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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:26 So 10.07.2016 | | Autor: | JXner |
| Aufgabe | | Wir betrachten den reellen Vektorraum P der reellen Polynome des Grades ≤ 2 zusammen mitder Addition von Polynomen (p+q)(x) :=p(x) + q(x) und der Multiplikation mit Konstanten (c·p)(x) := c·p(x). Wir setzen P₁(x) := x² + x + 1 p₂(x) := x –1 p₃(x) := x² -3x+2 Ist B (p₁, p₂, p₃) eine Basis von (P, +, ·)? |
Zu dieser Aufgabe gibt es folgende Lösung:
a₁ + a₂ + a₃= 0
a₂ -a₃= 0
a₁ -3a₂ + 2a₃= 0
a₁, a₂, a₃= 0 -> Die Vektoren sind Linear unabhängig
Koeffizientenvergleich
a₁ + a₂ + a₃= s
a₂ -a₃= t
a₁ -3a₂ + 2
a₃= u
a₁= s + t –(s-u)/4
a₂= (s-u)/4
a₃= (s-u)/4 –t
Antwort: Daraus folgt, dass das p1, p2, p3 keine Basis bilden.
Bisher kann ich alles soweit nachvollziehen, jedoch fehlt es mir an Verständnis beim Koeffizientenvergleich.
Warum bilden p1, p2, p3 nun keine Basis?
Wie müsste das Ergebnis aussehen wenn es eine Basis wäre?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:05 So 10.07.2016 | | Autor: | hippias |
> Wir betrachten den reellen Vektorraum P der reellen
> Polynome des Grades ≤ 2 zusammen mitder Addition von
> Polynomen (p+q)(x) :=p(x) + q(x) und der Multiplikation mit
> Konstanten (c·p)(x) := c·p(x). Wir setzen P₁(x) := x²
> + x + 1 p₂(x) := x –1 p₃(x) := x² -3x+2 Ist B (p₁,
> p₂, p₃) eine Basis von (P, +, ·)?
> Zu dieser Aufgabe gibt es folgende Lösung:
>
> a₁ + a₂ + a₃= 0
> a₂ -a₃= 0
> a₁ -3a₂ + 2a₃= 0
> a₁, a₂, a₃= 0 -> Die Vektoren sind Linear
> unabhängig
Ich sehe keinen Zusammenhang zur Aufgabenstellung: was sind die [mm] $a_{i}$?
[/mm]
>
> Koeffizientenvergleich
> a₁ + a₂ + a₃= s
> a₂ -a₃= t
> a₁ -3a₂ + 2
> a₃= u
Was soll das jetzt? Was sind $s$, $t$ und $u$? Oben waren die rechten Seiten doch noch $=0$.
>
> a₁= s + t –(s-u)/4
> a₂= (s-u)/4
> a₃= (s-u)/4 –t
Offenbar wurde das zweite Gleichungssystem nach den [mm] $a_{i}$ [/mm] aufgelöst.
>
> Antwort: Daraus folgt, dass das p1, p2, p3 keine Basis
> bilden.
>
>
> Bisher kann ich alles soweit nachvollziehen, jedoch fehlt
Mir ist nichts klar. Könntest Du die Lösung bitte erläutern?
> es mir an Verständnis beim Koeffizientenvergleich.
> Warum bilden p1, p2, p3 nun keine Basis?
> Wie müsste das Ergebnis aussehen wenn es eine Basis
> wäre?
Keine Ahnung! Wenn Du weisst, dass der obige Raum $3$ dimensional ist, dann genügt es zu überprüfen, ob die Polynome [mm] $p_{1}$, $p_{2}$ [/mm] und [mm] $p_{3}$ [/mm] linear unabhängig sind. Seien dazu [mm] $c_{i}\in \IR$ [/mm] so, dass [mm] $\sum_{i=1}^{3} c_{i}p_{i}=0$ [/mm] ist. Ordne die linke Seite nach Potenzen von $x$, mache den Koeffizientenvergleich und löse das entsprechende Gleichungssystem auf.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:28 So 10.07.2016 | | Autor: | JXner |
> Ordne die linke Seite nach Potenzen von [mm]x[/mm], mache den
> Koeffizientenvergleich und löse das entsprechende
> Gleichungssystem auf.
>
Meine Frage bei dieser Aufgabe war, wie man ein Koeffizientenvergleich durchführt. Mit "mache den Koeffizientenvergleich" kann ich daher nicht viel anfangen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 So 10.07.2016 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Wir betrachten den reellen Vektorraum P der reellen
> Polynome des Grades ≤ 2 zusammen mitder Addition von
> Polynomen (p+q)(x) :=p(x) + q(x) und der Multiplikation mit
> Konstanten (c·p)(x) := c·p(x). Wir setzen P₁(x) := x²
> + x + 1 p₂(x) := x –1 p₃(x) := x² -3x+2 Ist B (p₁,
> p₂, p₃) eine Basis von (P, +, ·)?
