Basis und Fibonaccifolge < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zij F die Menge der Fibonaccifolgen, d.h. die Menge aller unendlicher Folgen reeller Zahlen [mm] (a_0, a_1, a_2, [/mm] ...), sodass gilt:
$ [mm] a_{n+2} [/mm] = [mm] a_{n+1} [/mm] + [mm] a_n, \forall_{n \ge 0} [/mm] $
1) Zeige, dass es zwei verschiedene reelle Zahlen $ [mm] c_1 [/mm] $ und $ [mm] c_2 [/mm] $ gibt, sodass die Folgen $ [mm] F_1 [/mm] := (1, [mm] c_1, c_2^2, \cdots) [/mm] $ und $ [mm] F_2 [/mm] := (1, [mm] c_2, c_2^2, \cdots) [/mm] $ zu F gehören.
2) Zeige, dass [mm] {F_1, F_2} [/mm] linear unabhängig sind und leite her, dass dies eine Basis für F ist.
3) Benutze 2), um eine Gleichung aufzustellen für den n-ten Term der Fibonaccifolge (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...). |
Hallo,
ich melde mich wieder mit Aufgaben, bei denen ich Hilfe brauche (es werden noch mehr folgen...).
Soweit ich die erste Teilaufgabe verstehe, muss ich zwei konkrete reelle Zahlen finden. Da ich nicht so recht wusst, wie das geht, hab ich einfach mal das Folgende versucht.
Wenn ich eben mal den Unterschied zwischen [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] weglasse und dafür die Variabele $ x $ benutze, kann ich die beiden Folgen so schreiben:
$ F = (1, x, (1 + x), (1 + 2x), (2 + 3x), ...) $
Jetzt muss ja gelten, dass $ [mm] (1+x)=x^2 [/mm] $, $ [mm] (1+2x)=x^3 [/mm] $ usw. Wenn ich diese Gleichungen löse, komm ich in jedem Fall auf
$ [mm] x=\bruch{1}{2}(1-\wurzel{5}) [/mm] $
$ [mm] x=-\bruch{1}{2}(1-\wurzel{5}) [/mm] $
Damit hätte ich ja theoretisch [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] gefunden, denn wenn man das in die Folgen einsetzt, sieht man, dass die Gleichungen aufgehen. Mir kommen die Ergebnisse nur etwas seltsam vor (rein intuitiv, vielleicht stimmen sie ja sogar...), weshalb ich mir vorstellen kann, dass meine Vorgehensweise nicht so ganz richtig ist.
Um die lineare Unabhängigkeit zu beweisen, muss gelten, dass man die Gleichung
$ a(1, [mm] c_1, c_2^2, \cdots) [/mm] + b(1, [mm] c_2, c_2^2, \cdots) [/mm] = 0, a, b [mm] \in \IR [/mm] $
nur lösen kann, wenn $ a = b = 0 $. Man kann also das lineare Gleichungssystem
$ a+b=0 $
$ [mm] ac_1+bc_2=0 [/mm] $
$ [mm] ac_1^2+bc_2^2=0 [/mm] $
$ [mm] \vdots [/mm] $
aufstellen. Dann zieh ich von jeder Zeile außer der ersten immer [mm] c_1^n [/mm] ab, wobei $ n $ für die Reihennummer steht, und erhalte:
$ a+b=0 $
$ [mm] 0+b(c_2-c_1)=0 [/mm] $
$ [mm] 0+b(c_2^2-c_1^2)=0 [/mm] $
$ [mm] \vdots [/mm] $
Durch multiplizieren der zweiten Reihe mit [mm] \bruch{1}{c_2-c_1} [/mm] kriegt man, dass $ b = 0 $. Das in die erste Gleichung eingesetzt, sieht man, dass $ a = 0 $, womit $ a=b=0 $. Ist hiermit bewiesen, dass die zwei Folgen linear unabhängig sind?
Wie ich jetzt weitermachen muss, weiß ich allerdings nicht. Nur weil sie linear unabhängig sind, heißt das ja nicht, dass sie auch eine Basis für den gesamten Vektorraum bilden. Hierzu muss ich, soweit ich weiß, noch gucken, ob sich jede Folge in F mit den beiden Folgen machen lässt. Nur wie genau?
Folglich kann ich die dritte Teilaufgabe auch nicht beantworten, weil ich dazu die zweite gelöst haben muss.
Ich danke jedem für hilfreiche Ratschläge und Hilfen :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Do 18.09.2014 | | Autor: | hippias |
> Zij F die Menge der Fibonaccifolgen, d.h. die Menge aller
> unendlicher Folgen reeller Zahlen [mm](a_0, a_1, a_2,[/mm] ...),
> sodass gilt:
>
> [mm]a_{n+2} = a_{n+1} + a_n, \forall_{n \ge 0}[/mm]
>
> 1) Zeige, dass es zwei verschiedene reelle Zahlen [mm]c_1[/mm] und
> [mm]c_2[/mm] gibt, sodass die Folgen [mm]F_1 := (1, c_1, c_2^2, \cdots)[/mm]
> und [mm]F_2 := (1, c_2, c_2^2, \cdots)[/mm] zu F gehören.
> 2) Zeige, dass [mm]{F_1, F_2}[/mm] linear unabhängig sind und
> leite her, dass dies eine Basis für F ist.
> 3) Benutze 2), um eine Gleichung aufzustellen für den
> n-ten Term der Fibonaccifolge (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...).
> Hallo,
>
> ich melde mich wieder mit Aufgaben, bei denen ich Hilfe
> brauche (es werden noch mehr folgen...).
>
> Soweit ich die erste Teilaufgabe verstehe, muss ich zwei
> konkrete reelle Zahlen finden. Da ich nicht so recht wusst,
> wie das geht, hab ich einfach mal das Folgende versucht.
>
> Wenn ich eben mal den Unterschied zwischen [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm]
> weglasse und dafür die Variabele [mm]x[/mm] benutze, kann ich die
> beiden Folgen so schreiben:
>
> [mm]F = (1, x, (1 + x), (1 + 2x), (2 + 3x), ...)[/mm]
>
> Jetzt muss ja gelten, dass [mm](1+x)=x^2 [/mm], [mm](1+2x)=x^3[/mm] usw. Wenn
> ich diese Gleichungen löse, komm ich in jedem Fall auf
>
> [mm]x=\bruch{1}{2}(1-\wurzel{5})[/mm]
> [mm]x=-\bruch{1}{2}(1-\wurzel{5})[/mm]
>
> Damit hätte ich ja theoretisch [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm] gefunden, denn
> wenn man das in die Folgen einsetzt, sieht man, dass die
> Gleichungen aufgehen. Mir kommen die Ergebnisse nur etwas
> seltsam vor (rein intuitiv, vielleicht stimmen sie ja
> sogar...), weshalb ich mir vorstellen kann, dass meine
> Vorgehensweise nicht so ganz richtig ist.
Das ist gut. Aber ich moechte folgende Schritte vorschlagen:
1. Wenn [mm] $(x^{n})\in [/mm] F$ gilt, dann gilt insbesondere [mm] $x^{2}= [/mm] x+1$. Daraus erhaelst Du Deine Loesungen [mm] $c_{1},c_{2}$.
