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| Aufgabe | Seien
$ [mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{1\\0\\1\\2}, v_2 [/mm] = [mm] \vektor{3\\1\\2\\1}, v_2 [/mm] = [mm] \vektor{1\\-1\\1\\-2}, v_4 [/mm] = [mm] \vektor{1\\1\\0\\1}, v_5 [/mm] = [mm] \vektor{5\\2\\3\\4} [/mm] $
i) Bestimme eine Basis für [mm] $$.
[/mm]
ii) Erweitere die in i) gefundene Basis zu einer Basis für [mm] \IR^4. [/mm] |
Hallo an alle :)
Ich würde mich freuen, wenn jemand das Folgenden mal nachschauen und mir Tipps geben könnte, wenn ich Fehler gemacht habe.
Teilaufgabe i)
Ich habe erst geschaut, ob die fünf Vektoren linear unabhängig sind. D.h. ich muss zeigen, dass in der Gleichung
$ [mm] a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4+a_5v_5=0$
[/mm]
für alle [mm] $a_i \in \IR$ [/mm] diese [mm] $a_i$ [/mm] null sind. Ich kann also das folgende Gleichungssystem aufstellen:
$ [mm] a_1+3a_2+a_3+a_4+5a_5=0$
[/mm]
$ [mm] a_2-a_3+a_4+2a_5=0$
[/mm]
$ [mm] a_1+2a_2+a_3+3a_5=0$
[/mm]
$ [mm] 2a_1+a_2-2a_3+a_4+4a_5=0$
[/mm]
Wegen des langen Rechenweges erspare ich mir die Schreib- und euch die Lesearbeit. Ich habe die Lösung (dieses Gleichungssystems) aber schon kontrollieren lassen, daher ist das folgende Gleichungssystem wohl richtig:
$ [mm] a_1+a_5=0$
[/mm]
$ [mm] a_2+a_5=0$
[/mm]
$ [mm] a_3=0$
[/mm]
$ [mm] a_4+a_5=0$
[/mm]
Hieraus folgt also, dass
$ [mm] a_1 [/mm] = [mm] -a_5$
[/mm]
$ [mm] a_2=-a_5$
[/mm]
[mm] $a_3=0$
[/mm]
[mm] $a_4=-a_5$
[/mm]
Ich kann also [mm] a_5 [/mm] frei wählen, in diesem Fall habe ich [mm] $a_5 [/mm] = -1$ gewählt. Wir erhalten also:
$ [mm] a_1=1$
[/mm]
[mm] $a_2=1$
[/mm]
[mm] $a_3=0$
[/mm]
[mm] $a_4=1$
[/mm]
[mm] $a_5=-1$
[/mm]
Wenn wir diese Werte in die o.g. Gleichung einsetzen, erhalten wir
[mm] $1*v_1+1*v_2+0*v_3+1*v_4-v_5=0$
[/mm]
Wir können also den Vektor [mm] v_5 [/mm] schreiben als Linearkombination der anderen vier Vektoren:
$ [mm] v_5=v_1+v_2+0*v_3+v_4$
[/mm]
Die Vektoren [mm] v_1 [/mm] bis [mm] v_4 [/mm] sind also potenziell Kandidaten für eine Basis von [mm] $\{v_1,\ldots,v_5\}$. [/mm] Wenn wir wie oben überprüfen, ob sie linear unabhängig sind, finden wir, dass sie es sind (auch hier lass ich das mal weg, wenn das ok ist, weil ich sicher bin, dass das richtig ist). Sie sind auch ein Erzeugendensystem, weil - wie wir gesehen haben - jeder der fünf Vektoren erzeugt werden kann als Linearkombination der anderen vier. Die vier Vektoren
$ [mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{1\\0\\1\\2}, v_2 [/mm] = [mm] \vektor{3\\1\\2\\1}, v_2 [/mm] = [mm] \vektor{1\\-1\\1\\-2}, v_4 [/mm] = [mm] \vektor{1\\1\\0\\1} [/mm] $
sind also eine Basis für [mm] $\{v_1,\ldots,v_5\}$.
