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| Aufgabe | a) Zu den Vektoren
v1 = [mm] \pmat{ 1 \\ 2 \\ 3 } [/mm] , v2 = [mm] \pmat{ -1 \\ 0 \\ 1 } [/mm] gebe man einen 3ten Vektor an, damit diese eine Basis in [mm] \IR^{3} [/mm] bilden.
b) sind folgende Vektoren in [mm] \IR^{4} [/mm] linear unabhängig?
v1 = [mm] \pmat{ 1 \\ -1 \\ 0 \\ 2 }, [/mm] v2 = [mm] \pmat{ 3 \\ 0 \\ 1 \\ 6 }, [/mm] v3 = [mm] \pmat{ 0 \\ 1 \\ 1 \\ -1 }
[/mm]
und ist
w = [mm] \pmat{ -2 \\ -3 \\ 4 \\ 0 } \in [/mm] L(v1,v2,v3) ? |
Hallo,
meine Frage zu a) wäre: Reicht es hier einen Vektor folgender Form zu nehmen w = [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 }, [/mm] denn der würde beim Umformen in ZSF nicht verändert werden, und sofern v1 und v2 l.u. sind, hätte man eine Basis. Oder mache ich es mir zu leicht bei solchen Beispielen? Bzw. wie würde ich es anstellen, wenn die Vektoren v1 und v2 nicht l.u. sind?
zu b)
Prüfen obe die Vektoren l.u. sind ist kein Problem, meine Frage ist eher, ob 3 Vektoren in [mm] \IR^{4} [/mm] ein Erzeugendes System sein können?
Ich hab die Gleichung für dieses System aufgestellt und bin auf 'nicht lösbar' gekommen.
Weiters wollte ich wissen, ob beim Lösen eines Gleichungsystems mit dem Gaußverfahren, die Vorzeichen beim Zeilentausch gewechselt werden müssen, den wenn ich eine Determinante ausrechne muss das ja sein, allerdings fand ich in meinen Unterlagen keinen Hinweis drauf, ob das dann immer so ist.
mfg tom
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also zu a
wenn du die zwei vektoren hintereinander schreibst und dann noch die einheitsmatrix dazu
und es dann auf stufenform bringst, dann stehen in einigen spalten pivots
(und die spalten in denen pivots stehen aus denen kannst du vorne eine basis erhalten)
ich denke wenn sie l.abhängig sind geht das auch, aber da bin ich mir nicht ganz sicher
zu b
ein erzeugendensystem können sie nicht sein, bei einem EZS steht in jeder zeile ein pivot, dass kann hier nie sein, da mehr zeilen als spalten, also höchstens 3 pivots
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> a) Zu den Vektoren
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> v1 = [mm]\pmat{ 1 \\ 2 \\ 3 }[/mm] , v2 = [mm]\pmat{ -1 \\ 0 \\ 1 }[/mm] gebe
> man einen 3ten Vektor an, damit diese eine Basis in [mm]\IR^{3}[/mm]
> bilden.
>
> b) sind folgende Vektoren in [mm]\IR^{4}[/mm] linear unabhängig?
>
> v1 = [mm]\pmat{ 1 \\ -1 \\ 0 \\ 2 },[/mm] v2 = [mm]\pmat{ 3 \\ 0 \\ 1 \\ 6 },[/mm]
> v3 = [mm]\pmat{ 0 \\ 1 \\ 1 \\ -1 }[/mm]
>
> und ist
>
> w = [mm]\pmat{ -2 \\ -3 \\ 4 \\ 0 } \in[/mm] L(v1,v2,v3) ?
> Hallo,
>
> meine Frage zu a) wäre: Reicht es hier einen Vektor
> folgender Form zu nehmen w = [mm]\pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 },[/mm] denn der
> würde beim Umformen in ZSF nicht verändert werden, und
> sofern v1 und v2 l.u. sind, hätte man eine Basis.
Hallo,
haargenauso, wie Du sagst, solltest Du es machen.
> Bzw. wie
> würde ich es anstellen, wenn die Vektoren v1 und v2 nicht
> l.u. sind?
Dann müßtest Du überlegen, welche Vektoren Du einschiebst, damit die Matrix den Rang 3 bekommt.
>
> zu b)
> Prüfen obe die Vektoren l.u. sind ist kein Problem, meine
> Frage ist eher, ob 3 Vektoren in [mm]\IR^{4}[/mm] ein Erzeugendes
> System sein können?
> Ich hab die Gleichung für dieses System aufgestellt und bin
> auf 'nicht lösbar' gekommen.
Der [mm] \IR^4 [/mm] ist ein Vektorraum der Dimension 4.
Das bedeutet, jede Basis des [mm] \IR^4 [/mm] besteht aus 4 Elementen.
Die Basen sind aber minimale Erzeugendensysteme. Also benötigt man für ein Erzeugendensystem des [mm] \IR^4 [/mm] mindestens 4 Elemente.
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> Weiters wollte ich wissen, ob beim Lösen eines
> Gleichungsystems mit dem Gaußverfahren, die Vorzeichen beim
> Zeilentausch gewechselt werden müssen, den wenn ich eine
> Determinante ausrechne muss das ja sein, allerdings fand
> ich in meinen Unterlagen keinen Hinweis drauf, ob das dann
> immer so ist.
Nein, wenn Du lediglich ein Gleichungssystem lösen möchtest, brauchst Du keine Vorzeichen zu wechseln.
Gruß v. Angela
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