Basis eines Durchschnitts < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Folgende Aufgabe:
Es seien a=(1,3,1,-1), b=(1,2,3,4), c=(1,5,-3,-11), d=(2,-3,2,1), e=(1,1,5,9) Vektoren von V= [mm] \IR^4 [/mm] und U=<a,b,c> und W=<d,e> Unterräume von V.
a) Bestimmen sie die Dimension des Unterraums [mm] U\capW [/mm] von V, indem sie eine Basis angeben.
b) Geben sie eine Basis des Faktorraums V/U an.
Kann mir jemand einen Lösungsansatz nennen? Mir fehlt absolut der Einstieg in die Aufgabe...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Frage wurde geändert!
Auf die ursprünglich falsche Frage wurde aber richtig geantwortet 
Halli hallo!
Ich kann dir zumindest teilweise helfen, undzwar bei der Aufgabe a)
> Es seien a=(1,3,1,-1), b=(1,2,3,4), c=(1,5,-3,-11),
> d=(2,-3,2,1), e=(1,1,5,9) Vektoren von V= [mm]\IR^4[/mm] und
> U=<a,b,c> und W=<d,e> Unterräume von V.
>
> a) Bestimmen sie die Dimension des Unterraums [mm]U\capW[/mm] von V,
> indem sie eine Basis angeben.
Es ist im Prinzip gar nicht so schwer!
Als erstes einmal wissen wir, dass die Dimension höchstens 3 sein kann, da U von 3 Vektoren aufgespannt wird!
Nun mußt du aber noch überprüfen, ob diese vektoren auch linear unabhängig sind, denn sind sie es nicht so könnte die Dimension auch 1 oder 2 sein!
Um die linear abhängigen Vektoren zu eliminieren, kannst du am besten den Gauß-Algorithmus benutzen!
Du schreibst die transponierten Vektoren untereinander und versuchst es soweit es geht auf Stufenform zu bringen!
Vielleicht wird eine Zeile am Ende komplett 0 sein, dann weißt du dass die Dimension gleich 2 ist, sind sogar zwei Zeilen gleich 0 so ist die Dimension nur 1.
Also für dich zum Vergleich, es kommt raus: dimU=2!
Die beiden Vektoren die nun in den beiden Zeilen übrig geblieben sind, bilden deine gesuchte Basis von U!
Wenn du noch Fragen hast, meld dich einfach nochmal und sag wo du hängst!
Liebe Grüße
Ulrike
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Do 25.11.2004 | | Autor: | SilentSam |
Bei der Aufgabenstellung hat sich ein Fehler eingeschlichen: in a) soll nicht eine Basis von U, sondern von U [mm] \cap [/mm] W gefunden werden! Sorry, hab's zu spät gesehen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:32 Do 25.11.2004 | | Autor: | SilentSam |
Hallo Ulrike!
Bei der Aufgabenstellung hat sich ein Fehler eingeschlichen: in a) soll nicht eine Basis von U, sondern von U [mm] \cap [/mm] W gefunden werden! Sorry, hab's zu spät gesehen...
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Halli hallo!
Na dann probieren wir es nochmal ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
> Folgende Aufgabe:
>
> Es seien a=(1,3,1,-1), b=(1,2,3,4), c=(1,5,-3,-11),
> d=(2,-3,2,1), e=(1,1,5,9) Vektoren von V= [mm]\IR^4[/mm] und
> U=<a,b,c> und W=<d,e> Unterräume von V.
Also um die Dimension des Durchschnittes zu bestimmen, brauchst du zunächst die Basisvektoren der Teilräume U und V!
Diese hast du ja wie es scheint schon berechnet ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Wenn ich das so richtig überblicke sind also dimU=dimV=2
Für die Basisvektoren habe ich für U [mm] u_{1}=\vektor{1 \\ 3 \\ 1 \\ -1} [/mm] und [mm] u_{2}=\vektor{0 \\ -1 \\ 2 \\ 5}
[/mm]
Für V erhalte ich [mm] v_{1}=\vektor{2 \\ -3 \\ 2 \\ 1} [/mm] und [mm] v_{2}=\vektor{0 \\ 5 \\ 8 \\ 17}
[/mm]
Nun mußt du folgendermaßen vorgehen:
Du setzt
[mm] a*u_{1}+b*u_{2}=c*v_{1}+d*v_{2}
[/mm]
Das resultierende 4x4 Gleichungssystem löst du wieder nach Gauß.
Die Wert die du für a,b,c,d erhälst, setzt du dann in die obige Gleichung ein und kannst dann dort sehen, wie groß die Dimension ist!
So, ich hoffe ich konnte dir nun helfen!
Nicht dass ich mich am Ende nun selbst verhaspelt hab.
Wenn noch Fragen offen sind, meld dich einfach nochmal!
Liebe Grüße
Ulrike
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Aber ist nicht dimU=3? Damit hätte ich doch 5 Variable bei 4 Gleichungen...?
und wie kommst du auf [mm] $u_{2}$ [/mm] und [mm] $v_{2}$?
[/mm]
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Hallo!
Wie du auf die Dimensionen der Unterräume U und V kommst, hab ich dir in meiner ersten Antwort versucht zu erklären, zumindest für U hab ich es versucht zu erläutern! Für V geht das natürlich analog!
Also schau doch in meine erste Antwort mal rein!
Wenn noch Fragen bleiben, meld dich einfach wieder!
Liebe Grüße
Ulrike
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Fr 26.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Sebastian!
Um auf eine Basis von $V/U$ zu kommen, machst du Folgendes:
Du suchst dir, wie von Ulrike beschrieben, eine Basis [mm] $\{u_1,u_2\}$ [/mm] von $U$ und ergänzt diese zu einer Basis [mm] $\{u_1,u_2,v_1,v_2\}$ [/mm] von [mm] $V=\IR^4$.
[/mm]
Dann ist
[mm] $\{v_1 + U,v_2+U\}$
[/mm]
eine Basis von $V/U$.
Viele Grüße
Julius
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