Basis konstruieren < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 Di 18.03.2014 | | Autor: | Boastii |
| Aufgabe | Man konstruiere für die folgenden [mm] \mathbb R [/mm]-Vektorräumen jeweils eine Basis:
[mm] U_1 = {x_1,x_2,x_3 \in \mathbb R | x_1 +x_2 -x_3 =0} [/mm]
[mm] U_2 = {x_1,x_2,x_3,x_4 \in \mathbb R | x_1 +x_2 +3x_3 =0 , x_1+x_2+x_4 =0}[/mm] |
Hallo ihr lieben,
Also ich weiß wie man Vektoren zu einer Basis erweitert, ich weiß wie man überprüft ob es sich um eine Basis handelt.
Nur habe ich einige Probleme mit solchen Vektorräumen, die wie oben angegeben sind. Denn ich denke mir, da wir hier im [mm] \mathbb R^3 [/mm] (bei [mm] U_1 [/mm] ) sind, dass ich 3 Basisvektoren brauche, so dass diese ein Erzeugendensystem des [mm] \mathbb R^3 [/mm] sind.
Nun aber habe ich in den Lösungen gesehen, das bei [mm] U_1 [/mm] nur 2 Vektoren eine Basis bilden und diese dann natürlich eine Ebene aufspannen, also ein Unterraum des [mm] \mathbb R^3 [/mm] darstellen.
Es ist klar, dass es sich bei [mm] U_1 [/mm] um
[mm] a= \vektor{1 \\ -1 \\ 0} , b= \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] um die beiden Basisvektoren handelt.
Nun ist meine Frage, woran erkenne ich, wie viele Basisvektoren ich suchen muss? Also ich würde hier jetzt denken ich müsste bei U1 3 Vektoren suchen und bei U2 4 Vektoren. Erkenne ich das nur daran, dass ich nur 2 (bei U1) finde, die überhaupt als Basis in Frage kommen? Oder muss ich die Bedingung hinter U1 so umformen, so dass es sofort ersichtlich ist?
Kurz woran erkennt man die Dimension eines Vektorraums?
Mfg Boastii
Würde mich über Eure Hilfe sehr freuen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:06 Di 18.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Man konstruiere für die folgenden [mm]\mathbb R [/mm]-Vektorräumen
> jeweils eine Basis:
>
> [mm]U_1 = {x_1,x_2,x_3 \in \mathbb R | x_1 +x_2 -x_3 =0} [/mm]
> [mm]U_2 = {x_1,x_2,x_3,x_4 \in \mathbb R | x_1 +x_2 +3x_3 =0 , x_1+x_2+x_4 =0}[/mm]
>
> Hallo ihr lieben,
> Also ich weiß wie man Vektoren zu einer Basis erweitert,
> ich weiß wie man überprüft ob es sich um eine Basis
> handelt.
> Nur habe ich einige Probleme mit solchen Vektorräumen, die
> wie oben angegeben sind. Denn ich denke mir, da wir hier im
> [mm]\mathbb R^3[/mm] (bei [mm]U_1[/mm] ) sind, dass ich 3 Basisvektoren
> brauche, so dass diese ein Erzeugendensystem des [mm]\mathbb R^3[/mm]
> sind.
Aber nicht für [mm] U_1. U_1 [/mm] ist eine Ebene im [mm] \IR^2. [/mm] Dmit ist [mm] dim(U_1)=2.
[/mm]
>
> Nun aber habe ich in den Lösungen gesehen, das bei [mm]U_1[/mm]
> nur 2 Vektoren eine Basis bilden und diese dann natürlich
> eine Ebene aufspannen, also ein Unterraum des [mm]\mathbb R^3[/mm]
> darstellen.
>
> Es ist klar, dass es sich bei [mm]U_1[/mm] um
> [mm]a= \vektor{1 \\ -1 \\ 0} , b= \vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm] um die
> beiden Basisvektoren handelt.
Eine Basis eines Unteraumes ist nicht eindeutig bestimmt ! [mm] \{a,b\} [/mm] ist eine Basis von [mm] U_1.
[/mm]
>
> Nun ist meine Frage, woran erkenne ich, wie viele
> Basisvektoren ich suchen muss? Also ich würde hier jetzt
> denken ich müsste bei U1 3 Vektoren suchen
Nein. Nochmal: [mm] dim(U_1)=2.
[/mm]
> und bei U2 4
Nein.
> Vektoren. Erkenne ich das nur daran, dass ich nur 2 (bei
> U1) finde, die überhaupt als Basis in Frage kommen? Oder
> muss ich die Bedingung hinter U1 so umformen, so dass es
> sofort ersichtlich ist?
> Kurz woran erkennt man die Dimension eines Vektorraums?
Rechnen !
Zu [mm] U_2. [/mm] Berechen die allgemeine Lösung des LGS
[mm] x_1 +x_2 +3x_3 [/mm] =0
[mm] x_1+x_2+x_4 [/mm] =0.
