Basis f. darst. Mat. in Diag. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei V der [mm] $\mathbb{R}$-Vektorraum [/mm] der rellen Polynome vom Grad [mm] $\le [/mm] 1$.
a) Bestimmen Sie in Bezug auf die Basis $1,x$ die darstellende Matrix der Bilinearforum [mm] $\phi(f,g) [/mm] := [mm] \integral_{0}^{1} \integral_{0}^{1} [/mm] (x+y)f(x)g(y)dxdy$
b) Bestimmen Sie eine Basis von V, bzgl. der [mm] $\phi$ [/mm] eine darstellende Matrix in Diagonalform hat. |
hi
bei der a) habe ich folgende Matrix
[mm] $M_\phi [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & \frac{7}{12} \\ \frac{7}{12} & \frac{1}{3} }$
[/mm]
gehen wir mal davon aus, dass das stimmt 
bei der b) suche ich jetzt also eine matrix, bei der die Einträge [mm] $a_{12}, a_{21}$ [/mm] gleich 0 sind. ich hab das heute schon ewig versucht, aber meine ansätze waren falsch - hat jemand einen tipp für mich?
Gruß, GB
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> Es sei V der [mm]\mathbb{R}[/mm]-Vektorraum der rellen Polynome vom
> Grad [mm]\le 1[/mm].
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> a) Bestimmen Sie in Bezug auf die Basis [mm]1,x[/mm] die
> darstellende Matrix der Bilinearforum [mm]\phi(f,g) := \integral_{0}^{1} \integral_{0}^{1} (x+y)f(x)g(y)dxdy[/mm]
>
> b) Bestimmen Sie eine Basis von V, bzgl. der [mm]\phi[/mm] eine
> darstellende Matrix in Diagonalform hat.
> hi
>
> bei der a) habe ich folgende Matrix
> [mm]M_\phi = \pmat{ 1 & \frac{7}{12} \\ \frac{7}{12} & \frac{1}{3} }[/mm]
>
> gehen wir mal davon aus, dass das stimmt
>
> bei der b) suche ich jetzt also eine matrix, bei der die
> Einträge [mm]a_{12}, a_{21}[/mm] gleich 0 sind. ich hab das heute
> schon ewig versucht, aber meine ansätze waren falsch - hat
> jemand einen tipp für mich?
Hallo,
ja: Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen...
Du hast ja eine symmetrische Matrix, weißt also, daß sie orthogonal diagonalisierbar ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:28 Mi 17.06.2009 | | Autor: | TommyAngelo |
Hi, ich muss diese Aufgabe auch machen (Bist du zufällig beim Andreas Heidt?)
Kommt zufällig folgende Basis raus:
[mm] \{1+\frac{-4+\sqrt{65}}{7}x, 1+\frac{-4-\sqrt{65}}{7}x\}
[/mm]
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hi
nein, bin nicht bei andreas heidt.
naja, sieht ja schonmal recht ähnlich aus was wir da raus haben - auch wenns doch irgendwie anders ist...
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
hm, da kommen recht komische werte raus...
$\lambda_1 = \frac{2}{3} + \frac{1}{12}\cdot \sqrt{65}$
$\lambda_2 = \frac{2}{3} - \frac{1}{12}\cdot \sqrt{65}$
$v_1 = \vektor{\frac{7}{-4 + \sqrt{65}) \\1}$
$v_2 = \vektor{\frac{7}{-4 - \sqrt{65}) \\1}$
mag natürlich sein, das meine matrix doch irgendwie falsch ist... naja, was solls.
nur ehrlich gesagt weiß ich immer noch nicht, wie ich jetzt auf meine basis komme... sorry, steh da wohl grad sehr auf'm schlauch. hatte heut aber auch einen anstrengenden tag .
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Also, die Matrix sollte stimmen. Die hab ich auch so.
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Also ich habs jetzt ein bisschen anders gemacht:
Die Basis muss ja den Raum der Polynome aufspannen.
Sei [mm] \{1, x-a\} [/mm] die Basis, wo wir nun a berechnen wollen.
