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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Do 26.11.2009 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | | Sei $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \ge [/mm] 3$ und seien $ [mm] v_1 [/mm] = (1,2,...,n-1,n)$ und [mm] $v_2 [/mm] = (1,2,...,n-1,n+1)$ Vektoren des [mm] $\IR^n$. [/mm] Ergänzen Sie [mm] $v_1, v_2$ [/mm] zu einer Basis des [mm] $\IR^n$. [/mm] |
So gesucht ist ein dritter Basisvektor, also gilt:
- [mm] $v_1, v_2, v_3$ [/mm] müssen linear unabhängig sein.
[mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] v_1 [/mm] = [mm] \pmat{ 1 \\ 2 \\ \vdots \\ n-1 \\ n} [/mm] $ $ [mm] v_2 [/mm] = [mm] \pmat{ 1 \\ 2 \\ \vdots \\ n-1 \\ n+1} [/mm] $ $ [mm] v_3 [/mm] = [mm] \pmat{ 1 \\ 2 \\ \vdots \\ n \\ n-1} [/mm] $
Bei meinem Versuch am [mm] $\IR^3$ [/mm] hat sich schonmal lineare Unabhängigkeit ergeben.
Lässt sich denn jetzt auch jeder Vektor des [mm] $\IR^n$ [/mm] damit darstellen?
Hab ich auch mal durchgerechnet und zumindest bei meinem Beispiel hats funktioniert.
Wie schreib ich das korrekt auf und in wie weit muss ich das begründen? Beispiele sind ja ne gute Sache, aber meistens reichen die nicht als Begründung...
Hoffe bin nicht wieder so ganz auf dem Holzweg. =)
Gruß und Dankeschön schonmal!!
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> Sei [mm]n \in \IN[/mm] mit [mm]n \ge 3[/mm] und seien [mm]v_1 = (1,2,...,n-1,n)[/mm]
> und [mm]v_2 = (1,2,...,n-1,n+1)[/mm] Vektoren des [mm]\IR^n[/mm]. Ergänzen
> Sie [mm]v_1, v_2[/mm] zu einer Basis des [mm]\IR^n[/mm].
> So gesucht ist ein dritter Basisvektor, also gilt:
Hallo,
gesucht sind n-2 Vektoren, mit denen Du die beiden zu einer Basis ergänzen kannst.
>
> - [mm]v_1, v_2, v_3[/mm] müssen linear unabhängig sein.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]v_1 = \pmat{ 1 \\ 2 \\ \vdots \\ n-1 \\ n}[/mm] [mm]v_2 = \pmat{ 1 \\ 2 \\ \vdots \\ n-1 \\ n+1}[/mm]
> [mm]v_3 = \pmat{ 1 \\ 2 \\ \vdots \\ n \\ n-1}[/mm]
>
> Bei meinem Versuch am [mm]\IR^3[/mm] hat sich schonmal lineare
> Unabhängigkeit ergeben.
Für n=3 brauchst Du also einen ergänzenden Vektor.
Nun schauen wir uns mal an, was Du oben geschrieben hast:
[mm] v_1= \pmat{ 1 \\ 2 \\ 3}, v_2 [/mm] = [mm] \pmat{ 1 \\ 2 \\ 4}, [/mm]
Ergänzungsvektor [mm] v_3 [/mm] = [mm] \pmat{ 1 \\ 2 \\ \vdots \\ 3 \\ 2-1} [/mm] --- Was meinst Du damit? Mir ist nicht klar, welcher Vektor gemeint ist.
>
> Lässt sich denn jetzt auch jeder Vektor des [mm]\IR^n[/mm] damit
> darstellen?
Bestimmt nicht. Da der [mm] \IR^n [/mm] die Dimension n hat, muß dies ja für n>3 scheitern.
>
> Hab ich auch mal durchgerechnet und zumindest bei meinem
> Beispiel hats funktioniert.
Was genau hast Du gerechnet?
>
> Wie schreib ich das korrekt auf und in wie weit muss ich
> das begründen?
Alles mußt Du begründen.
> Beispiele sind ja ne gute Sache, aber
> meistens reichen die nicht als Begründung...
Genau. Beipiele reichen als begründung dafür, daß Aussagen nicht gelten.
> Hoffe bin nicht wieder so ganz auf dem Holzweg. =)
Ich sag' mal so: der eingeschlagene Weg ist nicht grundverkehrt, aber Du tust gut daran, Dir die Sache erstmal für n=3,4,5,6 separat zu überlegen, um anschließend die Behauptung für n zu formulieren und zu beweisen.
Gruß v. Angela
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