Dann wirst Du sehen: es gibt linear unabhängige u,v [mm] \in \IR^4 [/mm] mit
[mm] U_2=\{t*u+s*v: t,s \in \IR\}.
[/mm]
Damit ist [mm] \{u,v\} [/mm] eine Basis von [mm] U_2.
[/mm]
FRED
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> Mfg Boastii
> Würde mich über Eure Hilfe sehr freuen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:14 Di 18.03.2014 | | Autor: | Boastii |
Danke Fred97 für deine Antwort.
Mir war klar, dass mein denken so falsch ist. Ich wollte nur damit klar machen, wie ich das ganze verstehe.
> Eine Basis eines Unteraumes ist nicht eindeutig bestimmt !
> [mm]\{a,b\}[/mm] ist eine Basis von [mm]U_1.[/mm]
Ach stimmt ja :). Total vergessen.
Danke soweit für deine Hilfe.
MfG Boastii
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 Di 18.03.2014 | | Autor: | Boastii |
Also ich habe jetzt was probiert was mir irgendwie logisch und "richtig" vorkommt:
Ich habe es mit der Bedingung hinter U1 probiert:
[mm] x_1 +x_2 -x_3 =0 |+x_3 -x_2 [/mm]
[mm] x_1 = x_3 -x_2 [/mm]
Nun ist die Belegung der Vektoren nur noch von 2 Einträgen abhängig [mm] x_3 , x_2 [/mm]. Wenn man nun erst [mm] x_3 =0 , x_2 =1 [/mm] und dann [mm] x_3=1, x_2 =0 [/mm]. Und damit komme ich dann sofort auch auf die beiden Basis Vektoren.
Bei U2:
Ich formuliere die beiden Bedingung so um, dass sie nur noch von [mm] x_1 ,x_2 [/mm] abhängig sind:
[mm] x_3= -\frac{1}{3}(x_1+x_2) [/mm]
[mm] x_4= -(x_1+x_2) [/mm]
So bekomme ich auch wieder nur 2 Vektoren:
wieder für [mm] x_1=0, x_2 = 1 [/mm] und für [mm] x_1=1, x_2=0 [/mm]
[mm] a=\vektor{0 \\ 1 \\ -\frac{1}{3} \\ -1} [/mm]
[mm] b=\vektor{1 \\ 0 \\ -\frac{1}{3} \\ -1}[/mm]
da habe ich wieder nur zwei Vektoren, dh. die Dimension ist hier auch 2 und wieder eine Ebene im [mm] \mathbb R^4 [/mm]?
wäre dieses Vorgehen so richtig? :)
MfG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 Di 18.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Also ich habe jetzt was probiert was mir irgendwie logisch
> und "richtig" vorkommt:
>
> Ich habe es mit der Bedingung hinter U1 probiert:
>
> [mm]x_1 +x_2 -x_3 =0 |+x_3 -x_2[/mm]
> [mm]x_1 = x_3 -x_2[/mm]
>
> Nun ist die Belegung der Vektoren nur noch von 2 Einträgen
> abhängig [mm]x_3 , x_2 [/mm]. Wenn man nun erst [mm]x_3 =0 , x_2 =1[/mm] und
> dann [mm]x_3=1, x_2 =0 [/mm]. Und damit komme ich dann sofort auch
> auf die beiden Basis Vektoren.
>
> Bei U2:
>
> Ich formuliere die beiden Bedingung so um, dass sie nur
> noch von [mm]x_1 ,x_2[/mm] abhängig sind:
>
> [mm]x_3= -\frac{1}{3}(x_1+x_2)[/mm]
> [mm]x_4= -(x_1+x_2)[/mm]
>
> So bekomme ich auch wieder nur 2 Vektoren:
> wieder für [mm]x_1=0, x_2 = 1[/mm] und für [mm]x_1=1, x_2=0[/mm]
> [mm]a=\vektor{0 \\ 1 \\ -\frac{1}{3} \\ -1}[/mm]
> [mm]b=\vektor{1 \\ 0 \\ -\frac{1}{3} \\ -1}[/mm]
>
> da habe ich wieder nur zwei Vektoren, dh. die Dimension ist
> hier auch 2
Alles richtig.
> und wieder eine Ebene im [mm]\mathbb R^4 [/mm]?
Nein. Ebene nennt man das nicht. [mm] U_2 [/mm] ist der Schnitt zweier Hyperebenen.
(Ist V ein n-dimensionaler Vektorraum und U ein (n-1)- dimensionaler Unterraum von V, so heißt U eine Hyperebene in V)
FRED
> wäre dieses Vorgehen so richtig? :)
>
> MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:34 Di 18.03.2014 | | Autor: | Boastii |
Alles klar, vielen Dank für deine Hilfe.
Schönen Tag wünsche ich noch :)
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