Basis und Dim eines Vektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:22 Sa 25.02.2012 | | Autor: | Infoandi |
| Aufgabe | Man gebe eine Basis folgender Vektorräume an und bestimme die Dimension:
[mm] \{(x_{1}, x_{2}, x_{3}) \in \IR^{3}| x_{3} = x_{1}\} [/mm] |
Guten Tag,
leider weiß ich nicht wie ich hier die Basis herausinterpretieren kann. Normal hab ich ja immer paar Vektoren gegeben da berechne ich die lockerflockig mit einem LGS, aber hier hab ich ja nur ein Vektor [mm] \vektor{1x_{1} \\ 1x_{2} \\ 1x_{1}} [/mm] Wie geh ich hier vor ?
Moment oder sind das 3 Vektoren ? :S
[mm] \vec{x_{1}}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vec{x_{2}}=\vektor{0 \\ 1 \\ 1}, \vec{x_{3}}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
z.b
danke im voraus,
andi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:38 Sa 25.02.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Man gebe eine Basis folgender Vektorräume an und bestimme
> die Dimension:
>
> [mm]\{(x_{1}, x_{2}, x_{3}) \in \IR^{3}| x_{3} = x_{1}\}[/mm]
>
das ist die Menge aller Vektoren [mm]\vektor{x_1\\
x_2 \\
x_3}\in\IR^3[/mm], für die gilt [mm]x_3=x_1[/mm]. Welche Form haben also diese Vektoren? Die Vektoren sehen doch so aus: [mm]\vektor{x_1\\
x_2 \\
x_1}[/mm]. Alle Vektoren aus der Menge lassen sich demnach darstellen mittels: [mm]a*\vektor{1\\
0 \\
1}+b*\vektor{0\\
1 \\
0}, \ \ a,b\in\IR[/mm].
> Guten Tag,
>
> leider weiß ich nicht wie ich hier die Basis
> herausinterpretieren kann. Normal hab ich ja immer paar
> Vektoren gegeben da berechne ich die lockerflockig mit
> einem LGS, aber hier hab ich ja nur ein Vektor
> [mm]\vektor{1x_{1} \\
1x_{2} \\
1x_{1}}[/mm] Wie geh ich hier vor ?
>
> Moment oder sind das 3 Vektoren ? :S
>
> [mm]\vec{x_{1}}=\vektor{1 \\
1 \\
1}, \vec{x_{2}}=\vektor{0 \\
1 \\
1}, \vec{x_{3}}=\vektor{1 \\
1 \\
1}[/mm]
>
> z.b
>
>
> danke im voraus,
> andi
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Sa 25.02.2012 | | Autor: | Infoandi |
hallo barsch, danke für die schnelle antwort,
ist bei [mm] \{(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}) \in \IR^{5}| x_{3} = x_{4} = x_{5}\}
[/mm]
dann a * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + b * [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + c * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
bzw sind das dann die 3 Basen ? Und ist die Dim dann = 3 ?
Und bei der ersten Aufgabe waren es 2 Basen und somit dim = 2 ?
danke gruß andi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Sa 25.02.2012 | | Autor: | barsch |
Hi,
> hallo barsch, danke für die schnelle antwort,
> ist bei [mm]\{(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}) \in \IR^{5}| x_{3} = x_{4} = x_{5}\}[/mm]
>
> dann a * [mm]\vektor{1 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0}[/mm] + b * [mm]\vektor{0 \\
1 \\
0 \\
0 \\
0}[/mm] + c * [mm]\vektor{0 \\
0 \\
1 \\
1 \\
1}[/mm]
mit Hilfe dieser Darstellung kannst du alle Vektoren der Form [mm](x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{3}, x_{3}) [/mm] erzeugen.
> bzw sind das dann die 3 Basen? Und ist die Dim dann = 3 ?
Das ist eine Basis mit 3 Elementen! Da [mm]\left \{\vektor{1 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0},\vektor{0 \\
1 \\
0 \\
0 \\
0},\vektor{0 \\
0 \\
1 \\
1 \\
1} \right \}[/mm] das kleinste Erzeugendensystem ist, das den UVR erzeugt, ist es eine Basis des UVR. Die Dimension ist 3, korrekt.
> Und bei der ersten Aufgabe waren es 2 Basen und somit dim = 2 ?
Eine Basis mit 2 Elementen! Die Dimension dieses UVR ist 2.
>
> danke gruß andi
Gruß
barsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 Sa 25.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
vielleicht hast du 3 Basen=Kusinen
aber ein VR hat 3 Basisvektoren und nicht 3 Basen!
aber ausser der Schreibweise ist es richtig.
Gruss leduart
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