[/mm]
2. Nun muss gezeigt werden, dass umgekehrt die Folge [mm] $(c_{i}^{n})$ [/mm] tatsaechlich in $F$ liegen, also [mm] $c_{i}^{n+2}=c_{i}^{n+1}+ c_{i}^{n}$ [/mm] fuer alle [mm] $n\geq [/mm] 0$ gilt.
>
> Um die lineare Unabhängigkeit zu beweisen, muss gelten,
> dass man die Gleichung
>
> [mm]a(1, c_1, c_2^2, \cdots) + b(1, c_2, c_2^2, \cdots) = 0, a, b \in \IR[/mm]
>
> nur lösen kann, wenn [mm]a = b = 0 [/mm]. Man kann also das lineare
> Gleichungssystem
>
> [mm]a+b=0[/mm]
> [mm]ac_1+bc_2=0[/mm]
> [mm]ac_1^2+bc_2^2=0[/mm]
> [mm]\vdots[/mm]
>
> aufstellen. Dann zieh ich von jeder Zeile außer der ersten
> immer [mm]c_1^n[/mm] ab, wobei [mm]n[/mm] für die Reihennummer steht, und
> erhalte:
>
> [mm]a+b=0[/mm]
> [mm]0+b(c_2-c_1)=0[/mm]
> [mm]0+b(c_2^2-c_1^2)=0[/mm]
> [mm]\vdots[/mm]
>
> Durch multiplizieren der zweiten Reihe mit
> [mm]\bruch{1}{c_2-c_1}[/mm] kriegt man, dass [mm]b = 0 [/mm]. Das in die
> erste Gleichung eingesetzt, sieht man, dass [mm]a = 0 [/mm], womit
> [mm]a=b=0 [/mm]. Ist hiermit bewiesen, dass die zwei Folgen linear
> unabhängig sind?
Ja. Du koenntest auch noch nachweisen, dass $F$ ueberhaupt ein [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] ist.
>
> Wie ich jetzt weitermachen muss, weiß ich allerdings
> nicht. Nur weil sie linear unabhängig sind, heißt das ja
> nicht, dass sie auch eine Basis für den gesamten
> Vektorraum bilden. Hierzu muss ich, soweit ich weiß, noch
> gucken, ob sich jede Folge in F mit den beiden Folgen
> machen lässt. Nur wie genau?
Mach fuer [mm] $(a_{n})\in [/mm] F$ den Ansatz [mm] $(a_{n})= a(c_{1}^{n})+b(c_{2}^{n})$. [/mm] Aus den ersten beiden Komponenten erhaelst Du $a$ und $b$. Dann zeigst Du, dass diese Werte die Gleichung in jeder Komponente erfuellen.
>
> Folglich kann ich die dritte Teilaufgabe auch nicht
> beantworten, weil ich dazu die zweite gelöst haben muss.
>
> Ich danke jedem für hilfreiche Ratschläge und Hilfen :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:18 Do 18.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Zij F die Menge der Fibonaccifolgen, d.h. die Menge aller
> > unendlicher Folgen reeller Zahlen [mm](a_0, a_1, a_2,[/mm] ...),
> > sodass gilt:
> >
> > [mm]a_{n+2} = a_{n+1} + a_n, \forall_{n \ge 0}[/mm]
> >
> > 1) Zeige, dass es zwei verschiedene reelle Zahlen [mm]c_1[/mm] und
> > [mm]c_2[/mm] gibt, sodass die Folgen [mm]F_1 := (1, c_1, c_2^2, \cdots)[/mm]
> > und [mm]F_2 := (1, c_2, c_2^2, \cdots)[/mm] zu F gehören.
> > 2) Zeige, dass [mm]{F_1, F_2}[/mm] linear unabhängig sind und
> > leite her, dass dies eine Basis für F ist.
> > 3) Benutze 2), um eine Gleichung aufzustellen für den
> > n-ten Term der Fibonaccifolge (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...).
> > Hallo,
> >
> > ich melde mich wieder mit Aufgaben, bei denen ich Hilfe
> > brauche (es werden noch mehr folgen...).
> >
> > Soweit ich die erste Teilaufgabe verstehe, muss ich zwei
> > konkrete reelle Zahlen finden. Da ich nicht so recht wusst,
> > wie das geht, hab ich einfach mal das Folgende versucht.
> >
> > Wenn ich eben mal den Unterschied zwischen [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm]
> > weglasse und dafür die Variabele [mm]x[/mm] benutze, kann ich die
> > beiden Folgen so schreiben:
> >
> > [mm]F = (1, x, (1 + x), (1 + 2x), (2 + 3x), ...)[/mm]
> >
> > Jetzt muss ja gelten, dass [mm](1+x)=x^2 [/mm], [mm](1+2x)=x^3[/mm] usw. Wenn
> > ich diese Gleichungen löse, komm ich in jedem Fall auf
> >
> > [mm]x=\bruch{1}{2}(1-\wurzel{5})[/mm]
> > [mm]x=-\bruch{1}{2}(1-\wurzel{5})[/mm]
> >
> > Damit hätte ich ja theoretisch [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm] gefunden, denn
> > wenn man das in die Folgen einsetzt, sieht man, dass die
> > Gleichungen aufgehen. Mir kommen die Ergebnisse nur etwas
> > seltsam vor (rein intuitiv, vielleicht stimmen sie ja
> > sogar...), weshalb ich mir vorstellen kann, dass meine
> > Vorgehensweise nicht so ganz richtig ist.
> Das ist gut. Aber ich moechte folgende Schritte
> vorschlagen:
> 1. Wenn [mm](x^{n})\in F[/mm] gilt, dann gilt insbesondere [mm]x^{2}= x+1[/mm].
> Daraus erhaelst Du Deine Loesungen [mm]c_{1},c_{2}[/mm].
> 2. Nun muss gezeigt werden, dass umgekehrt die Folge
> [mm](c_{i}^{n})[/mm] tatsaechlich in [mm]F[/mm] liegen, also
> [mm]c_{i}^{n+2}=c_{i}^{n+1}+ c_{i}^{n}[/mm] fuer alle [mm]n\geq 0[/mm] gilt.
>
> >
> > Um die lineare Unabhängigkeit zu beweisen, muss gelten,
> > dass man die Gleichung
> >
> > [mm]a(1, c_1, c_2^2, \cdots) + b(1, c_2, c_2^2, \cdots) = 0, a, b \in \IR[/mm]
>
> >
> > nur lösen kann, wenn [mm]a = b = 0 [/mm]. Man kann also das lineare
> > Gleichungssystem
> >
> > [mm]a+b=0[/mm]
> > [mm]ac_1+bc_2=0[/mm]
> > [mm]ac_1^2+bc_2^2=0[/mm]
> > [mm]\vdots[/mm]
> >
> > aufstellen. Dann zieh ich von jeder Zeile außer der ersten
> > immer [mm]c_1^n[/mm] ab, wobei [mm]n[/mm] für die Reihennummer steht, und
> > erhalte:
> >
> > [mm]a+b=0[/mm]
> > [mm]0+b(c_2-c_1)=0[/mm]
> > [mm]0+b(c_2^2-c_1^2)=0[/mm]
> > [mm]\vdots[/mm]
> >
> > Durch multiplizieren der zweiten Reihe mit
> > [mm]\bruch{1}{c_2-c_1}[/mm] kriegt man, dass [mm]b = 0 [/mm]. Das in die
> > erste Gleichung eingesetzt, sieht man, dass [mm]a = 0 [/mm], womit
> > [mm]a=b=0 [/mm]. Ist hiermit bewiesen, dass die zwei Folgen linear
> > unabhängig sind?