[/mm]
Teilaufgabe ii)
Diese Aufgabe irritiert mich etwas, weil die vier oben gefundenen Vektoren sowieso schon eine Basis für [mm] \IR^4 [/mm] bilden. Wir haben gesehen, dass sie linear unabhängig sind. Wenn ich einen Vektor [mm] $\vektor{b_1\\b_2\\b_3\\b_4} \in \IR^4$ [/mm] mit ihnen erzeugen will, kann ich das lineare Gleichungssystem
[mm] $a_1+3a_2+a_3+a_4=b_1$
[/mm]
[mm] $a_2-a_3+a_4=b_2$
[/mm]
[mm] $a_1+2a_2+a_3=b_3$
[/mm]
[mm] $2a_1+a_2-2a_3+a_4=b_4$
[/mm]
aufstellen, welches die Lösung
[mm] $a_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*b_1-b_2-\bruch{1}{2}*b_3+\bruch{1}{2}*b_4$
[/mm]
[mm] $a_2 [/mm] = [mm] -\bruch{3}{4}*b_1+b_2+\bruch{5}{4}*b_3-\bruch{1}{4}*b_4$
[/mm]
[mm] $a_3 [/mm] = [mm] b_1-b_2-b_3$
[/mm]
[mm] $a_4 [/mm] = [mm] \bruch{7}{4}*b_1-b_2-\bruch{9}{4}*b_3+\bruch{1}{4}*b_4$
[/mm]
hat. Jeder Vektor in [mm] \IR^4 [/mm] kann also erzeugt werden mithilfe der vier o.g. Vektoren. Da diese auch linear unabhängig sind, bilden sie also eine Basis für [mm] \IR^4. [/mm] Ist die Aufgabe, dass man diese Basis erweitern muss, dann eine Art "Fangfrage"? Normalerweise kriegen wir sowas nämlich nicht.
Vielen Dank für jede Hilfe :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:39 Mi 15.10.2014 | | Autor: | MacMath |
Der Rang der Matrix kann höchstens 5 sein, also gibt es sicher einen Vektor, der durch die anderen ausgedrückt werden kann.
Deine LK für v5 ist korrekt, der Rang der Matrix ist auch 4, also stimme ich zu ;)
Gut!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:49 Mi 15.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo MacMath,
> Der Rang der Matrix kann höchstens 5 sein,
es geht genauer:
Als $4 [mm] \times [/mm] 5$-Matrix kann der Rang der Matrix höchstens
[mm] $\min\{4,\;5\}=\red{\,4\,}$
[/mm]
sein! Vielleicht war das aber auch nur ein Vertipper...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:21 Di 21.10.2014 | | Autor: | MacMath |
> Hallo MacMath,
>
> > Der Rang der Matrix kann höchstens 5 sein,
>
> es geht genauer:
> Als [mm]4 \times 5[/mm]-Matrix kann der Rang der Matrix höchstens
>
> [mm]\min\{4,\;5\}=\red{\,4\,}[/mm]
>
> sein! Vielleicht war das aber auch nur ein Vertipper...
>
Ja, sonst macht die Aussage, dass mindestens ein Vektor LK der anderen ist, doch keinen Sinn ;)
Danke und Gruß
Daniel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 Mi 15.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich kontrolliere nur mal gerade eines Deiner Zwischenergebnisse:
> Seien
>
> [mm]v_1 = \vektor{1\\0\\1\\2}, v_2 = \vektor{3\\1\\2\\1}, v_2 = \vektor{1\\-1\\1\\-2}, v_4 = \vektor{1\\1\\0\\1}, v_5 = \vektor{5\\2\\3\\4}[/mm]
>
> i) Bestimme eine Basis für [mm][/mm].
> ii) Erweitere die in i) gefundene Basis zu einer Basis
> für [mm]\IR^4.[/mm]
> Hallo an alle :)
>
> Ich würde mich freuen, wenn jemand das Folgenden mal
> nachschauen und mir Tipps geben könnte, wenn ich Fehler
> gemacht habe.
>
> Teilaufgabe i)
> Ich habe erst geschaut, ob die fünf Vektoren linear
> unabhängig sind. D.h. ich muss zeigen, dass in der
> Gleichung
>
> [mm]a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4+a_5v_5=0[/mm]
>
> für alle [mm]a_i \in \IR[/mm] diese [mm]a_i[/mm] null sind. Ich kann also
> das folgende Gleichungssystem aufstellen:
>
> [mm]a_1+3a_2+a_3+a_4+5a_5=0[/mm]
> [mm]a_2-a_3+a_4+2a_5=0[/mm]
> [mm]a_1+2a_2+a_3+3a_5=0[/mm]
> [mm]2a_1+a_2-2a_3+a_4+4a_5=0[/mm]
>
> Wegen des langen Rechenweges erspare ich mir die Schreib-
> und euch die Lesearbeit. Ich habe die Lösung (dieses
> Gleichungssystems) aber schon kontrollieren lassen, daher
> ist das folgende Gleichungssystem wohl richtig:
