Basis eines Lösungsraumes < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, ich soll von folgendem LGS eine Basis von dessen Lösungsraum bestimmen:
[mm] (A|b)=\pmat{ 1 & 4 & 3 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 8 & 10 & 2 & 0 \\ 2 & 12 & 15 & 3 & 0}, [/mm] wobei die letzte Spalte eben der Nullvektor ist und somit ein homogones LGS zu lösen ist. Forme ich das ganze auf Zeilenstufenform, dann bekomme ich dies hier:
[mm] \pmat{ 1 & 4 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
[mm] x_4 [/mm] ist eine freie Variebale, die ich dann gleich t setze. Durch Rückwärtseinsetzen bekomme ich dann die folgenden Lösungen:
[mm] x_4=t
[/mm]
[mm] x_3=-0,5t
[/mm]
[mm] x_2=3/8*t
[/mm]
[mm] x_1=0
[/mm]
Der Lösungsraum des homogenen LGS lautet also: [mm] L(A,\vec{0})=t*\vektor{0 \\ 3 \\ -4 \\ 8}, [/mm] wobei ich mit 8 multipliziert habe, um die Brüche zu eliminieren.
Ich weiss, dass der Lösungsraum einen homogenen LGS ein Unterraum des [mm] \IR^n [/mm] ist.
Mit [mm] dimL(A,\vec{0})=n-Rang(A)=4-3=1 [/mm] weiß ich, dass meine Basis ja einen Vektor beinhalten muss. Meine Frage ist nun: Wie ermittle ich diese Basis?!
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> Hallo, ich soll von folgendem LGS eine Basis von dessen
> Lösungsraum bestimmen:
>
> [mm](A|b)=\pmat{ 1 & 4 & 3 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 8 & 10 & 2 & 0 \\
2 & 12 & 15 & 3 & 0},[/mm]
> wobei die letzte Spalte eben der Nullvektor ist und somit
> ein homogones LGS zu lösen ist. Forme ich das ganze auf
> Zeilenstufenform, dann bekomme ich dies hier:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 4 & 3 & 0 & 0 \\
0 & -4 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 8 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> [mm]x_4[/mm] ist eine freie Variebale, die ich dann gleich t setze.
> Durch Rückwärtseinsetzen bekomme ich dann die folgenden
> Lösungen:
> [mm]x_4=t[/mm]
> [mm]x_3=-0,5t[/mm]
> [mm]x_2=3/8*t[/mm]
> [mm]x_1=0[/mm]
>
> Der Lösungsraum des homogenen LGS lautet also:
> [mm]L(A,\vec{0})=\{t*\vektor{0 \\
3 \\
-4 \\
8}| t\in \IR\} ,[/mm] wobei ich mit 8
> multipliziert habe, um die Brüche zu eliminieren.
Hallo,
genau.
Alle Lösungen haben die Gestalt [mm] t*\vektor{0 \\
3 \\
-4 \\
8}.
[/mm]
> Ich weiss, dass der Lösungsraum einen homogenen LGS ein
> Unterraum des [mm]\IR^n[/mm] ist.
> Mit [mm]dimL(A,\vec{0})=n-Rang(A)=4-3=1[/mm] weiß ich, dass meine
> Basis ja einen Vektor beinhalten muss. Meine Frage ist nun:
> Wie ermittle ich diese Basis?!
Du hast sie schon, nämlich den Vektor [mm] \vektor{0 \\
3 \\
-4 \\
8}:
[/mm]
er ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem des Lösungsraumes, also eine Basis.
LG Angela
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Achso! Angenommen, meine Lösung würde etwa so lauten: [mm] L(A,\vec{0})=\vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ -3}+t*\vektor{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 8}. [/mm] Wäre dann nur der Richtungsvektor die Basis?
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Hallo,
> Achso! Angenommen, meine Lösung würde etwa so lauten:
> [mm]L(A,\vec{0})=\vektor{1 \\
2 \\
0 \\
-3}+t*\vektor{-1 \\
0 \\
0 \\
8}.[/mm]
Dann hättest Du ein inhomogenes LGS gehabt.
> Wäre dann nur der Richtungsvektor die Basis?
Genau. Es könnten auch zwei oder mehr Richtungsvektoren sein, die eine Basis bilden. Der "Ortsvektor" davor gehört aber nicht dazu, er kann und darf ja auch nicht beliebig skalar vergrößert oder verkleinert werden. Die Basis ist also immer die des homogenen LGS.
Grüße
reverend
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