> Ja. Du koenntest auch noch nachweisen, dass [mm]F[/mm] ueberhaupt
> ein [mm]\IR[/mm]-Vektorraum ist.
das aber bitte *mit Geschick*:
Man nehme einen (bekannten) [mm] $\IR$-Vektorraum $V\,,$ [/mm] so dass
[mm] $\mathbf{F} \subseteqq [/mm] V$
klar ist. Dann rechnet man nur noch Unterraumaxiome nach!
Gruß,
Marcel
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Hallo,
> > Zij F die Menge der Fibonaccifolgen, d.h. die Menge aller
> > unendlicher Folgen reeller Zahlen [mm](a_0, a_1, a_2,[/mm] ...),
> > sodass gilt:
> >
> > [mm]a_{n+2} = a_{n+1} + a_n, \forall_{n \ge 0}[/mm]
> >
> > 1) Zeige, dass es zwei verschiedene reelle Zahlen [mm]c_1[/mm] und
> > [mm]c_2[/mm] gibt, sodass die Folgen [mm]F_1 := (1, c_1, c_2^2, \cdots)[/mm]
> > und [mm]F_2 := (1, c_2, c_2^2, \cdots)[/mm] zu F gehören.
> > 2) Zeige, dass [mm]{F_1, F_2}[/mm] linear unabhängig sind und
> > leite her, dass dies eine Basis für F ist.
> > 3) Benutze 2), um eine Gleichung aufzustellen für den
> > n-ten Term der Fibonaccifolge (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...).
> > Hallo,
> >
> > ich melde mich wieder mit Aufgaben, bei denen ich Hilfe
> > brauche (es werden noch mehr folgen...).
> >
> > Soweit ich die erste Teilaufgabe verstehe, muss ich zwei
> > konkrete reelle Zahlen finden. Da ich nicht so recht wusst,
> > wie das geht, hab ich einfach mal das Folgende versucht.
> >
> > Wenn ich eben mal den Unterschied zwischen [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm]
> > weglasse und dafür die Variabele [mm]x[/mm] benutze, kann ich die
> > beiden Folgen so schreiben:
> >
> > [mm]F = (1, x, (1 + x), (1 + 2x), (2 + 3x), ...)[/mm]
> >
> > Jetzt muss ja gelten, dass [mm](1+x)=x^2 [/mm], [mm](1+2x)=x^3[/mm] usw. Wenn
> > ich diese Gleichungen löse, komm ich in jedem Fall auf
> >
> > [mm]x=\bruch{1}{2}(1-\wurzel{5})[/mm]
> > [mm]x=-\bruch{1}{2}(1-\wurzel{5})[/mm]
> >
> > Damit hätte ich ja theoretisch [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm] gefunden, denn
> > wenn man das in die Folgen einsetzt, sieht man, dass die
> > Gleichungen aufgehen. Mir kommen die Ergebnisse nur etwas
> > seltsam vor (rein intuitiv, vielleicht stimmen sie ja
> > sogar...), weshalb ich mir vorstellen kann, dass meine
> > Vorgehensweise nicht so ganz richtig ist.
> Das ist gut. Aber ich moechte folgende Schritte
> vorschlagen:
> 1. Wenn [mm](x^{n})\in F[/mm] gilt, dann gilt insbesondere [mm]x^{2}= x+1[/mm].
> Daraus erhaelst Du Deine Loesungen [mm]c_{1},c_{2}[/mm].
> 2. Nun muss gezeigt werden, dass umgekehrt die Folge
> [mm](c_{i}^{n})[/mm] tatsaechlich in [mm]F[/mm] liegen, also
> [mm]c_{i}^{n+2}=c_{i}^{n+1}+ c_{i}^{n}[/mm] fuer alle [mm]n\geq 0[/mm] gilt.
>
Wie muss ich genau überprüfen, ob das der Fall ist? Da ich ja am Anfang angenommen habe, dass die Fibonaccifolge $ F = (1, x, (1 + x), (1 + 2x), (2 + 3x), ...) $ ist und daraus dann [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] hergeleitet habe, ist doch eigentlich schon gezeigt, dass [mm] c_1^n [/mm] und [mm] c_2^n [/mm] in F liegen, oder verstehe ich das falsch?
> >
> > Um die lineare Unabhängigkeit zu beweisen, muss gelten,
> > dass man die Gleichung
> >
> > [mm]a(1, c_1, c_2^2, \cdots) + b(1, c_2, c_2^2, \cdots) = 0, a, b \in \IR[/mm]
>
> >
> > nur lösen kann, wenn [mm]a = b = 0 [/mm]. Man kann also das lineare
> > Gleichungssystem
> >
> > [mm]a+b=0[/mm]
> > [mm]ac_1+bc_2=0[/mm]
> > [mm]ac_1^2+bc_2^2=0[/mm]
> > [mm]\vdots[/mm]
> >
> > aufstellen. Dann zieh ich von jeder Zeile außer der ersten
> > immer [mm]c_1^n[/mm] ab, wobei [mm]n[/mm] für die Reihennummer steht, und
> > erhalte:
> >
> > [mm]a+b=0[/mm]
> > [mm]0+b(c_2-c_1)=0[/mm]
> > [mm]0+b(c_2^2-c_1^2)=0[/mm]
> > [mm]\vdots[/mm]
> >
> > Durch multiplizieren der zweiten Reihe mit
> > [mm]\bruch{1}{c_2-c_1}[/mm] kriegt man, dass [mm]b = 0 [/mm]. Das in die
> > erste Gleichung eingesetzt, sieht man, dass [mm]a = 0 [/mm], womit
> > [mm]a=b=0 [/mm]. Ist hiermit bewiesen, dass die zwei Folgen linear
> > unabhängig sind?
> Ja. Du koenntest auch noch nachweisen, dass [mm]F[/mm] ueberhaupt
> ein [mm]\IR[/mm]-Vektorraum ist.
Das haben wir in einer früheren Aufgabe schon nachgewiesen. Ich glaube, dass wir das hier dann nicht noch mal machen müssen.
> >
> > Wie ich jetzt weitermachen muss, weiß ich allerdings
> > nicht. Nur weil sie linear unabhängig sind, heißt das ja
> > nicht, dass sie auch eine Basis für den gesamten
> > Vektorraum bilden. Hierzu muss ich, soweit ich weiß, noch
> > gucken, ob sich jede Folge in F mit den beiden Folgen
> > machen lässt. Nur wie genau?
> Mach fuer [mm](a_{n})\in F[/mm] den Ansatz [mm](a_{n})= a(c_{1}^{n})+b(c_{2}^{n})[/mm].