>
> [mm]a_1+a_5=0[/mm]
> [mm]a_2+a_5=0[/mm]
> [mm]a_3=0[/mm]
> [mm]a_4+a_5=0[/mm]
>
> Hieraus folgt also, dass
>
> [mm]a_1 = -a_5[/mm]
> [mm]a_2=-a_5[/mm]
> [mm]a_3=0[/mm]
> [mm]a_4=-a_5[/mm]
>
> Ich kann also [mm]a_5[/mm] frei wählen, in diesem Fall habe ich [mm]a_5 = -1[/mm]
> gewählt. Wir erhalten also:
>
> [mm]a_1=1[/mm]
> [mm]a_2=1[/mm]
> [mm]a_3=0[/mm]
> [mm]a_4=1[/mm]
> [mm]a_5=-1[/mm]
>
> Wenn wir diese Werte in die o.g. Gleichung einsetzen,
> erhalten wir
>
> [mm]1*v_1+1*v_2+0*v_3+1*v_4-v_5=0[/mm]
>
> Wir können also den Vektor [mm]v_5[/mm] schreiben als
> Linearkombination der anderen vier Vektoren:
>
> [mm]v_5=v_1+v_2+0*v_3+v_4[/mm]
>
> Die Vektoren [mm]v_1[/mm] bis [mm]v_4[/mm] sind also potenziell Kandidaten
> für eine Basis von [mm]\{v_1,\ldots,v_5\}[/mm]. Wenn wir wie oben
> überprüfen, ob sie linear unabhängig sind, finden wir,
> dass sie es sind (auch hier lass ich das mal weg, wenn das
> ok ist, weil ich sicher bin, dass das richtig ist). Sie
> sind auch ein Erzeugendensystem, weil - wie wir gesehen
> haben - jeder der fünf Vektoren erzeugt werden kann als
> Linearkombination der anderen vier. Die vier Vektoren
>
> [mm]v_1 = \vektor{1\\0\\1\\2}, v_2 = \vektor{3\\1\\2\\1}, v_2 = \vektor{1\\-1\\1\\-2}, v_4 = \vektor{1\\1\\0\\1}[/mm]
>
> sind also eine Basis für [mm]\{v_1,\ldots,v_5\}[/mm].
ich prüfe das, indem ich die entsprechende $4 [mm] \times [/mm] 4$-Matrix mit diesen 4 Spaltenvektoren
bilde und mir die zugehörige Determinante anschaue:
![[]](/images/popup.gif) Ergebnis: "Die Determinante dieser 4x4-Matrix ist -4"
Das Ergebnis, dass diese 4 Spaltenvektor linear unabhängig sind, stimmt
also schonmal, da die Determinante [mm] $\not=0$ [/mm] ist. 
> Teilaufgabe ii)
> Diese Aufgabe irritiert mich etwas, weil die vier oben
> gefundenen Vektoren sowieso schon eine Basis für [mm]\IR^4[/mm]
> bilden. Wir haben gesehen, dass sie linear unabhängig
> sind. Wenn ich einen Vektor [mm]\vektor{b_1\\b_2\\b_3\\b_4} \in \IR^4[/mm]
> mit ihnen erzeugen will, kann ich das lineare
> Gleichungssystem
>
> [mm]a_1+3a_2+a_3+a_4=b_1[/mm]
> [mm]a_2-a_3+a_4=b_2[/mm]
> [mm]a_1+2a_2+a_3=b_3[/mm]
> [mm]2a_1+a_2-2a_3+a_4=b_4[/mm]
>
> aufstellen, welches die Lösung
>
> [mm]a_1 = \bruch{1}{2}*b_1-b_2-\bruch{1}{2}*b_3+\bruch{1}{2}*b_4[/mm]
>
> [mm]a_2 = -\bruch{3}{4}*b_1+b_2+\bruch{5}{4}*b_3-\bruch{1}{4}*b_4[/mm]
>
> [mm]a_3 = b_1-b_2-b_3[/mm]
> [mm]a_4 = \bruch{7}{4}*b_1-b_2-\bruch{9}{4}*b_3+\bruch{1}{4}*b_4[/mm]
>
> hat. Jeder Vektor in [mm]\IR^4[/mm] kann also erzeugt werden
> mithilfe der vier o.g. Vektoren. Da diese auch linear
> unabhängig sind, bilden sie also eine Basis für [mm]\IR^4.[/mm]
> Ist die Aufgabe, dass man diese Basis erweitern muss, dann
> eine Art "Fangfrage"? Normalerweise kriegen wir sowas
> nämlich nicht.
Es kann natürlich sein, dass das so nicht geplant war, und der Aufgabensteller
sich verrechnet hat. Oder das irgendwo Vorzeichen falsch abgeschrieben
worden sind.
Es kann aber auch einfach sein, dass ihr einfach erkennen sollt, wann ihr,
wenn ihr eine Aufgabe lösen sollt, schon fertig seid, auch, wenn da
ursprünglich mal mehr verlangt wurde - d.h., der Schein, dass Du hier noch
mehr tun musst, auch erkannt wird.
D.h. der Sinn der Zusatzaufgabe könnte es sein, dass ihr nur darauf hin
geschult werdet, zu erkennen, dass sich aus den vorigen Ergebnissen
ergibt, dass da nichts mehr zu tun ist.
P.S. Ich stelle mal auf halb beantwortet, da Du sicher auch gerne mal die
einzelnen Rechnungen kontrolliert haben willst.
Gruß,
Marcel
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