Basis und Dimension bestimmen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:54 So 12.01.2014 | | Autor: | Syny |
| Aufgabe | Bestimmen Sie eine Basis und die Dimension der folgenden Vektorraume.
a) Span(v1; v2; v3) wobei v1=(1; 3; 4; 0; 1)T ; v2=(2; 5; 6;-2; 1)T ; v3 = (1; 5; 8; 4; 3)T ;
b)Die Lösungsmenge in [mm] \IR^3 [/mm] von
x+y-z = 0
3x+y+2z=0
2x + 3z = 0
c)
[mm] {(Z,W)\in \IC^2 | Z+iW =0} [/mm] als Vektorraum über [mm] \IC,
[/mm]
d)
[mm] {(Z,W)\in \IC^2| Z+ iW = 0} [/mm] als Vektorraum über [mm] \IR. [/mm] |
Hallo,
und zwar möchte ich mal fragen ob ich bei den Aufgaben richtig gedacht habe.
zu a)
die Basis ist z.B. (1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0),(0,0,1,0,0),(0,0,0,1,0),(0,0,0,0,1).
und hat somit 5 dimensionen
zu b)
da nach lösung des gleichungsystems z=0 -> x=0 -> y=0
eigentlich ja nur der vektor (0,0,0) benötigt um alle darzustellen ist das die basis und dim=1
zu c)
da habe ich gedacht da die werte ja im [mm] \IC^2 [/mm] liegen das die Basis in etwa so etwas sein müsste (1,i) und (i,1) und die dim ist dann 2
zu d)
muss es ja nur im [mm] \IR [/mm] also (1,0) und (0,1) und die dim ist 2
mfg Syny
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Bestimmen Sie eine Basis und die Dimension der folgenden
> Vektorraume.
>
> a) Span(v1; v2; v3) wobei v1=(1; 3; 4; 0; 1)T ; v2=(2; 5;
> 6;-2; 1)T ; v3 = (1; 5; 8; 4; 3)T ;
>
> b)Die Lösungsmenge in [mm]\IR^3[/mm] von
> x+y-z = 0
> 3x+y+2z=0
> 2x + 3z = 0
>
> c)
> [mm]{(Z,W)\in \IC^2 | Z+iW =0}[/mm] als Vektorraum über [mm]\IC,[/mm]
> d)
> [mm]{(Z,W)\in \IC^2| Z+ iW = 0}[/mm] als Vektorraum über [mm]\IR.[/mm]
> Hallo,
>
> und zwar möchte ich mal fragen ob ich bei den Aufgaben
> richtig gedacht habe.
> zu a)
> die Basis ist z.B.
> (1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0),(0,0,1,0,0),(0,0,0,1,0),(0,0,0,0,1).
> und hat somit 5 dimensionen
Nein, das ist eine Basis der [mm] $\IR^5$ [/mm] aber doch nicht des deines Vektorraumes. Prüfe die Vektoren [mm] $v_1,v_2$ [/mm] und [mm] $v_3$ [/mm] auf lineare
Unabhängigkeit. Die Basis besteht aus den linear unabhängigen Vektoren und ich komme hier auf Dimension von 2.
> zu b)
> da nach lösung des gleichungsystems z=0 -> x=0 -> y=0
> eigentlich ja nur der vektor (0,0,0) benötigt um alle
> darzustellen ist das die basis und dim=1
Das Stimmt auch nicht. Was ist mit zum Beispiel $(-3,5,2)$ ? Dir ist wohl beim Lösen ein Fehler unterlaufen.
> zu c)
> da habe ich gedacht da die werte ja im [mm]\IC^2[/mm] liegen das
> die Basis in etwa so etwas sein müsste (1,i) und (i,1) und
> die dim ist dann 2
>
> zu d)
> muss es ja nur im [mm]\IR[/mm] also (1,0) und (0,1) und die dim ist
> 2
Das ist meiner Meinung nach auch nicht richtig aber mach erstmal die a) und b)
>
> mfg Syny
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß helicopter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:56 Mo 13.01.2014 | | Autor: | Syny |
Alles Klar danke dir schonmal für die rückmeldung
also zu a)
habe ich jetzt geguckt ob die lineare abhängigkeit besteht und ja v1 und v2 sind zu v3 linear abhängig also kann man v3 wegnehmen und da v1 und v2 nicht linear abhängig sind sind das meine Basis und damit habe ich eine dim von 2
zu b)
das habe ich nun nochmal nachgerechnet und da diese linear abhängig sind ,kann man diese nicht als Basis verwenden also habe ich auch diese auf lineare Unabängigkeit geprüft und die vektoren [1,3,2] und [1,1,0] sind dies also Basis für aufgabe b und dim dann 2.
Aber die frage ist, ist mit der Basis der Lösungsmenge gemeint wenn die Lösungsmenge jetzt (-3,5,2) ist ist dann die Basis 3 also im Prinzip z.B. [1,0,0] [0,1,0] [0,0,1] ?
mfg syny
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Hallo,
> Alles Klar danke dir schonmal für die rückmeldung
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> also zu a)
> habe ich jetzt geguckt ob die lineare abhängigkeit
> besteht und ja v1 und v2 sind zu v3 linear abhängig also
> kann man v3 wegnehmen und da v1 und v2 nicht linear
> abhängig sind sind das meine Basis und damit habe ich eine
> dim von 2
Ja das ist korrekt.
> zu b)
>
> das habe ich nun nochmal nachgerechnet und da diese linear
> abhängig sind ,kann man diese nicht als Basis verwenden
> also habe ich auch diese auf lineare Unabängigkeit
> geprüft und die vektoren [1,3,2] und [1,1,0] sind dies
> also Basis für aufgabe b und dim dann 2.
