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| Aufgabe | Im Spaltenraum [mm] \IR^{4} [/mm] seien folgende Vektoren gegeben:
[mm] \vec{a_1}=\vektor{0 \\ 3 \\ 5 \\ 3}; \vec{a_2}=\vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 1}; \vec{b_1}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 0}; \vec{b_2}=\vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 1}; \vec{b_3}=\vektor{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 2};
[/mm]
Weiter sei [mm] U=span(\vec{a_1},\vec{a_2}) [/mm] und [mm] V=span(\vec{b_1},\vec{b_2},\vec{b_3})
[/mm]
a) Ist U [mm] \subseteq [/mm] V ?
b) Wenn ja, durch welche(s) [mm] \vec{b_i} [/mm] wird [mm] (\vec{a_1},\vec{a_2}) [/mm] zu einer Basis von V ergänzt? |
a) Ist eigentlich klar, meine Frage wäre nur: gibt es hier eine einfachere Möglichkeit, als per LGS zu zeigen, dass [mm] \vec{a_1} [/mm] und [mm] \vec{a_2} [/mm] durch [mm] \vec{b_{1,2,3}} [/mm] linear kombiniert werden können?
b) Wenn ich die 5 Vektoren als Spalten einer Matrix aufschreibe, und diese dann mit Gauß auf Stufenform bringe, bekomme ich folgendes heraus:
[mm] \pmat{ 3&1&2&1&0 \\ 0& \bruch{-2}{3}&\bruch{-1}{3}&\bruch{1}{3}&0\\0&0&-2&0&2\\0&0&0&0&0}
[/mm]
Ich würde daraus jetzt ablesen, dass [mm] \vec{b_1} [/mm] und [mm] \vec{b_3} [/mm] eine Ergänzung darstellen?
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Hallo Blueplanet,
> Im Spaltenraum [mm]\IR^{4}[/mm] seien folgende Vektoren gegeben:
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> [mm]\vec{a_1}=\vektor{0 \\ 3 \\ 5 \\ 3}; \vec{a_2}=\vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 1}; \vec{b_1}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 0}; \vec{b_2}=\vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 1}; \vec{b_3}=\vektor{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 2};[/mm]
>
> Weiter sei [mm]U=span(\vec{a_1},\vec{a_2})[/mm] und
> [mm]V=span(\vec{b_1},\vec{b_2},\vec{b_3})[/mm]
>
> a) Ist U [mm]\subseteq[/mm] V ?
> b) Wenn ja, durch welche(s) [mm]\vec{b_i}[/mm] wird
> [mm](\vec{a_1},\vec{a_2})[/mm] zu einer Basis von V ergänzt?
> a) Ist eigentlich klar, meine Frage wäre nur: gibt es
> hier eine einfachere Möglichkeit, als per LGS zu zeigen,
> dass [mm]\vec{a_1}[/mm] und [mm]\vec{a_2}[/mm] durch [mm]\vec{b_{1,2,3}}[/mm] linear
> kombiniert werden können?
Na ja, man kann das auch durch bloßes Hinschauen sofort sehen.
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> b) Wenn ich die 5 Vektoren als Spalten einer Matrix
> aufschreibe, und diese dann mit Gauß auf Stufenform
> bringe, bekomme ich folgendes heraus:
>
> [mm]\pmat{ 3&1&2&1&0 \\ 0& \bruch{-2}{3}&\bruch{-1}{3}&\bruch{1}{3}&0\\0&0&-2&0&2\\0&0&0&0&0}[/mm]
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> Ich würde daraus jetzt ablesen, dass [mm]\vec{b_1}[/mm] und
> [mm]\vec{b_3}[/mm] eine Ergänzung darstellen?
Das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ist aber meines Erachtens nicht die einzigste Möglichkeit, da aus
[mm]\overrightarrow{a_{1}}=\alpha_{1}*\overrightarrow{b_{1}}+\alpha_{2}*\overrightarrow{b_{2}}+\alpha_{3}*\overrightarrow{b_{3}}[/mm]
[mm]\overrightarrow{a_{2}}=\beta_{1}*\overrightarrow{b_{1}}+\beta_{2}*\overrightarrow{b_{2}}+\beta_{3}*\overrightarrow{b_{3}}[/mm]
folgt, daß alle [mm] \alpha_{i}, \ \beta_{i} \not= 0, \ i=1,2,3[/mm] sind.
Gruss
MathePower
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