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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:19 Sa 10.01.2009 | | Autor: | nina1 |
| Aufgabe | Betrachten Sie den euklidischen Vektorraum R3 mit dem Standardskalarprodukt [mm] <\vec{x},\vec{y}>=x_{1}*y_{2}+x_{2}*y_{2}+x_{3}*y_{3}
[/mm]
1.Teilaufgabe: Zeigen Sie dass [mm] \vec{v1}:= [/mm] 1/2 * [mm] \vektor{\wurzel{2} \\ 1 \\ 1}, \vec{v2}:= [/mm] 1/2 * [mm] \vektor{-\wurzel{2} \\ 1 \\ 1} [/mm] orthonormal (orthogonal & normiert) sind.
2.Teilaufgabe: Ergänzen Sie [mm] \vec{v1} [/mm] und [mm] \vec{v2} [/mm] zu einer Basis B;d.h. wählen Sie einen Vektor [mm] \vec{v3} \in R^3 [/mm] so dass [mm] ({\vec{v1}, \vec{v2}, \vec{v3}}) [/mm] eine Basis des [mm] R^3 [/mm] ist. |
Hallo,
kann mir hier jemand bei dieser Aufgabe bitte helfen?
Ist bei dieser 2.Aufgabe also ein Vektor [mm] \vec{v3} [/mm] gesucht, so dass gilt [mm] <\vec{v1}, \vec{v2}, \vec{v3}>=0 [/mm] und die einzelnen Beträge gleich 1 ?
[mm] <\vec{v1}, \vec{v2}, \vec{v3}> [/mm] wäre ja dann -1/2z1+1/4z2+1/4z3=0
und das wiederum ist dann für [mm] z1=\bruch{z2+z3}{2} [/mm] z2=2*z1-z3 z3=2z1-z2
Ist das überhaupt der richtige Rechenweg und wie kommt man dann am Ende auf die einzelnen Koordinaten?
Danke euch im Voraus,.. nina
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Hallo nina1,
> Betrachten Sie den euklidischen Vektorraum R3 mit dem
> Standardskalarprodukt
> [mm]<\vec{x},\vec{y}>=x_{1}*y_{2}+x_{2}*y_{2}+x_{3}*y_{3}[/mm]
>
> 1.Teilaufgabe: Zeigen Sie dass [mm]\vec{v1}:=[/mm] 1/2 *
> [mm]\vektor{\wurzel{2} \\ 1 \\ 1/2}, \vec{v2}:=[/mm] 1/2 *
> [mm]\vektor{-\wurzel{2} \\ 1 \\ 1}[/mm] orthonormal (orthogonal &
> normiert) sind.
>
> 2.Teilaufgabe: Ergänzen Sie [mm]\vec{v1}[/mm] und [mm]\vec{v2}[/mm] zu einer
> Basis B;d.h. wählen Sie einen Vektor [mm]\vec{v3} \in R^3[/mm] so
> dass [mm]({\vec{v1}, \vec{v2}, \vec{v3}})[/mm] eine Basis des [mm]R^3[/mm]
> ist.
> Hallo,
>
> kann mir hier jemand bei dieser Aufgabe bitte helfen?
>
> Ist bei dieser 2.Aufgabe also ein Vektor [mm]\vec{v3}[/mm] gesucht,
> so dass gilt [mm]<\vec{v1}, \vec{v2}, \vec{v3}>=0[/mm] und die
> einzelnen Beträge gleich 1 ?
>
> [mm]<\vec{v1}, \vec{v2}, \vec{v3}>[/mm] wäre ja dann
> -1/2z1+1/4z2+1/4z3=0
>
> und das wiederum ist dann für [mm]z1=\bruch{z2+z3}{2}[/mm]
> z2=2*z1-z3 z3=2z1-z2
>
> Ist das überhaupt der richtige Rechenweg und wie kommt man
> dann am Ende auf die einzelnen Koordinaten?
Der richtige Rechenweg ist dieser:
Gesucht ist ein Vektor [mm]\vec{v3}[/mm], der folgenden Bedingungsgleichungen erfüllt:
[mm]<\vec{v1},\vec{v3}>=0[/mm]
[mm]<\vec{v2},\vec{v3}>=0[/mm]
[mm]<\vec{v3},\vec{v3}>=1[/mm]
>
> Danke euch im Voraus,.. nina
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Sa 10.01.2009 | | Autor: | nina1 |
Danke erstmal.
Also kann man die Zahlen beliebig "raten" kann und jeder Vektor, der die 3 Bedingungen erfüllt, bildet dann diese Basis ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 Sa 10.01.2009 | | Autor: | jumape |
Genau dass heißt dass aber mit (1,1,1) funktioniert es glaube ich nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:40 So 11.01.2009 | | Autor: | nina1 |
Aber mit [mm] \vec{v3} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ \wurzel{1/2} \\ - \wurzel{1/2}} [/mm] müsste es wohl stimmen.
Muss man dann die Basis { [mm] \vec{v1}, \vec{v2}, \vec{v3} [/mm] }noch aus NZSF bringen?
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Hallo nina1,
> Aber mit [mm]\vec{v3}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ \wurzel{1/2} \\ - \wurzel{1/2}}[/mm]
> müsste es wohl stimmen.
Nein, dieser Vektor stimmt nicht.