> Zu dieser Aufgabe gibt es folgende Lösung:
>
> a₁ + a₂ + a₃= 0
> a₂ -a₃= 0
> a₁ -3a₂ + 2a₃= 0
> a₁, a₂, a₃= 0 -> Die Vektoren sind Linear
> unabhängig
Wenn ich zur Überprüfung auf lineare Unabhängigkeit ansetze:
[mm] $a_1*p_1(x)+a_2*p_2(x)+a_3*p_3(x) \equiv [/mm] 0$
dann die Polynome [mm] $p_i$ [/mm] einsetze:
[mm] $a_1*(x^2+x+1)+a_2*(x-1)+a_3*(x^2-3x+2) \equiv [/mm] 0$
ausmultipliziere und nach Potenzen von x wieder ausklammere:
[mm] $(a_1+a_3)*x^2+(a_1+a_2-3*a_3)*x+(a_1-a_2+2*a_3) \equiv [/mm] 0$
kann ich einen Koeffizientenvergleich machen, da für die Nullfunktion gilt:
[mm] $0*x^2+0*x+0*1 \equiv [/mm] 0$, also egibt sich folgendes Gleichungssystem:
[mm] $a_1+a_3 [/mm] = 0$
[mm] $a_1+a_2-3a_3 [/mm] = 0$
[mm] $a_1-a_2+2a_3 [/mm] = 0$
Das ist aber verschieden von dem, was du hier oben aufgeschrieben hast.
Wie bist du darauf gekommen?
>
> Koeffizientenvergleich
> a₁ + a₂ + a₃= s
> a₂ -a₃= t
> a₁ -3a₂ + 2
> a₃= u
>
> a₁= s + t –(s-u)/4
> a₂= (s-u)/4
> a₃= (s-u)/4 –t
$p [mm] \in [/mm] P$ kann man auch schreiben als $p(x) = [mm] s*x^2+t*x+u$ [/mm] mit $s, t, u [mm] \in \IR$.
[/mm]
Ist [mm] $p_1, p_2, p_3$ [/mm] eine Basis von P, so kann p dargestellt werden als
$p(x) = [mm] a_1*p_1(x)+a_2*p_2(x)+a_3*p_3(x)$ [/mm] mit [mm] $a_1, a_2, a_3 \in \IR$
[/mm]
nach ausmultiplizieren und sortieren nach Potenzen von x ergibt der
Koefizientenvergleich:
$s = [mm] a_1+a_3$
[/mm]
$t = [mm] a_1+a_2-3a_3$
[/mm]
$u = [mm] a_1-a_2+2a_3$
[/mm]
Woraus sich [mm] $a_1, a_2, a_3$ [/mm] in Abhängigkeit von s, t, u berechnen lassen sollten.
Ist das nicht möglich oder treten Widersprüche auf, ist es keine Basis.
>
> Antwort: Daraus folgt, dass das p1, p2, p3 keine Basis
> bilden.
>
>
> Bisher kann ich alles soweit nachvollziehen, jedoch fehlt
> es mir an Verständnis beim Koeffizientenvergleich.
> Warum bilden p1, p2, p3 nun keine Basis?
> Wie müsste das Ergebnis aussehen wenn es eine Basis
> wäre?
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:05 Mo 11.07.2016 | | Autor: | JXner |
Danke für deine ausführliche Antwort!
Aber ein kleine Frage dazu hätte ich noch.
> Woraus sich [mm]a_1, a_2, a_3[/mm] in Abhängigkeit von s, t, u
> berechnen lassen sollten.
> Ist das nicht möglich oder treten Widersprüche auf, ist
> es keine Basis.
D.h. wenn ich meine Gleichungen
a₁ + a₂ + a₃= s
a₂ -a₃= t
a₁ -3a₂ + 2a₃= u
nach jeweils [mm] a_1, a_2 [/mm] und [mm] a_3 [/mm] auflöse und
eine Variable nicht von s, t & u Abhängig ist, dann habe ich keine Basis?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:13 Mo 11.07.2016 | | Autor: | fred97 |
> Danke für deine ausführliche Antwort!
> Aber ein kleine Frage dazu hätte ich noch.
>
> > Woraus sich [mm]a_1, a_2, a_3[/mm] in Abhängigkeit von s, t, u
> > berechnen lassen sollten.
> > Ist das nicht möglich oder treten Widersprüche auf, ist
> > es keine Basis.
>
> D.h. wenn ich meine Gleichungen
>
> a₁ + a₂ + a₃= s
> a₂ -a₃= t
> a₁ -3a₂ + 2a₃= u
??? Wie kommst Du auf dieses LGS ? Meilli hat Dir das richtige genannt:
$ s = [mm] a_1+a_3 [/mm] $
$ t = [mm] a_1+a_2-3a_3 [/mm] $
$ u = [mm] a_1-a_2+2a_3 [/mm] $
Zeige: dieses LGS hat für jede Wahl von s,t und u genau eine Lösung.Das bedeutet dies: jedes Polynom vom Grad [mm] \le [/mm] 2 lässt sich in eindeutiger Weise als Linearkombination von [mm] p_1,p_2 [/mm] und [mm] p_3 [/mm] schreiben. Damit ist [mm] \{p_1,p_2,p_3\} [/mm] eine Basis von P
FRED
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> nach jeweils [mm]a_1, a_2[/mm] und [mm]a_3[/mm] auflöse und
> eine Variable nicht von s, t & u Abhängig ist, dann habe
> ich keine Basis?
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