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| Aufgabe | Sei $U = [mm] \{f \in P_3(\IR) | f''(0)+f(1)=0\}$.
[/mm]
i) Zeige, dass $U$ ein Vektorraum ist.
ii) Gib eine Basis für $U$. Was ist $dim(U)$? |
Hallo, aus irgendeinem Grund tue ich mich mit dieser Aufgabe schwer. Ich stehe im Moment, glaub ich, auf dem Schlauch.
Teilaufgabe i)
Da [mm] P_3(\IR) [/mm] ein Vektorraum ist, kann ich hier die Unterraumkriterien überprüfen, um zu schauen, ob $U$ ein Vektorraum ist.
Das Nullelement ist in $U$ enthalten (die Nullfunktion).
Wenn ich zwei Funktionen $f, g [mm] \in [/mm] U$ nehme und addiere, erhalte ich
$ (f''(0)+f(1))+(g''(0)+g(1)) = (f''(0)+g''(0))+(f(1)+g(1))=0$
$f''(0)+g''(0)$ hat maximal Grad 1 [mm] (x^1) [/mm] und $f(1)+g(1)$ max. Grad 3 [mm] (x^3). [/mm] Die resultierende Funktion ist also in $U$.
Wenn ich eine Funktion $f [mm] \in [/mm] U$ und eine Zahl $a [mm] \in \IR$ [/mm] multipliziere, kriege ich
$ a*(f''(0)+f(1)) = a*f''(0)+a*f(1)=0$
Diese neue Funktion ist also auch in $U$. Daher ist $U$ ein Vektorraum. Ist das so richtig? :/
Teilaufgabe ii)
Wir wissen, dass eine Basis von [mm] P_3(\IR) [/mm] aus den Monomen
[mm] $\{1, x, x^2, x^3\}$
[/mm]
besteht. Aber irgendwie komm ich jetzt nicht weiter. Ich glaube, das liegt an der Definition von $U$.
Es würde mich freuen, wenn jemand mir hierbei helfen und die erste Aufgabe nachschauen könnte :)
Liebe Grüße.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:15 Do 16.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]U = \{f \in P_3(\IR) | f''(0)+f(1)=0\}[/mm].
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> i) Zeige, dass [mm]U[/mm] ein Vektorraum ist.
> ii) Gib eine Basis für [mm]U[/mm]. Was ist [mm]dim(U)[/mm]?
> Hallo, aus irgendeinem Grund tue ich mich mit dieser
> Aufgabe schwer. Ich stehe im Moment, glaub ich, auf dem
> Schlauch.
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> Teilaufgabe i)
> Da [mm]P_3(\IR)[/mm] ein Vektorraum ist, kann ich hier die
> Unterraumkriterien überprüfen, um zu schauen, ob [mm]U[/mm] ein
> Vektorraum ist.
>
> Das Nullelement ist in [mm]U[/mm] enthalten (die Nullfunktion).
>
> Wenn ich zwei Funktionen [mm]f, g \in U[/mm] nehme und addiere,
> erhalte ich
>
> [mm](f''(0)+f(1))+(g''(0)+g(1)) = (f''(0)+g''(0))+(f(1)+g(1))=0[/mm]
>
> [mm]f''(0)+g''(0)[/mm] hat maximal Grad 1 [mm](x^1)[/mm] und [mm]f(1)+g(1)[/mm] max.
> Grad 3 [mm](x^3).[/mm] Die resultierende Funktion ist also in [mm]U[/mm].
>
> Wenn ich eine Funktion [mm]f \in U[/mm] und eine Zahl [mm]a \in \IR[/mm]
> multipliziere, kriege ich
>
> [mm]a*(f''(0)+f(1)) = a*f''(0)+a*f(1)=0[/mm]
>
> Diese neue Funktion ist also auch in [mm]U[/mm]. Daher ist [mm]U[/mm] ein
> Vektorraum. Ist das so richtig? :/
Ja.
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> Teilaufgabe ii)
> Wir wissen, dass eine Basis von [mm]P_3(\IR)[/mm] aus den Monomen
>
> [mm]\{1, x, x^2, x^3\}[/mm]
>
> besteht. Aber irgendwie komm ich jetzt nicht weiter. Ich
> glaube, das liegt an der Definition von [mm]U[/mm].
>
> Es würde mich freuen, wenn jemand mir hierbei helfen und
> die erste Aufgabe nachschauen könnte :)
Definiere die Abbildung [mm] T:P_3(\IR) \to \IR [/mm] durch
$T(f):=f''(0)+f(1)$
Dann ist T linear.
Zeige : $Kern(T)=U$
Verwende den Rangsatz, um zu sehen: $dimU=3$
Für eine Basis von U mache den Ansatz
(*) (x-1), [mm] (x-1)^2+a, (x-1)^3+b.
[/mm]
Bestimme also a und b so, dass die Polynome in (*) in U liegen.
Begründe dann , dass die Polynome in (*) linear unabhängig sind.
FRED
>
> Liebe Grüße.
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Hallo,
> > Teilaufgabe ii)
> > Wir wissen, dass eine Basis von [mm]P_3(\IR)[/mm] aus den
> Monomen
> >
> > [mm]\{1, x, x^2, x^3\}[/mm]
> >
> > besteht. Aber irgendwie komm ich jetzt nicht weiter. Ich
> > glaube, das liegt an der Definition von [mm]U[/mm].
> >
> > Es würde mich freuen, wenn jemand mir hierbei helfen und
> > die erste Aufgabe nachschauen könnte :)
>
> Definiere die Abbildung [mm]T:P_3(\IR) \to \IR[/mm] durch
>
> [mm]T(f):=f''(0)+f(1)[/mm]
>
> Dann ist T linear.
