0&0\\0&0&0&2}
[/mm]
Hieraus folgt, dass $ d=0 $. Wenn ich $d$ dann in II einsetze, kann ich $c$ frei wählen, z.B. $c=1$, und erhalte dann, dass $b=0$. Das in I eingesetzt, folgt, dass auch $a=0$ sein muss. Da ich aber eine Variable frei wählen konnte, sind die vier Vektoren linear abhängig, weil z.B. gilt:
$ [mm] v_3=2v_1+1v_2+0v_4 [/mm] $
Die drei übrig bleibenden Vektoren
$ [mm] v_1 [/mm] := [mm] \vektor{1\\0\\1\\1}, v_2 [/mm] := [mm] \vektor{-3\\3\\7\\1}, v_4 [/mm] := [mm] \vektor{-5\\3\\5\\1} [/mm] $
sind alle linear unabhängig (leicht ersichtlich aus dem linearen Gleichungssystem oben, da man nur die $c$-Spalte weglassen muss).
So, jetzt kommt der Moment, wo ich hängen bleibe. Es kann sein, dass ich einfach nur total auf dem Schlauch stehe, aber wie mache ich jetzt genau weiter? Ich muss ja irgendwie zeigen, dass die Vektoren auch ein minimales Erzeugendensystem bilden, oder?
Langer Post, ich hoffe, jemand kann/will mir helfen :)
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Hallo MeMeansMe,
> Teilaufgabe 1)
> Sei [mm]V := {(x_1, \cdots\, x_5) \in \IR^5 | x_1+x_2-x_5=0 \wedge x_1+2x_2-x_3+x_4+x_5=0}[/mm]
>
> Bestimme eine Basis für [mm]V [/mm]. Was ist [mm]dim(V)[/mm]?
>
> Teilaufgabe 2)
> Bestimme eine Basis für [mm]W:= [/mm], wobei
>
> [mm]v_1 := \vektor{1\\0\\1\\1}, v_2 := \vektor{-3\\3\\7\\1}, v_3 := \vektor{-1\\3\\9\\3}, v_4 := \vektor{-5\\3\\5\\1}[/mm]
>
> Hi,
>
> Teilaufgabe 1)
> Hier habe ich zunächst geschaut, mit Hilfe welcher
> Kombinationen von [mm]x_1, \cdots, x_5[/mm] man einen solchen Vektor
> erzeugen kann:
>
> [mm](x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = (x_1, x_2, x_3, -2x_1-3x_2+x_3, x_1+x_2)[/mm]
>
> weil ja gilt, dass [mm]x_5 = x_1+x_2[/mm] und [mm]x_4 = -2x_1-3x_2+x_3[/mm].
>
> [mm]x_1, x_2[/mm] und [mm]x_3[/mm] kann ich jetzt frei wählen. Wenn ich für
> [mm]x_1=1, x_2=x_3=0[/mm] wähle, erhalte ich
>
> [mm](x_1, 0, 0, -2x_1, x_1) [/mm].
>
> Wenn [mm]x_2=1, x_1=x_3=0[/mm], dann
>
> [mm](0, x_2, 0, -3x_2, x_2)[/mm]
>
> und wenn [mm]x_3=1, x_1=x_2=0 [/mm], dann
>
> [mm](0, 0, x_3, x_3, 0) [/mm].
>
> Hieraus muss ich jetzt jeden Vektor aus [mm]V[/mm] bilden können,
> also
>
> [mm](x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = (x_1, 0, 0, -2x_1, x_1)+(0, x_2, 0, -3x_2, x_2)+(0, 0, x_3, x_3, 0)=x_1(1,0,0,-2,1)+x_2(0,1,0,-3,1)+x_3(0,0,1,1,0)[/mm]
>
> Die drei Vektoren
>
> [mm]\vektor{1\\0\\0\\-2\\1}, \vektor{0\\1\\0\\-3\\1}[/mm] und
> [mm]\vektor{0\\0\\1\\1\\0}[/mm]
>
> bilden also ein minimales Erzeugendensystem für [mm]V[/mm]. Wenn
> ich jetzt schaue, ob die drei Vektoren linear unabhängig
> sind, erhalte ich die folgende Matrix als lineares
> Gleichungssystem:
>
> [mm]\pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\-2&-3&1\\1&1&0}[/mm]
>
> und man sieht sofort, dass die drei Vektoren linear
> unabhängig sind (weil [mm]x_1=x_2=x_3=0[/mm]).
>
> Hieraus kann ich also schließen, dass die oben genannten
> Vektoren eine Basis für [mm]V[/mm] bilden, und dass [mm]dim(V) = 3[/mm],
> weil die Basis drei Elemente enthält.
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Teilaufgabe 2)
> Um hier eine Basis zu bestimmen, schaue ich erst, ob die
> vier Vektoren linear unabhängig sind. Also:
>
> [mm]a\vektor{1\\0\\1\\1}+b\vektor{-3\\3\\7\\1}+c\vektor{-1\\3\\9\\3}+d\vektor{-5\\3\\5\\1}=0, a,b,c,d \in \IR[/mm]
>
> Hieraus ergibt sich die Matrix
>
> [mm]\pmat{1&-3&-1&-5\\0&3&3&3\\1&7&9&5\\1&1&3&1}[/mm]
>
> Jetzt subtrahiere ich I von III und IV und dividiere II
> durch 3:
>
> [mm]\pmat{1&-3&-1&-5\\0&1&1&1\\0&10&10&10\\0&4&4&6}[/mm]
>
> Weiter rechne ich [mm]I-II, III-10II, IV-4II[/mm]:
>
> [mm]\pmat{1&-4&-2&-6\\0&1&1&1\\0&0&0&0\\0&0&0&2}[/mm]
>
> Hieraus folgt, dass [mm]d=0 [/mm]. Wenn ich [mm]d[/mm] dann in II einsetze,
> kann ich [mm]c[/mm] frei wählen, z.B. [mm]c=1[/mm], und erhalte dann, dass
> [mm]b=0[/mm]. Das in I eingesetzt, folgt, dass auch [mm]a=0[/mm] sein muss.
> Da ich aber eine Variable frei wählen konnte, sind die
> vier Vektoren linear abhängig, weil z.B. gilt:
>
> [mm]v_3=2v_1+1v_2+0v_4[/mm]
>
> Die drei übrig bleibenden Vektoren
>
> [mm]v_1 := \vektor{1\\0\\1\\1}, v_2 := \vektor{-3\\3\\7\\1}, v_4 := \vektor{-5\\3\\5\\1}[/mm]
>
> sind alle linear unabhängig (leicht ersichtlich aus dem
> linearen Gleichungssystem oben, da man nur die [mm]c[/mm]-Spalte
> weglassen muss).
>
> So, jetzt kommt der Moment, wo ich hängen bleibe. Es kann
> sein, dass ich einfach nur total auf dem Schlauch stehe,
> aber wie mache ich jetzt genau weiter? Ich muss ja
> irgendwie zeigen, dass die Vektoren auch ein minimales
> Erzeugendensystem bilden, oder?
>
Das hast Du doch schon gezeigt, da die
3 obigen Vektoren linear unabhängig sind.
> Langer Post, ich hoffe, jemand kann/will mir helfen :)
Gruss
MathePower
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