> Aus den ersten beiden Komponenten erhaelst Du [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm]. Dann
> zeigst Du, dass diese Werte die Gleichung in jeder
> Komponente erfuellen.
Hier komme ich so weit: [mm] a_n \in [/mm] F, a, b [mm] \in \IR
[/mm]
$ [mm] a_{n+2} [/mm] = [mm] a(c_1^{n+2}) [/mm] + [mm] b(c_2^{n+2}) [/mm] $
$ = [mm] a(c_1^{n+1} [/mm] + [mm] c_1^n) [/mm] + [mm] b(c_2^{n+1} [/mm] + [mm] c_2^n) [/mm] $
$ = [mm] a_{n+1} [/mm] + [mm] a_n [/mm] $
Nur irgendwie steh ich jetzt auf dem Schlauch :/
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:26 So 21.09.2014 | | Autor: | MeMeansMe |
Ich würde mich über eine Antwort zu dieser Frage sehr freuen. Ich will nicht drängeln, nur ich hab nicht mehr so viel Zeit (spätestens Dienstag muss ich eine Lösung auf Papier vorlegen können).
Danke :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:28 Mo 22.09.2014 | | Autor: | hippias |
> Hallo,
>
> > > Zij F die Menge der Fibonaccifolgen, d.h. die Menge aller
> > > unendlicher Folgen reeller Zahlen [mm](a_0, a_1, a_2,[/mm] ...),
> > > sodass gilt:
> > >
> > > [mm]a_{n+2} = a_{n+1} + a_n, \forall_{n \ge 0}[/mm]
> > >
> > > 1) Zeige, dass es zwei verschiedene reelle Zahlen [mm]c_1[/mm] und
> > > [mm]c_2[/mm] gibt, sodass die Folgen [mm]F_1 := (1, c_1, c_2^2, \cdots)[/mm]
> > > und [mm]F_2 := (1, c_2, c_2^2, \cdots)[/mm] zu F gehören.
> > > 2) Zeige, dass [mm]{F_1, F_2}[/mm] linear unabhängig sind
> und
> > > leite her, dass dies eine Basis für F ist.
> > > 3) Benutze 2), um eine Gleichung aufzustellen für
> den
> > > n-ten Term der Fibonaccifolge (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...).
> > > Hallo,
> > >
> > > ich melde mich wieder mit Aufgaben, bei denen ich Hilfe
> > > brauche (es werden noch mehr folgen...).
> > >
> > > Soweit ich die erste Teilaufgabe verstehe, muss ich zwei
> > > konkrete reelle Zahlen finden. Da ich nicht so recht wusst,
> > > wie das geht, hab ich einfach mal das Folgende versucht.
> > >
> > > Wenn ich eben mal den Unterschied zwischen [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm]
> > > weglasse und dafür die Variabele [mm]x[/mm] benutze, kann ich die
> > > beiden Folgen so schreiben:
> > >
> > > [mm]F = (1, x, (1 + x), (1 + 2x), (2 + 3x), ...)[/mm]
> > >
> > > Jetzt muss ja gelten, dass [mm](1+x)=x^2 [/mm], [mm](1+2x)=x^3[/mm] usw. Wenn
> > > ich diese Gleichungen löse, komm ich in jedem Fall auf
> > >
> > > [mm]x=\bruch{1}{2}(1-\wurzel{5})[/mm]
> > > [mm]x=-\bruch{1}{2}(1-\wurzel{5})[/mm]
> > >
> > > Damit hätte ich ja theoretisch [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm] gefunden, denn
> > > wenn man das in die Folgen einsetzt, sieht man, dass die
> > > Gleichungen aufgehen. Mir kommen die Ergebnisse nur etwas
> > > seltsam vor (rein intuitiv, vielleicht stimmen sie ja
> > > sogar...), weshalb ich mir vorstellen kann, dass meine
> > > Vorgehensweise nicht so ganz richtig ist.
> > Das ist gut. Aber ich moechte folgende Schritte
> > vorschlagen:
> > 1. Wenn [mm](x^{n})\in F[/mm] gilt, dann gilt insbesondere
> [mm]x^{2}= x+1[/mm].
> > Daraus erhaelst Du Deine Loesungen [mm]c_{1},c_{2}[/mm].
> > 2. Nun muss gezeigt werden, dass umgekehrt die Folge
> > [mm](c_{i}^{n})[/mm] tatsaechlich in [mm]F[/mm] liegen, also
> > [mm]c_{i}^{n+2}=c_{i}^{n+1}+ c_{i}^{n}[/mm] fuer alle [mm]n\geq 0[/mm] gilt.
> >
>
> Wie muss ich genau überprüfen, ob das der Fall ist? Da
> ich ja am Anfang angenommen habe, dass die Fibonaccifolge [mm]F = (1, x, (1 + x), (1 + 2x), (2 + 3x), ...)[/mm]
> ist und daraus dann [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm] hergeleitet habe, ist doch
> eigentlich schon gezeigt, dass [mm]c_1^n[/mm] und [mm]c_2^n[/mm] in F liegen,
> oder verstehe ich das falsch?
Verwechsle nicht Voraussetzung und Schlussfolgerung: Zeige, dass es $c$ gibt so, dass [mm] $(c^{n})\in [/mm] F$ ist. Du scheinst so vorgegangen zu sein: Wenn [mm] $(c^{n})\in [/mm] F$ ist, dann folgt [mm] $c=\ldots$.
[/mm]
D.h. das, was zu zeigen war, hast Du vorausgesetzt. Das ist nicht unueblich, um z.B. das $c$ ersteinmal zu berechnen, aber Du musst nun nachweisen, dass die Folge mit diesen speziellen Werten auch [mm] $\in [/mm] F$ ist. Das ist ganz aehnlich bei Nichtaequivalenzumformungen: Bestimme [mm] $\{x\in \IR| \sqrt{x}= -1\}$. [/mm] WENN [mm] $\sqrt{x}= [/mm] -1$, dann ist $x=1$. Trotzdem ist $1$ nicht in der Menge enthalten.
Meine letzte Mitteilung war diebezueglich irrfuehrend.
>
> > >
> > > Um die lineare Unabhängigkeit zu beweisen, muss gelten,
> > > dass man die Gleichung
> > >
> > > [mm]a(1, c_1, c_2^2, \cdots) + b(1, c_2, c_2^2, \cdots) = 0, a, b \in \IR[/mm]
>
> >
> > >
> > > nur lösen kann, wenn [mm]a = b = 0 [/mm]. Man kann also das lineare
> > > Gleichungssystem
> > >
> > > [mm]a+b=0[/mm]
> > > [mm]ac_1+bc_2=0[/mm]
> > > [mm]ac_1^2+bc_2^2=0[/mm]
> > > [mm]\vdots[/mm]
> > >
> > > aufstellen. Dann zieh ich von jeder Zeile außer der ersten
> > > immer [mm]c_1^n[/mm] ab, wobei [mm]n[/mm] für die Reihennummer steht, und
> > > erhalte:
> > >
> > > [mm]a+b=0[/mm]
> > > [mm]0+b(c_2-c_1)=0[/mm]
> > > [mm]0+b(c_2^2-c_1^2)=0[/mm]
> > > [mm]\vdots[/mm]
> > >
> > > Durch multiplizieren der zweiten Reihe mit
> > > [mm]\bruch{1}{c_2-c_1}[/mm] kriegt man, dass [mm]b = 0 [/mm]. Das in die
> > > erste Gleichung eingesetzt, sieht man, dass [mm]a = 0 [/mm], womit
> > > [mm]a=b=0 [/mm]. Ist hiermit bewiesen, dass die zwei Folgen linear
> > > unabhängig sind?