>
> Zeige : [mm]Kern(T)=U[/mm]
Also, $Ker(T)$ ist in diesem Fall ja
$ Ker(T) = [mm] \{f \ in P_3(\IR) | f''(0)+f(1)=0\} [/mm] $,
was ja die Definition von $U$ selber ist. Muss ich dann noch mehr nachweisen?
Ich hab dann mal so weitergemacht: Für den Kern muss also gelten, dass
$ f''(0)+f(1)=0$.
Da [mm] $f(x)=a+bx+cx^2+dx^3$ [/mm] und
$ f''(x) = 2c+6dx$
für $a,b,c,d [mm] \in \IR$, [/mm] ist die Gleichung oben also
$ 2c+a+b+c+d=0=a+b+3c+d$.
Ich kann also z.B. sagen
$ a = -b-3c-d$
$ b = [mm] \text{frei wählbar}$
[/mm]
$ c = [mm] \text{frei wählbar}$
[/mm]
$ d = [mm] \text{frei wählbar}$
[/mm]
Das kann ich dann so aufschreiben:
$ [mm] a+bx+cx^2+dx^3=(x-1)b+(x^2-3)c+(x^3-1)d [/mm] $
Eine Basis für $Ker(T)$ ist also
$ [mm] \{(x-1),(x^2-3), (x^3-1)\}$,
[/mm]
zumal diese Elemente linear unabhängig sind, oder? Und da $Ker(T) = U$, ist das auch eine Basis für $U$. Ist das auch möglich, alternativ zu deiner vorgeschlagenen Lösung unten?
>
> Verwende den Rangsatz, um zu sehen: [mm]dimU=3[/mm]
>
> Für eine Basis von U mache den Ansatz
>
> (*) (x-1), [mm](x-1)^2+a, (x-1)^3+b.[/mm]
>
> Bestimme also a und b so, dass die Polynome in (*) in U
> liegen.
>
> Begründe dann , dass die Polynome in (*) linear
> unabhängig sind.
>
> FRED
> >
> > Liebe Grüße.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Fr 17.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
> Hallo,
>
> > > Teilaufgabe ii)
> > > Wir wissen, dass eine Basis von [mm]P_3(\IR)[/mm] aus den
> > Monomen
> > >
> > > [mm]\{1, x, x^2, x^3\}[/mm]
> > >
> > > besteht. Aber irgendwie komm ich jetzt nicht weiter. Ich
> > > glaube, das liegt an der Definition von [mm]U[/mm].
> > >
> > > Es würde mich freuen, wenn jemand mir hierbei helfen und
> > > die erste Aufgabe nachschauen könnte :)
> >
> > Definiere die Abbildung [mm]T:P_3(\IR) \to \IR[/mm] durch
> >
> > [mm]T(f):=f''(0)+f(1)[/mm]
> >
> > Dann ist T linear.
> >
> > Zeige : [mm]Kern(T)=U[/mm]
>
> Also, [mm]Ker(T)[/mm] ist in diesem Fall ja
>
> [mm]Ker(T) = \{f \ in P_3(\IR) | f''(0)+f(1)=0\} [/mm],
>
> was ja die Definition von [mm]U[/mm] selber ist. Muss ich dann noch
> mehr nachweisen?
>
> Ich hab dann mal so weitergemacht: Für den Kern muss also
> gelten, dass
>
> [mm]f''(0)+f(1)=0[/mm].
>
> Da [mm]f(x)=a+bx+cx^2+dx^3[/mm] und
> [mm]f''(x) = 2c+6dx[/mm]
>
> für [mm]a,b,c,d \in \IR[/mm], ist die Gleichung oben also
>
> [mm]2c+a+b+c+d=0=a+b+3c+d[/mm].
>
> Ich kann also z.B. sagen
>
> [mm]a = -b-3c-d[/mm]
> [mm]b = \text{frei wählbar}[/mm]
> [mm]c = \text{frei wählbar}[/mm]
>
> [mm]d = \text{frei wählbar}[/mm]
>
> Das kann ich dann so aufschreiben:
>
> [mm]a+bx+cx^2+dx^3=(x-1)b+(x^2-3)c+(x^3-1)d[/mm]
>
> Eine Basis für [mm]Ker(T)[/mm] ist also
>
> [mm]\{(x-1),(x^2-3), (x^3-1)\}[/mm],
Ja
>
> zumal diese Elemente linear unabhängig sind, oder? Und da
> [mm]Ker(T) = U[/mm], ist das auch eine Basis für [mm]U[/mm]. Ist das auch
> möglich, alternativ zu deiner vorgeschlagenen Lösung
> unten?
Ja. Die lineare Unabhängigkeit braucht man hier nicht explizit nachrechnen, da aus Dimensionsgründen [mm]\{(x-1),(x^2-3), (x^3-1)\}[/mm] eine Basis sein muss (schließlich ist das ein Erzeugendensystem von U, wie aus deiner Rechnung deutlich wird und es ist dim(U)=3).
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> >
> > Verwende den Rangsatz, um zu sehen: [mm]dimU=3[/mm]
> >
> > Für eine Basis von U mache den Ansatz
> >
> > (*) (x-1), [mm](x-1)^2+a, (x-1)^3+b.[/mm]
> >
> > Bestimme also a und b so, dass die Polynome in (*) in U
> > liegen.
> >
> > Begründe dann , dass die Polynome in (*) linear
> > unabhängig sind.
> >
> > FRED
> > >
> > > Liebe Grüße.
> >
>
Liebe Grüße
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