Nein du bringst hier etwas durcheinander. Gefragt ist nach der Basis der Lösungsmenge
also alle [mm] $x\in{}\IR^3$ [/mm] mit [mm] $\pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 3}*x=0_v$
[/mm]
Wenn man das LGS löst stellt man fest das [mm] $\vektor{-3\\5\\2}$ [/mm] eine Lösung ist und auch Vielfaches
dieses Vektors. Der Vektorraum wäre also [mm] $span(\vektor{-3\\5\\2})$.
[/mm]
Was ist also die Basis und die Dimension?
> Aber die frage ist, ist mit der Basis der Lösungsmenge
> gemeint wenn die Lösungsmenge jetzt (-3,5,2) ist ist dann
> die Basis 3 also im Prinzip z.B. [1,0,0] [0,1,0] [0,0,1] ?
Wenn das so wäre dann würde jeder Vektor aus [mm] \IR^3 [/mm] auf den Nullvektor abgebildet werden,
das ist also falsch.
> mfg syny
Gruß helicopter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:29 Mo 13.01.2014 | | Autor: | Syny |
ist es dann bei b)
die Basis einfach der Vektor mit [mm] \vektor{-3\\5\\2} [/mm] da ich mit diesem jede vielfache der Lösungsmenge herstellen kann? und damit die Dimension 1 ?
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Hallo,
> ist es dann bei b)
>
> die Basis einfach der Vektor mit [mm]\vektor{-3\\5\\2}[/mm] da ich
> mit diesem jede vielfache der Lösungsmenge herstellen
> kann? und damit die Dimension 1 ?
Jo
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 Mo 13.01.2014 | | Autor: | Syny |
| Aufgabe | > Bestimmen Sie eine Basis und die Dimension der folgenden
> Vektorraume.
>
> c)
> [mm]{(Z,W)\in \IC^2 | Z+iW =0}[/mm] als Vektorraum über [mm]\IC,[/mm]
> d)
> [mm]{(Z,W)\in \IC^2| Z+ iW = 0}[/mm] als Vektorraum über [mm]\IR.[/mm] |
Okay danke für die hilfe
Alles klar dann haben sich ja a und b geklärt. Allerdings habe ich keinen blassen schimmer wie es bei c und d laufen soll.
Habe die Frage nochmal oben gepostet und meinen Ansatz aus dem Startthreat war ja:
> zu c)
> da habe ich gedacht da die werte ja im [mm]\IC[/mm] liegen das
> die Basis in etwa so etwas sein müsste (1,i) und (i,1) und
> die dim ist dann 2
>
> zu d)
> muss es ja nur im [mm]\IR[/mm] also (1,0) und (0,1) und die dim ist
> 2
>
das hat sich ja als vermutlich falsch herausgestellt mich würde mal interessieren wie hier die Vorgehensweise ist.
Danke schonmal im Vorraus
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> > Bestimmen Sie eine Basis und die Dimension der folgenden
> > Vektorraume.
> >
>
> > c)
> > [mm]{(Z,W)\in \IC^2 | Z+iW =0}[/mm] als Vektorraum über [mm]\IC,[/mm]
> > d)
> > [mm]{(Z,W)\in \IC^2| Z+ iW = 0}[/mm] als Vektorraum über [mm]\IR.[/mm]
> Habe die Frage nochmal oben gepostet und meinen Ansatz aus
> dem Startthreat war ja:
>
>
> > zu c)
> > da habe ich gedacht da die werte ja im [mm]\IC[/mm] liegen
Hallo,
ja.
Für die Tupel [mm] (z,w)\in \IC^2
[/mm]
gilt z+iw=0,
also sind in der Menge nur Tupel der Gestalt
(z,w)=(-iw,w)=w*(-i,1) mit [mm] w\in \IC.
[/mm]
> das
> > die Basis in etwa so etwas sein müsste (1,i) und (i,1) und
> > die dim ist dann 2
Das kann nicht sein:
1.
[mm] \IC^2 [/mm] hat als VR über [mm] \IC [/mm] die Dimension 2.
Demnach, was Du sagst, ist die angegebene Menge der [mm] \IC^2 [/mm] selbst.
Das ist aber offenbar nicht der Fall.
Die Dimension des gegebenen Raumes muß also kleiner als 2 sein.
2.
Das zweite Deiner Tupel ist gar nicht in der Menge!
> >
> > zu d)
> > muss es ja nur im [mm]\IR[/mm] also (1,0) und (0,1) und die dim
> ist
> > 2
Schauen wir mal.
In der Menge sind die Tupel [mm] (z,w)\in \IC^2 [/mm] mit z+iw=0,
also sind in der Menge nur Tupel der Gestalt
(z,w)=(-iw,w)=w*(-i,1) mit [mm] w\in \IC.
[/mm]
Jedes [mm] w\in \IC [/mm] läßt sich schreiben als
[mm] w=w_1+iw_2 [/mm] mit [mm] w_1, w_2\in \IR.
[/mm]
Also sind in der Menge nur Tupel der Gestalt
[mm] (z,w)=w*(-i,1)=(w_1+iw_2)(-i,1)=w_1(-i,1)+w_2*i(-i,1) [/mm] mit [mm] w_1, w_2\in \IR.
[/mm]
Die von Dir angegebene Basis hat ein echtes Manko: die Vektoren sind ja gar nicht in der Menge!
LG Angela
> >
>
> das hat sich ja als vermutlich falsch herausgestellt mich
> würde mal interessieren wie hier die Vorgehensweise ist.
>
> Danke schonmal im Vorraus
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