Basis orthogonales Komplement < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 So 11.02.2007 | | Autor: | schabby |
| Aufgabe | Die folgenden Vektoren erzeugen einen Unterraum U im [mm]R^4[/mm].
[mm]s_1 = (1, 0, 3, -2)^T \quad
s_2 = (-1, 2, -6, 3)^T \quad
s_3 = (2, 10, -9, 1)^T \quad
s_4 = (3, 10, -6, -1)^T[/mm]
a) Welche Dimension hat der Raum U?
b) Bestimmen sie eine Basis von U.
c) Welche Dimension hat das orthogonale Komplement [mm] U^\bot[/mm] ?
d) Bestimmen Sie eine Basis von [mm]U^\bot[/mm] . |
Aufgabe a) und b) habe ich noch hinbekommen.
Die Dimension eines Raumes U ist ja immer die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren.
Wenn man [mm] \begin{vmatrix}
1 & 0 & 3 & -2 \\
-1 & 2 & -6 & 3 \\
2 & 10 & -9 & 1 \\
3 & 10 & -6 & -1
\end{vmatrix} [/mm] gleich Null setzt bin ich nach Gauß auf 2 linear unabhängige Vektoren gekommen, [mm] s_3 [/mm] und [mm] s_4 [/mm] ergeben sich aus Linearkombination von [mm] s_1 [/mm] und [mm] s_2.
[/mm]
Also hat der Raum U die Dimension 2.
Zu Aufgabe b)
Als Basis habe ich dann einfach [mm] s_1 [/mm] und [mm] s_2 [/mm] genommen, da sich die anderen beiden aus eben diesen ergeben.
Also ist die Basis von U = [mm] {s_1, s_2}
[/mm]
Nun aber zu meiner Frage:
Wie bekomme ich die Dimension des orthogonalen Komplements bzw. dessen Basis? Orthogonal bedeutet ja, dass die beiden senkrecht aufeinander stehen. Doch wie erreiche ich dies?
Und: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:06 Mo 12.02.2007 | | Autor: | Riley |
Hi Shabby,
du hast also als Basis von [mm] U=Lin\{s_1, s_2 \} [/mm] (hab das jetzt nicht nachgerechnet), das orthogonale Komplement ist nun so definiert:
[mm] U^\bot [/mm] = [mm] \{y | \beta(x,y)= 0 \forall x \in U\}
[/mm]
sorry, ich hoff ich bring dich mit den bezeichnungen nicht durcheinander, weiß nicht wie ihr das gelernt habt.
Ich denk ihr sollt das euklidische Skalarprodukt nehmen, oder?
Dann kannst du jetzt einfach [mm] s_1 [/mm] und [mm] s_2 [/mm] für x einsetzen und erhälst ein LGS ( mit y=(a b c [mm] d)^T [/mm] ):
a + 3c - 2d = 0
-a + 2b - 6c + 3d =0
Die Lösung des LGS bildet dann die gesuchte basis.
Wenn ich mich auf die schnelle nicht verrechnet hab, müssten dann die Fundamentallösungen das hier sein:
[mm] U^\bot [/mm] = Lin [mm] \{ (2, - \frac{1}{2}, 0, 1 )^T , ( 1, 0, 3, -2)^T \}
[/mm]
z.B. gilt dann wie gewünscht [mm] \beta( \vektor{2 \\ -\frac{1}{2} \\0 \\ 1} [/mm] , [mm] s_1) [/mm] = 0.
insbesondere gilt auch dim(U) + [mm] dim(U^\bot) [/mm] = dim(V), also 2+2=4.
viele grüße
riley
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