> > Ja. Du koenntest auch noch nachweisen, dass [mm]F[/mm] ueberhaupt
> > ein [mm]\IR[/mm]-Vektorraum ist.
>
> Das haben wir in einer früheren Aufgabe schon
> nachgewiesen. Ich glaube, dass wir das hier dann nicht noch
> mal machen müssen.
>
> > >
> > > Wie ich jetzt weitermachen muss, weiß ich allerdings
> > > nicht. Nur weil sie linear unabhängig sind, heißt das ja
> > > nicht, dass sie auch eine Basis für den gesamten
> > > Vektorraum bilden. Hierzu muss ich, soweit ich weiß, noch
> > > gucken, ob sich jede Folge in F mit den beiden Folgen
> > > machen lässt. Nur wie genau?
> > Mach fuer [mm](a_{n})\in F[/mm] den Ansatz [mm](a_{n})= a(c_{1}^{n})+b(c_{2}^{n})[/mm].
> > Aus den ersten beiden Komponenten erhaelst Du [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm]. Dann
> > zeigst Du, dass diese Werte die Gleichung in jeder
> > Komponente erfuellen.
>
> Hier komme ich so weit: [mm]a_n \in[/mm] F, a, b [mm]\in \IR[/mm]
>
> [mm]a_{n+2} = a(c_1^{n+2}) + b(c_2^{n+2})[/mm]
> [mm]= a(c_1^{n+1} + c_1^n) + b(c_2^{n+1} + c_2^n)[/mm]
>
> [mm]= a_{n+1} + a_n[/mm]
>
> Nur irgendwie steh ich jetzt auf dem Schlauch :/
Ich auch. Sei [mm] $(a_{n})\in [/mm] F$. Zeige der Reihe nach:
1. Es gibt [mm] $a,b\in \IR$ [/mm] so, dass [mm] $a_{i}= ac_{1}^{i-1}+bc_{2}^{i-1}$, [/mm] $i=1,2$.
2. Zeige mittels Induktion, dass [mm] $a_{n}= ac_{1}^{n-1}+bc_{2}^{n-1}$ [/mm] fuer alle [mm] $N\in \IN$ [/mm] gilt. Das obige entspricht dabei mehr oder weniger dem Induktionsschritt.
>
>
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> > Hallo,
> >
> > > > Zij F die Menge der Fibonaccifolgen, d.h. die Menge aller
> > > > unendlicher Folgen reeller Zahlen [mm](a_0, a_1, a_2,[/mm] ...),
> > > > sodass gilt:
> > > >
> > > > [mm]a_{n+2} = a_{n+1} + a_n, \forall_{n \ge 0}[/mm]
> > > >
> > > > 1) Zeige, dass es zwei verschiedene reelle Zahlen [mm]c_1[/mm] und
> > > > [mm]c_2[/mm] gibt, sodass die Folgen [mm]F_1 := (1, c_1, c_2^2, \cdots)[/mm]
> > > > und [mm]F_2 := (1, c_2, c_2^2, \cdots)[/mm] zu F gehören.
> > > > 2) Zeige, dass [mm]{F_1, F_2}[/mm] linear unabhängig sind
> > und
> > > > leite her, dass dies eine Basis für F ist.
> > > > 3) Benutze 2), um eine Gleichung aufzustellen
> für
> > den
> > > > n-ten Term der Fibonaccifolge (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...).
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > ich melde mich wieder mit Aufgaben, bei denen ich Hilfe
> > > > brauche (es werden noch mehr folgen...).
> > > >
> > > > Soweit ich die erste Teilaufgabe verstehe, muss ich zwei
> > > > konkrete reelle Zahlen finden. Da ich nicht so recht wusst,
> > > > wie das geht, hab ich einfach mal das Folgende versucht.
> > > >
> > > > Wenn ich eben mal den Unterschied zwischen [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm]
> > > > weglasse und dafür die Variabele [mm]x[/mm] benutze, kann ich die
> > > > beiden Folgen so schreiben:
> > > >
> > > > [mm]F = (1, x, (1 + x), (1 + 2x), (2 + 3x), ...)[/mm]
> > > >
>
> > > > Jetzt muss ja gelten, dass [mm](1+x)=x^2 [/mm], [mm](1+2x)=x^3[/mm] usw. Wenn
> > > > ich diese Gleichungen löse, komm ich in jedem Fall auf
> > > >
> > > > [mm]x=\bruch{1}{2}(1-\wurzel{5})[/mm]
> > > > [mm]x=-\bruch{1}{2}(1-\wurzel{5})[/mm]
> > > >
> > > > Damit hätte ich ja theoretisch [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm] gefunden, denn
> > > > wenn man das in die Folgen einsetzt, sieht man, dass die
> > > > Gleichungen aufgehen. Mir kommen die Ergebnisse nur etwas
> > > > seltsam vor (rein intuitiv, vielleicht stimmen sie ja
> > > > sogar...), weshalb ich mir vorstellen kann, dass meine
> > > > Vorgehensweise nicht so ganz richtig ist.
> > > Das ist gut. Aber ich moechte folgende Schritte
> > > vorschlagen:
> > > 1. Wenn [mm](x^{n})\in F[/mm] gilt, dann gilt insbesondere
> > [mm]x^{2}= x+1[/mm].
> > > Daraus erhaelst Du Deine Loesungen [mm]c_{1},c_{2}[/mm].
> > > 2. Nun muss gezeigt werden, dass umgekehrt die Folge
> > > [mm](c_{i}^{n})[/mm] tatsaechlich in [mm]F[/mm] liegen, also
> > > [mm]c_{i}^{n+2}=c_{i}^{n+1}+ c_{i}^{n}[/mm] fuer alle [mm]n\geq 0[/mm] gilt.
> > >
> >
> > Wie muss ich genau überprüfen, ob das der Fall ist? Da
> > ich ja am Anfang angenommen habe, dass die Fibonaccifolge [mm]F = (1, x, (1 + x), (1 + 2x), (2 + 3x), ...)[/mm]
> > ist und daraus dann [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm] hergeleitet habe, ist doch
> > eigentlich schon gezeigt, dass [mm]c_1^n[/mm] und [mm]c_2^n[/mm] in F liegen,
> > oder verstehe ich das falsch?
> Verwechsle nicht Voraussetzung und Schlussfolgerung:
> Zeige, dass es [mm]c[/mm] gibt so, dass [mm](c^{n})\in F[/mm] ist. Du
> scheinst so vorgegangen zu sein: Wenn [mm](c^{n})\in F[/mm] ist,
> dann folgt [mm]c=\ldots[/mm].
