Basis eines Vektorraums < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] $V=\IQ\lbrack t\rbrack_{\le 5}=\{p\in\IQ\lbrack t\rbrack | \deg (p) \le 5\}$. [/mm] Seien [mm] $p_{1} [/mm] = [mm] t^{5} [/mm] + [mm] t^{4}$, $p_{2} [/mm] = [mm] t^{5}-7 t^{3}$, $p_{3} [/mm] = [mm] t^{5}-1$, $p_{4} [/mm] = [mm] t^{5} [/mm] + 3t [mm] \in [/mm] V$. Zeigen Sie, dass [mm] $p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}$ [/mm] linear unabhängig sind und ergänzen Sie [mm] $\{p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}\}$ [/mm] zu einer Basis von $V$. |
Hallo liebes Forum,
ich sitze nun schon seit Stunden an der Aufgabe. Ich habe gezeigt, dass [mm] p_{1} [/mm] , [mm] p_{2} [/mm] , [mm] p_{3} [/mm] , [mm] p_{4} [/mm] linear unabhängig sind. Das ist nicht das Problem.
Mein Problem ist es, dass ich nicht weiß, wie ich [mm] \{ p_{1} , p_{2} , p_{3} , p_{4} \} [/mm] zu einer Basis ergänzen kann. Ich habe mir den Basisergänzungssatz angeschaut, aber dazu bräuchte ich ja noch einen Vektor. Ich habe mir alle möglichen Definitionen über Spann, Basis und Dimension angeguckt, aber ich habe absolut keine Ahnung.
Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte. Danke =)
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum und auf keinen anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:19 Di 26.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei V = [mm]\IQ[/mm] [t]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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> _{≤5} =\{p \in Q [t]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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> | deg (p) ≤5\}. Seien p_{1} = t^{5} + t^{4} , p_{2} = t^{5}−7 t^{3}, p_{3} = t^{5}−1, p_{4} = t^{5} + 3t \in V . Zeigen Sie, dass p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4} linear unabhängig sind und ergänzen Sie \{p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}\} zu einer Basis von V .
> Hallo liebes Forum,
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> ich sitze nun schon seit Stunden an der Aufgabe. Ich habe gezeigt, dass p_{1} , p_{2} , p_{3} , p_{4} linear unabhängig sind. Das ist nicht das Problem.
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> Mein Problem ist es, dass ich nicht weiß, wie ich \{ p_{1} , p_{2} , p_{3} , p_{4} \} zu einer Basis ergänzen kann. Ich habe mir den Basisergänzungssatz angeschaut, aber dazu bräuchte ich ja noch einen Vektor. Ich habe mir alle möglichen Definitionen über Spann, Basis und Dimension angeguckt, aber ich habe absolut keine Ahnung.
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> Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte. Danke =)
Kannst Du das Polynom t^2 als Linearkombination der Polynome p_{1} , p_{2} , p_{3} , p_{4} darstellen ?
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum und auf keinen anderen Internetseiten gestellt.
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Ja ich habe jetzt auch herausgefunden, dass ich noch einen zusätzlichen Vektor [mm] p_{5} [/mm] = [mm] t^{2} [/mm] wählen muss, aber wir haben gezeigt, dass die Dimension immer um eins höher ist, als der maximale Grad des Polynoms. Das heißt hier müsste die Dimension 6 sein und müsste man dann nicht auch für die Basis 6 Vektoren haben?
Und wen ich [mm] p_{5} [/mm] = [mm] t^{2} [/mm] so wähle, wie begründe ich das? Weil man das nicht als Linearkombination darstellen kann?
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> Ja ich habe jetzt auch herausgefunden, dass ich noch einen
> zusätzlichen Vektor [mm]p_{5}[/mm] = [mm]t^{2}[/mm] wählen muss, aber wir
> haben gezeigt, dass die Dimension immer um eins höher ist,
> als der maximale Grad des Polynoms. Das heißt hier müsste
> die Dimension 6 sein und müsste man dann nicht auch für
> die Basis 6 Vektoren haben?
Hallo,
ja, Du brauchst 6 linear unabhängige Vektoren, mußt also noch einen suchen.
> Und wen ich [mm]p_{5}[/mm] = [mm]t^{2}[/mm] so wähle, wie begründe ich
> das? Weil man das nicht als Linearkombination darstellen kann?
Ja, weil die fünf, die Du jetzt hast, linear unabhängig sind.
LG Angela
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Damit ich das richtig verstehe: Ich brauche nur 6 linear unabhängige Vektoren und dann ist das automatisch eine Basis? Also muss ich immer, wenn ich eine Basis bestimmen muss die Dimension herausfinden und dann dem entsprechend so viele unabhängige Vektoren finden?
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> Damit ich das richtig verstehe: Ich brauche nur 6 linear
> unabhängige Vektoren und dann ist das automatisch eine
> Basis?
Hallo,
ja, wenn Du weißt, daß die Dimension 6 ist, dann mußt Du bloß 6 linear unabhängige Vektoren suchen. Diese sind dann "automatisch" auch ein Erzeugendensystem.
Oder wenn Du weißt, daß die Dimension 6 ist, dann mußt Du bloß ein Erzeugendensystem aus 6 Vektoren finden. Dieses ist dann "automatisch " linear unabhängig.
> Also muss ich immer, wenn ich eine Basis bestimmen
> muss die Dimension herausfinden
Die Dimension findet man heraus, indem man eine Basis sucht und deren Elemente zählt.
>und dann dem entsprechend
> so viele unabhängige Vektoren finden?
Wenn Du die Dimension bereits kennst: ja.
LG Angela
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und wie bestimme ich eine basis, wenn ich die dimension nicht kenne?
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> und wie bestimme ich eine basis, wenn ich die dimension
> nicht kenne?
Hallo,
indem Du ein linear unabhängiges Erzeugendensystem suchst.
LG Angela
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