Alternativ kannst Du das Vektorprodukt von [mm]\vec{v1}[/mm] mit [mm]\vec{v2}[/mm] bilden.
Demnach
[mm]\vec{v3}=\vec{v1} \times \vec{v2}[/mm]
Dann mußt Du [mm]\vec{v3}[/mm] noch normieren.
>
> Muss man dann die Basis [mm]\left\{ \ \vec{v1}, \vec{v2}, \vec{v3} \ \right\}[/mm]
> noch aus NZSF bringen?
Nein.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:16 So 11.01.2009 | | Autor: | nina1 |
Ok, dann ist aber [mm] \vec{v3} [/mm] wohl [mm] \vektor{0 \\ -\wurzel{2}/2 \\ \wurzel{2}/2}..
[/mm]
Wenn man jetzt eine Orthonomalnbasis aus diesen 3 Vektoren bilden würde, ginge das dann so ungefähr als Ansatz?:
[mm] \vec{v1}=\vektor{\wurzel(-2)/2 \\ 1/2 \\ 1/2} [/mm]
[mm] \vec{w1}= \bruch{\vec{v1}}{||\vec{v1}||} [/mm] = [mm] \vec{v1} [/mm] ?
Denn für w2 und w3 bekäme ich dann auch jeweils v2 und v3..
Was genau ist dann da nicht richtig? Warum kommen die selben Vektoren für die ONB raus?
Grüße
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> Ok, dann ist aber [mm]\vec{v3}[/mm] wohl [mm]\vektor{0 \\ -\wurzel{2}/2 \\ \wurzel{2}/2}..[/mm]
>
> Wenn man jetzt eine Orthonomalnbasis aus diesen 3 Vektoren
> bilden würde, ginge das dann so ungefähr als Ansatz?:
>
> [mm]\vec{v1}=\vektor{\wurzel(-2)/2 \\ 1/2 \\ 1/2}[/mm]
>
> [mm]\vec{w1}= \bruch{\vec{v1}}{||\vec{v1}||}[/mm] = [mm]\vec{v1}[/mm] ?
>
> Denn für w2 und w3 bekäme ich dann auch jeweils v2 und
> v3..
> Was genau ist dann da nicht richtig? Warum kommen die
> selben Vektoren für die ONB raus?
Hallo,
das ist doch nun wirklich kein Wunder!
Du hast anfangs festgestellt, daß [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] orthogonal und normiert sind.
Dann hast Du einen Vektor [mm] v_3 [/mm] bestimmt, der zu den beiden orthogonal ist (also senkrecht auf der von ihnen aufgespannten Ebene steht) und ebenfalls normiert ist.
Was hast Du also? Eine 0rthonormalbasis des [mm] \IR^3.
[/mm]
Was soll da bei der 0rthonormalisiereung noch passieren? Was wolltest Du noch erreichen? Nix!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 So 11.01.2009 | | Autor: | nina1 |
| Aufgabe | Wenden Sie das Gram-Schmidt-Verfahren an, um die Basis B in eine Orthonormalbasis
[mm] B_{ONB} [/mm] zu uberfuhren. |
Hallo,
also als weitere Teilaufgabe c kommt eben diese hier. Aber was ist dann hier verlangt? Kann mir dann jemand sagen , was dann hier verlangt sein könnte?
Danke für eine Antwort.
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> Wenden Sie das Gram-Schmidt-Verfahren an, um die Basis B in
> eine Orthonormalbasis
> [mm]B_{ONB}[/mm] zu uberfuhren.
> Hallo,
>
> also als weitere Teilaufgabe c kommt eben diese hier. Aber
> was ist dann hier verlangt? Kann mir dann jemand sagen ,
> was dann hier verlangt sein könnte?
> Danke für eine Antwort.
>
>
Hallo,
verlangt ist, was da steht:
Du hast irgendeine Basis B,
und Du sollst eine ONB finden, die denselben Raum aufspannt.
Das macht man mit dem Gram-Schmidt-Orthonormalisierungsverfahren.
Wenn Deine Basis B die ist, die Du zuvor aufgestellt hast, dann ist die aber bereits orthonormal.
Also passiert beim Orthonormalisieren nichts mehr.
Das hatte ich aber schon gesagt, oder?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:40 So 11.01.2009 | | Autor: | nina1 |
Ok, gut, es ist die Basis gemeint, die oben geschrieben steht.. es hatte mich nur jetzt gewundert, warum dann diese Aufgabe folgt. Grüße, Nina
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> Ok, gut, es ist die Basis gemeint, die oben geschrieben
> steht.. es hatte mich nur jetzt gewundert, warum dann diese
> Aufgabe folgt. Grüße, Nina
Es hätte ja sein können, daß Du zuvor "krumm" ergänzt hättest.
Dann wäre was zu orthonormalisieren.
Kannst's ja mal zu Übungszwecken ausprobieren - so 'ne Orthonormalisierung sollte man schon mal gemacht haben, damit man weiß, wie's geht.
gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 So 11.01.2009 | | Autor: | nina1 |
Hallo,
noch ganz kurz: wie meinst du das mit demm krumm ergänzen? Viele Grüße.
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> Hallo,
>
> noch ganz kurz: wie meinst du das mit demm krumm ergänzen?
> Viele Grüße.
hallo,
mit einem Vektor, der nicht rechtwinklig zu den beiden ist, z.B. mit dem dritten Einheitsvektor.
Gruß v. Angela
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