>
> D.h. das, was zu zeigen war, hast Du vorausgesetzt. Das ist
> nicht unueblich, um z.B. das [mm]c[/mm] ersteinmal zu berechnen,
> aber Du musst nun nachweisen, dass die Folge mit diesen
> speziellen Werten auch [mm]\in F[/mm] ist. Das ist ganz aehnlich bei
> Nichtaequivalenzumformungen: Bestimme [mm]\{x\in \IR| \sqrt{x}= -1\}[/mm].
> WENN [mm]\sqrt{x}= -1[/mm], dann ist [mm]x=1[/mm]. Trotzdem ist [mm]1[/mm] nicht in
> der Menge enthalten.
>
> Meine letzte Mitteilung war diebezueglich irrfuehrend.
> >
> > > >
> > > > Um die lineare Unabhängigkeit zu beweisen, muss gelten,
> > > > dass man die Gleichung
> > > >
> > > > [mm]a(1, c_1, c_2^2, \cdots) + b(1, c_2, c_2^2, \cdots) = 0, a, b \in \IR[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > nur lösen kann, wenn [mm]a = b = 0 [/mm]. Man kann also das lineare
> > > > Gleichungssystem
> > > >
> > > > [mm]a+b=0[/mm]
> > > > [mm]ac_1+bc_2=0[/mm]
> > > > [mm]ac_1^2+bc_2^2=0[/mm]
> > > > [mm]\vdots[/mm]
> > > >
> > > > aufstellen. Dann zieh ich von jeder Zeile außer der ersten
> > > > immer [mm]c_1^n[/mm] ab, wobei [mm]n[/mm] für die Reihennummer steht, und
> > > > erhalte:
> > > >
> > > > [mm]a+b=0[/mm]
> > > > [mm]0+b(c_2-c_1)=0[/mm]
> > > > [mm]0+b(c_2^2-c_1^2)=0[/mm]
> > > > [mm]\vdots[/mm]
> > > >
> > > > Durch multiplizieren der zweiten Reihe mit
> > > > [mm]\bruch{1}{c_2-c_1}[/mm] kriegt man, dass [mm]b = 0 [/mm]. Das in die
> > > > erste Gleichung eingesetzt, sieht man, dass [mm]a = 0 [/mm], womit
> > > > [mm]a=b=0 [/mm]. Ist hiermit bewiesen, dass die zwei Folgen linear
> > > > unabhängig sind?
> > > Ja. Du koenntest auch noch nachweisen, dass [mm]F[/mm] ueberhaupt
> > > ein [mm]\IR[/mm]-Vektorraum ist.
> >
> > Das haben wir in einer früheren Aufgabe schon
> > nachgewiesen. Ich glaube, dass wir das hier dann nicht noch
> > mal machen müssen.
> >
> > > >
> > > > Wie ich jetzt weitermachen muss, weiß ich allerdings
> > > > nicht. Nur weil sie linear unabhängig sind, heißt das ja
> > > > nicht, dass sie auch eine Basis für den gesamten
> > > > Vektorraum bilden. Hierzu muss ich, soweit ich weiß, noch
> > > > gucken, ob sich jede Folge in F mit den beiden Folgen
> > > > machen lässt. Nur wie genau?
> > > Mach fuer [mm](a_{n})\in F[/mm] den Ansatz [mm](a_{n})= a(c_{1}^{n})+b(c_{2}^{n})[/mm].
> > > Aus den ersten beiden Komponenten erhaelst Du [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm]. Dann
> > > zeigst Du, dass diese Werte die Gleichung in jeder
> > > Komponente erfuellen.
> >
> > Hier komme ich so weit: [mm]a_n \in[/mm] F, a, b [mm]\in \IR[/mm]
> >
> > [mm]a_{n+2} = a(c_1^{n+2}) + b(c_2^{n+2})[/mm]
> > [mm]= a(c_1^{n+1} + c_1^n) + b(c_2^{n+1} + c_2^n)[/mm]
>
> >
> > [mm]= a_{n+1} + a_n[/mm]
> >
> > Nur irgendwie steh ich jetzt auf dem Schlauch :/
> Ich auch. Sei [mm](a_{n})\in F[/mm]. Zeige der Reihe nach:
> 1. Es gibt [mm]a,b\in \IR[/mm] so, dass [mm]a_{i}= ac_{1}^{i-1}+bc_{2}^{i-1}[/mm],
> [mm]i=1,2[/mm].
> 2. Zeige mittels Induktion, dass [mm]a_{n}= ac_{1}^{n-1}+bc_{2}^{n-1}[/mm]
> fuer alle [mm]N\in \IN[/mm] gilt. Das obige entspricht dabei mehr
> oder weniger dem Induktionsschritt.
Die Induktionstechnik beherrsche ich nicht. Ich studiere Mathe nicht, sondern hab nur ein mathematisches Fach dazu gewählt, und da bin ich jetzt in der dritten Woche. Setze also nicht zu viel Vorkenntnis bei mir voraus. Es muss einen einfacheren Weg geben, sonst müssten wir diese Aufgabe ja wahrscheinlich nicht lösen.
Also, ich habe gezeigt, dass die zwei Fibonaccifolgen linear unabhängig sind. Jetzt muss ich zeigen, dass sie eine Basis für den gesamten Vektorraum $F$ bilden. Weiterhin muss ich ableiten dass die zwei Folgen auch zu $F$ gehören. Ich denke, mangels Erfahrung weiß ich einfach nicht, wie das gehen soll. Mir ist die Vorgehensweise überhaupt nicht klar. Vielleicht kannst du hier mal drauf eingehen. Und wie gesagt, lieber nicht zu viel Vorkenntnis unterstellen ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:06 Mo 22.09.2014 | | Autor: | hippias |
>
> Die Induktionstechnik beherrsche ich nicht. Ich studiere
> Mathe nicht, sondern hab nur ein mathematisches Fach dazu
> gewählt, und da bin ich jetzt in der dritten Woche. Setze
> also nicht zu viel Vorkenntnis bei mir voraus. Es muss
> einen einfacheren Weg geben, sonst müssten wir diese
> Aufgabe ja wahrscheinlich nicht lösen.
>
> Also, ich habe gezeigt, dass die zwei Fibonaccifolgen
> linear unabhängig sind. Jetzt muss ich zeigen, dass sie
> eine Basis für den gesamten Vektorraum [mm]F[/mm] bilden. Weiterhin
> muss ich ableiten dass die zwei Folgen auch zu [mm]F[/mm] gehören.
> Ich denke, mangels Erfahrung weiß ich einfach nicht, wie
> das gehen soll. Mir ist die Vorgehensweise überhaupt nicht
> klar. Vielleicht kannst du hier mal drauf eingehen. Und wie
> gesagt, lieber nicht zu viel Vorkenntnis unterstellen ;)
Ich bin der Ansicht, dass es ganz ohne Induktion nicht gehen wird. Machen wir eben folgendes: Seien [mm] $(a_{n})\in [/mm] F$, [mm] $c_{i}$ [/mm] wie oben.
