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Hi zusammen!
Habe mal eine grundsätzliche Frage zu Basen von Vektorräumen!
In der Vorlesung haben wir eine Basis B definiert als:
1) B ist linear unabhängig
2) B ist Erzeugendensystem zum VR
Weiterhin haben wir in der Vorlesung bewiesen, dass folgende Aussagen äquivalent zueinander sind:
a) B ist Basis vom VR V <=>
b) B ist minimales Erzeugendensystem von V <=>
c) B ist maximal linear unabhängig
Jetzt zu meiner Frage!
Kann ich wenn ich bereits nachgewiesen habe, dass B linear unabhängig ist, beispielsweise B besteht aus 4 Vektoren alle l.u. und ich weiß, dass wir uns im IR4 befinden, kann ich dann folgern, dass B maximal linear unabhängig ist und somit minimales ES und Basis von V oder muss ich explizit zeigen, dass B ES von V ist!
Vor allem in diesem Beispiel weiß ich nicht ob ich so folgern kann.
In der Aufgabe ist vorausgesetzt, dass der Raum V reellwertiger Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] 3 sei. Nach Vorlesung befinden wir uns maximal im Raum [mm] IR^4 [/mm] wenn ich das richtig sehe. Dann ist eine Menge mit 5 Vektoren gegeben, da habe ich bewiesen, dass 4 linear unabhängig sind und sich einer als Linearkombination darstellen lässt. Kann ich jetzt so argumentieren: Da wir max im [mm] IR^4 [/mm] befinden und wir 4 lin unab. Vektoren haben ist diese Menge max. linear unabhängig und das daraus nun folgt das diese Menge Basis von V ist, da diese Aussagen äquivalent sind oder muss ich noch zeigen, dss die Menge ES von V ist!
Würd mich freuen, wenn mir einer sagen könnte ob meine Gedanken richtig sind oder wo mein Fehler liegt!
Vielen Dank
CampDavid
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> In der Vorlesung haben wir eine Basis B definiert als:
> 1) B ist linear unabhängig
> 2) B ist Erzeugendensystem zum VR
>
> Weiterhin haben wir in der Vorlesung bewiesen, dass
> folgende Aussagen äquivalent zueinander sind:
> a) B ist Basis vom VR V <=>
> b) B ist minimales Erzeugendensystem von V <=>
> c) B ist maximal linear unabhängig
>
> Jetzt zu meiner Frage!
> Kann ich wenn ich bereits nachgewiesen habe, dass B linear
> unabhängig ist, beispielsweise B besteht aus 4 Vektoren
> alle l.u. und ich weiß, dass wir uns im IR4 befinden, kann
> ich dann folgern, dass B maximal linear unabhängig ist und
> somit minimales ES und Basis von V oder muss ich explizit
> zeigen, dass B ES von V ist!
Hallo,
das kommt drauf an, was Du über den [mm] \IR^4 [/mm] weißt. Bzw. darauf, was in der Vorlesung bisher mitgeteilt wurde.
WENN bereits der Dimensionsbegriff eingeführt wurde und festgestellt, das der [mm] \IR^4 [/mm] die Dimension 4 hat, d.h. daß jede Basis aus vier Vektoren besteht, bist du fertig.
Wenn das nicht der Fall ist, mußt Du zeigen, daß diese 4 wirklich erzeugen. (Aber Du kannst Dich trotzdem freuen: in ein paar Tagen darfst Du es dann so machen, wie Du jetzt schon gerne möchtest.)
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> Vor allem in diesem Beispiel weiß ich nicht ob ich so
> folgern kann.
> In der Aufgabe ist vorausgesetzt, dass der Raum V
> reellwertiger Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] 3 sei. Nach Vorlesung
> befinden wir uns maximal im Raum [mm]IR^4[/mm] wenn ich das richtig
> sehe.
Hmhmhm... So direkt der [mm] \IR^4 [/mm] ist das ja nicht. Sind ja Polynome. Einigen wir uns auf "isomorph". Falls das schon dran war, jedenfalls verstehe ich, was Du meinst.
Der Vektorraum der Polynome vom Höchstgrad drei hat die Dimension 4.
Dann ist eine Menge mit 5 Vektoren gegeben, da habe
> ich bewiesen, dass 4 linear unabhängig sind und sich einer
> als Linearkombination darstellen lässt. Kann ich jetzt so
> argumentieren: Da wir max im [mm]IR^4[/mm] befinden und wir 4 lin
> unab. Vektoren haben ist diese Menge max. linear unabhängig
> und das daraus nun folgt das diese Menge Basis von V ist,
> da diese Aussagen äquivalent sind oder muss ich noch
> zeigen, dss die Menge ES von V ist!
Wie gesagt, wenn das mit der Dimension schon dran war, und Ihr schon wißt das der fraglich Vektorraum die dimension 4 hat, ja. Ansonsten mußt du zeigen: linear unabhängig und Erzeugendensystem.
Gruß v. Angela
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