Basis einer Menge von Matrizen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:05 Mo 19.05.2014 | | Autor: | Avinu |
| Aufgabe | | Es sei B [mm] \in \IQ^{2\times2} [/mm] gegeben durch B = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 1 }. [/mm] Ferner sei [mm] \phi: \IQ^{2\times2} \to \IQ^{2\times2}, [/mm] A [mm] \mapsto [/mm] AB - BA. Zeigen Sie, dass [mm] \phi [/mm] ein [mm] \IQ [/mm] - Vektorraumhomomorphismus ist und bestimmen Sie jeweils eine Basis von Kern [mm] \phi [/mm] und Im [mm] \phi. [/mm] |
Hallo zusammen,
ich komme bei der Bestimmung der Basis des Kerns nicht weiter. Der Kern müsste ja Kern [mm] \phi [/mm] = {A [mm] \in \IQ^{2\times2} [/mm] | [mm] a_{12} [/mm] = 0, [mm] a_{22} [/mm] - [mm] a_{11} [/mm] - [mm] a_{21} [/mm] = 0} sein, oder? Aber wie bestimme ich davon jetzt eine Basis? Ich muss ja auch beweisen, dass das, was ich da angebe eine Basis ist.
Das Bild ist doch Im [mm] \phi [/mm] = {A [mm] \in \IQ^{2\times2} [/mm] | A= [mm] \pmat{ a & a \\ b & -a } [/mm] }, oder? Dann kann man eine Basis doch direkt ablesen mit [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & -1 } [/mm] und [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }. [/mm] Richtig?
Vielen Dank und schöne Grüße,
Avinu
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> Es sei B [mm]\in \IQ^{2\times2}[/mm] gegeben durch B = [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 1 }.[/mm]
> Ferner sei [mm]\phi: \IQ^{2\times2} \to \IQ^{2\times2},[/mm] A
> [mm]\mapsto[/mm] AB - BA. Zeigen Sie, dass [mm]\phi[/mm] ein [mm]\IQ[/mm] -
> Vektorraumhomomorphismus ist und bestimmen Sie jeweils eine
> Basis von Kern [mm]\phi[/mm] und Im [mm]\phi.[/mm]
Hallo,
es ist für [mm] A:=\pmat{ a & b \\ c & d }
[/mm]
[mm] \phi (A)=\pmat{ b & b \\ d-a-c& -b }
[/mm]
> ich komme bei der Bestimmung der Basis des Kerns nicht
> weiter. Der Kern müsste ja Kern [mm]\phi[/mm] = [mm] \{A \in \IQ^{2\times 2} | a_{12}= 0, a_{22}-a_{11}-a_{21} = 0\} [/mm] sein, oder?
Ja, stimmt.
> Aber wie bestimme ich davon jetzt eine Basis? Ich muss ja
> auch beweisen, dass das, was ich da angebe eine Basis ist.
Es ist hier ein homogenes LGS zu lösen:
b=0
d-a-c= 0
Ich schreib mal die Zeilenstufenform der Koeffizientenmatrix auf:
[mm] \pmat{\red{-1}&0&-1&1\\0&\red{1}&0&0}
[/mm]
Die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen in Spalte 1 und 2, also kann man die 3. und 4. Variable, c und d frei wählen.
2 freie Variablen, also hat der Kern die Dimension 2.
Man bekommt man aus Zeile 2
b=0
und aus Zeile 1 [mm] \quad [/mm] -a=c-d, also
a=-c+d.
Damit weiß man:
die Elemente des Kerns haben die Gestalt
[mm] \pmat{ -c+d & 0 \\ c & d }=c*\pmat{ -1 & 0 \\ 1& 0 }+d*\pmat{ 1& 0\\ 0& 1 },
[/mm]
und die beiden Matrizen sind eine Basis des Kerns. (Sie erzeugen und sind offensichtlich linear unabhängig)
> Das Bild ist doch Im [mm]\phi[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {A [mm]\in \IQ^{2\times2}[/mm] | A=
> [mm]\pmat{ a & a \\ b & -a }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}, oder? Dann kann man eine Basis
> doch direkt ablesen mit [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & -1 }[/mm] und [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }.[/mm]
> Richtig?
Ja.
LG Angela
>
> Vielen Dank und schöne Grüße,
> Avinu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:57 Mo 19.05.2014 | | Autor: | Avinu |
Danke schön, habe alles verstanden =)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:12 Mo 19.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Es sei B [mm]\in \IQ^{2\times2}[/mm] gegeben durch B = [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 1 }.[/mm]
> Ferner sei [mm]\phi: \IQ^{2\times2} \to \IQ^{2\times2},[/mm] A
> [mm]\mapsto[/mm] AB - BA. Zeigen Sie, dass [mm]\phi[/mm] ein [mm]\IQ[/mm] -
> Vektorraumhomomorphismus ist und bestimmen Sie jeweils eine
> Basis von Kern [mm]\phi[/mm] und Im [mm]\phi.[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> ich komme bei der Bestimmung der Basis des Kerns nicht
> weiter. Der Kern müsste ja Kern [mm]\phi[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {A [mm]\in \IQ^{2\times2}[/mm]
> | [mm]a_{12}[/mm] = 0, [mm]a_{22}[/mm] - [mm]a_{11}[/mm] - [mm]a_{21}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= 0} sein, oder?
> Aber wie bestimme ich davon jetzt eine Basis? Ich muss ja
> auch beweisen, dass das, was ich da angebe eine Basis ist.
>
> Das Bild ist doch Im [mm]\phi[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {A [mm]\in \IQ^{2\times2}[/mm] | A=
> [mm]\pmat{ a & a \\ b & -a }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}, oder? Dann kann man eine Basis
> doch direkt ablesen mit [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & -1 }[/mm] und [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }.[/mm]
> Richtig?
>
> Vielen Dank und schöne Grüße,
> Avinu
Eine Basis von [mm] Bild(\phi) [/mm] hast Du richtig bestimmt. Damit ist dim [mm] Bild(\phi)=2.
[/mm]
Nach dem Rangsatz ist dann dim [mm] Kern(\phi)=2.
[/mm]
Nun, so meine ich, sieht man schnell, dass I,B [mm] \in Kern(\phi).
[/mm]
[mm] \{I,B\} [/mm] ist linear unabhängig, also eine Basis von [mm] Kern(\phi).
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:00 Mo 19.05.2014 | | Autor: | Avinu |
Hallo fred,
die Aufgabe ist ja schon gelöst, aber für mein Verständnis: Die Matrix I ist die Einheitsmatrix, aber was ist mit B gemeint?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:08 Mo 19.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Avinu,
> die Aufgabe ist ja schon gelöst, aber für mein
> Verständnis: Die Matrix I ist die Einheitsmatrix, aber was
> ist mit B gemeint?
Die Matrix
[mm] B\in\IQ^{2\times 2}
[/mm]
ist gegeben (siehe Aufgabenstellung).
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:25 Mo 19.05.2014 | | Autor: | Avinu |
Uuups, das ist peinlich, danke. :)
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