1. Zeige, es gibt [mm] $x,y\in \IR$ [/mm] so, dass [mm] $a_{0}= [/mm] x+ y$ und [mm] $a_{1}= xc_{1}+ yc_{2}$ [/mm] gilt.
2. Fuer alle [mm] $2\in \IN_{0}$ [/mm] gilt dann [mm] $a_{n+2}= xc_{1}^{n+1}+ yc_{2}^{n+1}$.
[/mm]
zu 1.: Das kannst Du
zu 2.: Es gilt [mm] $a_{n+2}= a_{n+1}+ a_{n}$. [/mm] Wir koennen davon ausgehen, dass die Behauptung bereits fuer [mm] $a_{n+1}$ [/mm] und [mm] $a_{n}$ [/mm] gilt (dies ist Teil der Beweistechnik Induktion). Das heisst [mm] $a_{n+1}= xc_{1}^{n}+ yc_{2}^{n}$ [/mm] und [mm] $a_{n}= xc_{1}^{n-1}+ yc_{2}^{n-1}$, [/mm] also [mm] $a_{n+2}= x(c_{1}^{n}+ c_{1}^{n-1})+ y(c_{2}^{n}+ c_{2}^{n-1})$. [/mm] Nun hast Du ja schon nachgerechnet (?), dass [mm] $(c_{i}^{n})\in [/mm] F$ ist. Daher [mm] $c_{i}^{n}+ c_{i}^{n-1}= c_{i}^{n+1}$. [/mm] Folglich ist [mm] $a_{n+2}= xc_{1}^{n+1}+ yc_{2}^{n+1}$.
[/mm]
Das diese Schlussweise richtig ist, ergibt sich aber aus der Induktion. Ganz ohne halte ich es fuer aussichtslos.
Ich hoffe ich denke nicht zu kompliziert. Wenn ihr tatsaechlich Induktion nicht benutzen koennt, dann wird die Loesung vielleicht nicht so streng bewertet und Deine urspruengliche Loesung ist vielleicht ausreichend. Jedenfalls kann man auf Induktion nicht verzichten, wenn man einigermassen ernsthaft Mathe betreiben moechte. Und schwer ist es auch nicht. Es lohnt sich also sich die Technik anzueignen.
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> > Die Induktionstechnik beherrsche ich nicht. Ich studiere
> > Mathe nicht, sondern hab nur ein mathematisches Fach dazu
> > gewählt, und da bin ich jetzt in der dritten Woche. Setze
> > also nicht zu viel Vorkenntnis bei mir voraus. Es muss
> > einen einfacheren Weg geben, sonst müssten wir diese
> > Aufgabe ja wahrscheinlich nicht lösen.
> >
> > Also, ich habe gezeigt, dass die zwei Fibonaccifolgen
> > linear unabhängig sind. Jetzt muss ich zeigen, dass sie
> > eine Basis für den gesamten Vektorraum [mm]F[/mm] bilden. Weiterhin
> > muss ich ableiten dass die zwei Folgen auch zu [mm]F[/mm] gehören.
> > Ich denke, mangels Erfahrung weiß ich einfach nicht, wie
> > das gehen soll. Mir ist die Vorgehensweise überhaupt nicht
> > klar. Vielleicht kannst du hier mal drauf eingehen. Und wie
> > gesagt, lieber nicht zu viel Vorkenntnis unterstellen ;)
> Ich bin der Ansicht, dass es ganz ohne Induktion nicht
> gehen wird. Machen wir eben folgendes: Seien [mm](a_{n})\in F[/mm],
> [mm]c_{i}[/mm] wie oben.
> 1. Zeige, es gibt [mm]x,y\in \IR[/mm] so, dass [mm]a_{0}= x+ y[/mm] und
> [mm]a_{1}= xc_{1}+ yc_{2}[/mm] gilt.
> 2. Fuer alle [mm]2\in \IN_{0}[/mm] gilt dann [mm]a_{n+2}= xc_{1}^{n+1}+ yc_{2}^{n+1}[/mm].
>
> zu 1.: Das kannst Du
Mal sehen. Wenn ich mit den beiden Gleichungen ein LGS aufstelle, erhalte ich:
$ [mm] x+y=a_0 [/mm] $
[mm] $xc_1+yc_2=a_^1 [/mm] $
Jetzt kann ich rechnen II - c_1I:
$ [mm] x+y=a_0 [/mm] $
$ [mm] 0+y(c_2-c_1)=a_1-c_1a_0 [/mm] $
Wenn ich jetzt II mit [mm] \bruch{1}{c_2-c_1} [/mm] multipliziere und von I subtrahiere:
$ [mm] x+0=_0-\bruch{a_1-c_1a_0}{c_2-c_1} [/mm] $
$ 0+y = [mm] \bruch{a_1-c_1a_0}{c_2-c_1} [/mm] $
Damit haben $x$ und $y$ diese Werte. Sind [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] hiermit ein Erzeugendensystem für den Vektorraum $F$? Weil wenn ja, dann wären sie ja sowohl linear unabhängig und ein EZS und somit auch einen Basis für $F$, oder? Das ist ja die zweite Teilaufgabe.
> zu 2.: Es gilt [mm]a_{n+2}= a_{n+1}+ a_{n}[/mm]. Wir koennen davon
> ausgehen, dass die Behauptung bereits fuer [mm]a_{n+1}[/mm] und
> [mm]a_{n}[/mm] gilt (dies ist Teil der Beweistechnik Induktion). Das
> heisst [mm]a_{n+1}= xc_{1}^{n}+ yc_{2}^{n}[/mm] und [mm]a_{n}= xc_{1}^{n-1}+ yc_{2}^{n-1}[/mm],
> also [mm]a_{n+2}= x(c_{1}^{n}+ c_{1}^{n-1})+ y(c_{2}^{n}+ c_{2}^{n-1})[/mm].
> Nun hast Du ja schon nachgerechnet (?), dass [mm](c_{i}^{n})\in F[/mm]
> ist. Daher [mm]c_{i}^{n}+ c_{i}^{n-1}= c_{i}^{n+1}[/mm]. Folglich
> ist [mm]a_{n+2}= xc_{1}^{n+1}+ yc_{2}^{n+1}[/mm].
Meine Frage von vor ein paar Tagen war ja u.a., wie ich nachweise, dass $ [mm] c_1, c_2 \in [/mm] F $. Das habe ich also noch nicht bewiesen. Ich habe konkrete Werte für [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] berechnet, nur wie kann ich jetzt konkret beweisen, dass [mm] F_1 [/mm] und [mm] F_2 [/mm] mit diesen berechneten Werten auch tatsächlich zu $F$ gehören? Ginge das, indem ich $x$ definiere als [mm] $c_1$ [/mm] oder [mm] $c_2$ [/mm] und dann sage, dass in den Fibonaccifolgen gelten muss
$ [mm] x^2 [/mm] = x + 1 $ (so hab ich ja die zwei Werte für [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] berechnet)
und das dann mit [mm] x^n [/mm] multipliziere, was mir dann gibt:
$ [mm] x^{(n+2)} [/mm] = [mm] x^{(n+1)} [/mm] + [mm] x^n [/mm] $?
