Basis des Zeilenraumes < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 Sa 17.05.2014 | | Autor: | Mathe93 |
| Aufgabe | Gegeben sei folgende Matrix:
[mm] A=\pmat{ 1 & 2 & 2 & 4 \\ 2 & 2 & 4 & 2 \\ 3 & 4 & 1 & 0 }
[/mm]
Fassen Sie A als Matrix über [mm] \IQ [/mm] auf. Bestimmen sie den Rang, eine Basis des Zeilenraumes und ergänzen Sie diese zu einer Basis von [mm] \IQ^4. [/mm] |
Meine Lösung:
Mithilfe von Gauß bekomme ich:
[mm] A=\pmat{ 1 & 2 & 2 & 4 \\ 0 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & -5 & -5 }
[/mm]
Daraus folgt das der Rang 3 ist.
Meine Frage ist jetzt wie ich eine Basis des Zeilenraumes bestimme.
Nehme ich einfach die Vektoren;
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}? [/mm] Oder geht das völlig anders?
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Hallo,
es ist nach dem Zeilenraum gefragt. Die Zeilen haben hier vier Einträge (wie sonst sollte man sie zu einer Basis der [mm] $\mathbb [/mm] Q ^4$ erzeugen können?)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Sa 17.05.2014 | | Autor: | Mathe93 |
Naja ich soll ja erst einmal eine Basis finden und diese dann ergänzen damit es auch im [mm] \IQ^4 [/mm] eine Basis ist. Wir gehen ja erst einmal von [mm] \IQ^3 [/mm] aus!
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> Naja ich soll ja erst einmal eine Basis finden und diese
> dann ergänzen damit es auch im [mm]\IQ^4[/mm] eine Basis ist. Wir
> gehen ja erst einmal von [mm]\IQ^3[/mm] aus!
Hallo,
nein, das tun wir nicht!
Wir haben $ [mm] A=\pmat{ 1 & 2 & 2 & 4 \\ 2 & 2 & 4 & 2 \\ 3 & 4 & 1 & 0 } [/mm] $, und gefragt ist nach einer Basis des Zeilenraumes.
Der Zeilenraum von A besteht aus all jenen Zeilenvektoren mit 4 Einträgen, welche man als Linearkombination der drei Zeilenvektoren von A schreiben kann,
welche man also mit den dreien erzeugen kann.
Die drei Zeilenvektoren von A sind also ein Erzeugendensystem des Zeilenraumes. Damit wissen wir, daß der Zeilenraum höchstens die Dimension 3 haben kann. Eine Basis des Raumes kann man auf verschiedene Weisen bestimmen, z.B. so, wie Du es getan hast.
Ergebnis: die Matrix hat den Rang 3, also hat der Zeilenraum die Dimension 3, und eine Basis belden z.B. die drei Zeilen Deiner Zeilenstufenform.
Du mußt nun überlegen, welchen Vektor Du hinzufügen mußt, damit Du eine Basis des [mm] \IQ^3 [/mm] hast.
Auf ein wichtiges Mißverständnis möchte ich noch eingehen:
wenn ein Raum dreidimensional ist, ist das nicht zwingend der [mm] \IQ^3!
[/mm]
"Dreidimensional" bedeutet einfach bloß: die Basis besteht aus drei Vektoren.
Der Zeilenraum von A ist ein dreidimensionaler Unterraum des [mm] \IQ^4.
[/mm]
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Sa 17.05.2014 | | Autor: | Mathe93 |
Ok kann man dann schreiben das die Basis:
[mm] \vektor{(1,2,2,3),(0,-2,0,-2),(0,0,-5,-5)} [/mm] ist?
Oder schreibt man das anders?
> Du mußt nun überlegen, welchen Vektor Du hinzufügen
> mußt, damit Du eine Basis des [mm]\IQ^3[/mm] hast.
Mein du nicht [mm] \IQ^4? [/mm]
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> Ok kann man dann schreiben das die Basis:
> [mm]\vektor{(1,2,2,3),(0,-2,0,-2),(0,0,-5,-5)}[/mm] ist?
> Oder schreibt man das anders?
Hallo,
haargenauso schreibt man es.
>
> > Du mußt nun überlegen, welchen Vektor Du hinzufügen
> > mußt, damit Du eine Basis des [mm]\IQ^3[/mm] hast.
> Mein du nicht [mm]\IQ^4?[/mm]
Oh, natürlich! Da war ich etwas tüddelig.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Sa 17.05.2014 | | Autor: | Mathe93 |
Alles klar!
Also ich würde es nun mit der Zeile:
(0,0,0,1) ergänzen da mit der neuen Zeile immer noch die Zeilenstufenform gilt und es somit den Rang 4 hat und damit eine Basis vom [mm] \IQ^4 [/mm] ist.
Stimmt das?
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> Stimmt das?
Ja!
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:14 Sa 17.05.2014 | | Autor: | Mathe93 |
Super danke! Alles verstanden :)
Lg
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