Die Einträge oben rechts und unten links wollen wir ja auf 0 setzen:
[mm] 0=phi(x-a,1)=...=\frac{7}{12}-a [/mm]
=> [mm] a=\frac{7}{12}
[/mm]
Ich hab noch die anderen Werte überprüft und hab dann folgende Diagonalmatrix:
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{144}}#
[/mm]
Stimmt die?
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Also ich habs jetzt ein bisschen anders gemacht:
Die Basis muss ja den Raum der Polynome aufspannen.
Sei [mm] \{1, x-a\} [/mm] die Basis, wo wir nun a berechnen wollen.
Die Einträge oben rechts und unten links wollen wir ja auf 0 setzen:
[mm] 0=phi(x-a,1)=...=\frac{7}{12}-a [/mm]
=> [mm] a=\frac{7}{12}
[/mm]
Ich hab noch die anderen Werte überprüft und hab dann folgende Diagonalmatrix:
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{144}}#
[/mm]
Stimmt die?
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> Also ich habs jetzt ein bisschen anders gemacht:
>
> Die Basis muss ja den Raum der Polynome aufspannen.
> Sei [mm]\{1, x-a\}[/mm] die Basis, wo wir nun a berechnen wollen.
> Die Einträge oben rechts und unten links wollen wir ja auf
> 0 setzen:
>
> [mm]0=phi(x-a,1)=...=\frac{7}{12}-a[/mm]
>
> => [mm]a=\frac{7}{12}[/mm]
>
> Ich hab noch die anderen Werte überprüft und hab dann
> folgende Diagonalmatrix:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{144}}#[/mm]
>
> Stimmt die?
Hallo,
ja, diese Basis kannst Du nehmen, denn sie ist eine Orthogonalbasis bzgl. des betrachteten Skalarproduktes.
(Es sind bei dieser Aufgabe mehrer Basen möglich)
Gruß v. Angela
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Hallo, min grandioser Tip von vorhin sollte zwar funktionieren, die Eigenvektoren (als Koordinatenvektoren bzgl (1,x)) sollten die neue Basis ergeben,
aber das ist nicht der beste Weg.
Du kannst hier Deine Basis (1,x) nehmen und orthogonalisieren - und zwar bezüglich des Skalarproduktes, mit welchem wir es hier zu tun haben.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:11 Do 18.06.2009 | | Autor: | pestaiia |
| Aufgabe | zur Aufgabe a) von GreatBritain
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Meine Frage bezieht sich auf ein rein rechnerisches Problem.
Wie kommt man auf die Einträge 7/12 und 1/3?
Wenn ich nach zwei Variablen integrieren muss, integrier ich doch erst nach der einen und dann nach der anderen oder? wie kann da eine Zahl rauskommen. Das Ergebnis müsste doch immernoch von einer Variablen abhängen?
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> zur Aufgabe a) von GreatBritain
>
> Meine Frage bezieht sich auf ein rein rechnerisches
> Problem.
> Wie kommt man auf die Einträge 7/12 und 1/3?
> Wenn ich nach zwei Variablen integrieren muss, integrier
> ich doch erst nach der einen und dann nach der anderen
> oder? wie kann da eine Zahl rauskommen. Das Ergebnis müsste
> doch immernoch von einer Variablen abhängen?
Hallo,
Du setzt ja die Grenzen ein.
Ich mach Dir das mal für den Eintrag rechts oben vor:
Berechnet werden soll $ [mm] \phi(f,g) [/mm] := [mm] \integral_{0}^{1} \integral_{0}^{1} [/mm] (x+y)f(x)g(y)dxdy $
für f,g mit f(x)=1 und g(x)=x.
Es ist $ [mm] \phi(f,g) [/mm] := [mm] \integral_{0}^{1} \integral_{0}^{1} [/mm] (x+y)ydxdy [mm] $=$\integral_{0}^{1}[\bruch{1}{2} x^2y+xy^2]_{0}^{1}dy [/mm] $ [mm] =$\integral_{0}^{1}[\bruch{1}{2}y+y^2]dy [/mm] $ [mm] =$[\bruch{1}{4}y^2+\bruch{1}{3}y^3]_{0}^{1}=\bruch{7}{12}.$
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:48 Fr 19.06.2009 | | Autor: | pestaiia |
Jetzt ist mir das klar! Danke!
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