Das wäre ja dann die Gleichung für eine Fibonaccifolge, sozusagen. Dann gilt also:
$ [mm] c_1^{(n+2)} [/mm] = [mm] c_1^{(n+1)} [/mm] + [mm] c_1^n [/mm] $ und
$ [mm] c_2^{(n+2)} [/mm] = [mm] c_2^{(n+1)} [/mm] + [mm] c_2^n [/mm] $
Wenn ich das habe, dann habe ich die ersten zwei Teilaufgaben und kann mich an die dritte machen, wo es heißt, man solle die Tatsache, dass [mm] F_1 [/mm] und [mm] F_2 [/mm] eine Basis für $F$ bilden, benutzen, um eine Gleichung für den $n$-ten Term der Fibonaccifolge $(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, [mm] \ldots)$ [/mm] zu geben.
Ich stelle so viele Fragen auf einmal, weil ich etwas Zeitdruck habe. Morgen müssen die Aufgaben fertig sein^^ Ich hoffe, du kannst das nachvollziehen :)
>
> Das diese Schlussweise richtig ist, ergibt sich aber aus
> der Induktion. Ganz ohne halte ich es fuer aussichtslos.
>
> Ich hoffe ich denke nicht zu kompliziert. Wenn ihr
> tatsaechlich Induktion nicht benutzen koennt, dann wird die
> Loesung vielleicht nicht so streng bewertet und Deine
> urspruengliche Loesung ist vielleicht ausreichend.
> Jedenfalls kann man auf Induktion nicht verzichten, wenn
> man einigermassen ernsthaft Mathe betreiben moechte. Und
> schwer ist es auch nicht. Es lohnt sich also sich die
> Technik anzueignen.
>
> >
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:06 Di 23.09.2014 | | Autor: | hippias |
> Mal sehen. Wenn ich mit den beiden Gleichungen ein LGS
> aufstelle, erhalte ich:
>
> [mm]x+y=a_0[/mm]
> [mm]xc_1+yc_2=a_^1[/mm]
>
> Jetzt kann ich rechnen II - c_1I:
>
> [mm]x+y=a_0[/mm]
> [mm]0+y(c_2-c_1)=a_1-c_1a_0[/mm]
>
> Wenn ich jetzt II mit [mm]\bruch{1}{c_2-c_1}[/mm] multipliziere und
> von I subtrahiere:
>
> [mm]x+0=_0-\bruch{a_1-c_1a_0}{c_2-c_1}[/mm]
> [mm]0+y = \bruch{a_1-c_1a_0}{c_2-c_1}[/mm]
>
> Damit haben [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] diese Werte. Sind [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm] hiermit
> ein Erzeugendensystem für den Vektorraum [mm]F[/mm]? Weil wenn ja,
> dann wären sie ja sowohl linear unabhängig und ein EZS
> und somit auch einen Basis für [mm]F[/mm], oder? Das ist ja die
> zweite Teilaufgabe.
Tja, streng genommen weisst Du bis jetzt nur, dass [mm] $x(c_{1}^{n})+ y(c_{2}^{n})$ [/mm] nur mit den ersten beiden Koordinaten von [mm] $(a_{n})$ [/mm] uebereinstimmt. Und wie gesagt: dass es fuer alle Glieder klappt, wuerde ich mittels Induktion zeigen.
>
> > zu 2.: Es gilt [mm]a_{n+2}= a_{n+1}+ a_{n}[/mm]. Wir koennen davon
> > ausgehen, dass die Behauptung bereits fuer [mm]a_{n+1}[/mm] und
> > [mm]a_{n}[/mm] gilt (dies ist Teil der Beweistechnik Induktion). Das
> > heisst [mm]a_{n+1}= xc_{1}^{n}+ yc_{2}^{n}[/mm] und [mm]a_{n}= xc_{1}^{n-1}+ yc_{2}^{n-1}[/mm],
> > also [mm]a_{n+2}= x(c_{1}^{n}+ c_{1}^{n-1})+ y(c_{2}^{n}+ c_{2}^{n-1})[/mm].
> > Nun hast Du ja schon nachgerechnet (?), dass [mm](c_{i}^{n})\in F[/mm]
> > ist. Daher [mm]c_{i}^{n}+ c_{i}^{n-1}= c_{i}^{n+1}[/mm]. Folglich
> > ist [mm]a_{n+2}= xc_{1}^{n+1}+ yc_{2}^{n+1}[/mm].
>
> Meine Frage von vor ein paar Tagen war ja u.a., wie ich
> nachweise, dass [mm]c_1, c_2 \in F [/mm]. Das habe ich also noch
> nicht bewiesen. Ich habe konkrete Werte für [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm]
> berechnet, nur wie kann ich jetzt konkret beweisen, dass
> [mm]F_1[/mm] und [mm]F_2[/mm] mit diesen berechneten Werten auch tatsächlich
> zu [mm]F[/mm] gehören? Ginge das, indem ich [mm]x[/mm] definiere als [mm]c_1[/mm]
> oder [mm]c_2[/mm] und dann sage, dass in den Fibonaccifolgen gelten
> muss
>
> [mm]x^2 = x + 1[/mm] (so hab ich ja die zwei Werte für [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm]
> berechnet)
>
> und das dann mit [mm]x^n[/mm] multipliziere, was mir dann gibt:
>
> [mm]x^{(n+2)} = x^{(n+1)} + x^n [/mm]?
>
> Das wäre ja dann die Gleichung für eine Fibonaccifolge,
> sozusagen. Dann gilt also:
>
> [mm]c_1^{(n+2)} = c_1^{(n+1)} + c_1^n[/mm] und
> [mm]c_2^{(n+2)} = c_2^{(n+1)} + c_2^n[/mm]
Das ist voellig in Ordnung.
>
> Wenn ich das habe, dann habe ich die ersten zwei
> Teilaufgaben und kann mich an die dritte machen, wo es
> heißt, man solle die Tatsache, dass [mm]F_1[/mm] und [mm]F_2[/mm] eine Basis
> für [mm]F[/mm] bilden, benutzen, um eine Gleichung für den [mm]n[/mm]-ten
> Term der Fibonaccifolge [mm](1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots)[/mm] zu
> geben.
Dazu gehst Du genauso vor, wie im allgemeinen Fall oben, bzw. brauchst nur noch [mm] $a_{1}$ [/mm] und [mm] $a_{2}$ [/mm] in die Formel oben fuer $x$ und $y$ einsetzen.
>
> Ich stelle so viele Fragen auf einmal, weil ich etwas
> Zeitdruck habe. Morgen müssen die Aufgaben fertig sein^^
> Ich hoffe, du kannst das nachvollziehen :)
Viel Glueck!
>
> >
> > Das diese Schlussweise richtig ist, ergibt sich aber aus
> > der Induktion. Ganz ohne halte ich es fuer aussichtslos.
> >
> > Ich hoffe ich denke nicht zu kompliziert. Wenn ihr
> > tatsaechlich Induktion nicht benutzen koennt, dann wird die
> > Loesung vielleicht nicht so streng bewertet und Deine
> > urspruengliche Loesung ist vielleicht ausreichend.
> > Jedenfalls kann man auf Induktion nicht verzichten, wenn
> > man einigermassen ernsthaft Mathe betreiben moechte. Und
> > schwer ist es auch nicht. Es lohnt sich also sich die
> > Technik anzueignen.
> >
> > >
> > >
> >
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