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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Di 28.12.2010 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | (Basis und direkte Summe)
Es sei V ein [mm] \IK-Vektorraum [/mm] und [mm] U_{1} \subseteq [/mm] V ein Untervektorraum.
Zeigen Sie: Es gibt einen Untervektorraum [mm] U_{2} \subseteq [/mm] V mit
[mm] V=U_{1}\oplus U_{2}. [/mm] |
Hallo,
ich habe mit dem folgenden Ansatz versucht:
z.z: Es gibt einen Untervektorraum [mm] U_{2} [/mm] mit V= [mm] U_{1}+U_{2} [/mm] und
[mm] U_{1} \cap U_{2}.
[/mm]
Ab hier komme ich nicht weiter.
Die Überschrift von dieser Aufgabe ist (Basis und direkte Summe).
Welche Rolle wird dabei der Begriff Basis spielen?
Ich weiß nicht , wie ich den hier gut verwenden kann.
Gruss
Igor
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Hallo Igor,
es gibt eine Basis [mm] $x_i\;,\; [/mm] i [mm] \in [/mm] I$ von $V$ 'durch' [mm] $U_1$, [/mm] d.h. es gibt ein $J [mm] \subseteq [/mm] I$ mit
[mm] $x_i \;,\; [/mm] i [mm] \in [/mm] J$ ist Basis von [mm] $U_1$. [/mm] Jetzt kann man mit Hilfe der Basis [mm] $x_i\;,\; [/mm] i [mm] \in [/mm] I$ leicht ein Komplement [mm] $U_2$ [/mm] von [mm] $U_1$ [/mm] in $V$ konstruieren.
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Di 28.12.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo mathfunnel,
>
> es gibt eine Basis [mm]x_i\;,\; i \in I[/mm] von [mm]V[/mm] 'durch' [mm]U_1[/mm], d.h.
> es gibt ein [mm]J \subseteq I[/mm] mit
> [mm]x_i \;,\; i \in J[/mm] ist Basis von [mm]U_1[/mm].
Habe ich es richtig verstanden, dass für einen Vektorraum V und seinen Untervektorraum [mm] U_{1} [/mm] eine Menge B gibt, die die Basis von V und auch Basis von [mm] U_{1} [/mm] ist?
Soll man diese Aussage beweisen? In der Vorlesung kam solche Aussage, meiner Meinung nach, nicht vor.
Gruss
Igor
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Hallo Igor!
> Hallo mathfunnel,
> >
> > es gibt eine Basis [mm]x_i\;,\; i \in I[/mm] von [mm]V[/mm] 'durch' [mm]U_1[/mm], d.h.
> > es gibt ein [mm]J \subseteq I[/mm] mit
> > [mm]x_i \;,\; i \in J[/mm] ist Basis von [mm]U_1[/mm].
>
> Habe ich es richtig verstanden, dass für einen Vektorraum
> V und seinen Untervektorraum [mm]U_{1}[/mm] eine Menge B gibt, die
> die Basis von V und auch Basis von [mm]U_{1}[/mm] ist?
Nein, das ist nur der Fall, wenn [mm] $U_1 [/mm] = V$.
Lies Dir die Aussage genau durch!
>
> Soll man diese Aussage beweisen? In der Vorlesung kam
> solche Aussage, meiner Meinung nach, nicht vor.
Dann muss man das beweisen!
Bist Du sicher, dass $V$ nicht als endlich-dimensional vorausgesetzt ist? Denn dann ist es hilfreich, wenn man das Zornsche Lemma benutzt.
>
> Gruss
> Igor
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Di 28.12.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo mathfunnel,
auf dem Übungsblatt steht nichts über "endlich-dimensional" .
Ich habe mir auch darüber Gedanken gemacht, ob der Aufgabensteller die Voraussetzung "endlich-dimensional" vergessen hat.
Funktioniert Dein erster Hinweis also nicht mehr für einen unendlich dimensionalen V ?
Oder funktioniert der Hinweis mit dem Zornschen-Lemma?
Gruss
Igor
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> Hallo mathfunnel,
>
> auf dem Übungsblatt steht nichts über
> "endlich-dimensional" .
> Ich habe mir auch darüber Gedanken gemacht, ob der
> Aufgabensteller die Voraussetzung "endlich-dimensional"
> vergessen hat.
>
> Funktioniert Dein erster Hinweis also nicht mehr für einen
> unendlich dimensionalen V ?
Doch, der funktioniert!
>
> Oder funktioniert der Hinweis mit dem Zornschen-Lemma?
Das Zornsche Lemma, ist für den Fall unendlicher Dimension nützlich. Im endlich-dimensionalen Fall benötigt man es nicht.
>
>
> Gruss
> Igor
>
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Di 28.12.2010 | | Autor: | Igor1 |
ich verstehe die Aussage nicht. Kannst Du es mit "eigenen Worten" erklären?
Gruss
Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:57 Di 28.12.2010 | | Autor: | Igor1 |
ich denke, ich weiß , was Du meinst :
[mm] x_{i} [/mm] soll eine Familie von Vektoren sein, die eine Basis von V bilden.
Aber , die Aussage war deshalb nicht verständlich, weil man diese auch anderes "lesen" könnte . Nämlich:
[mm] x_{i} [/mm] eine Basis für i [mm] \in [/mm] I kann auch bedeuten, dass V alle Basen [mm] x_{i} [/mm] für i [mm] \in [/mm] I hat .
Gruss
Igor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Di 28.12.2010 | | Autor: | Igor1 |
Wenn man also die Basis [mm] B_{1} [/mm] von [mm] U_{1} [/mm] hat und eine Basis B von V 'durch' [mm] U_{1} [/mm] bildet, dann kann man als [mm] U_{2} span(B/B_{1}) [/mm] nehmen.
Ich habe irgendwo im Internet gelesen , dass für [mm] U_{1} [/mm] wie in unserem Fall definiert und für [mm] U_{2} [/mm] wie in unserem Fall definiert [mm] U_{1}+U_{2} [/mm] = V, weil die Basis von [mm] U_{1} [/mm] vereinigt mit der Basis von [mm] U_{2} [/mm] die Basis von V ergibt.
(Bemerkung: diese Aussage aus dem Internet , meiner Meinung nach, kam in der Vorlesung nicht vor, also muss bewiesen werden)
Es bleibt noch zu zeigen, dass [mm] U_{1} [/mm] geschnitten mit [mm] U_{2} [/mm] {0} ergibt:
also z.z: [mm] U_{1}\cap U_{2} [/mm] = {0}
sei x [mm] \in U_{1}\cap U_{2} \gdw
[/mm]
x= [mm] \lambda_{1}v_{1}+...+\lambda_{n}v_{n} [/mm] für [mm] \lambda [/mm] 's aus [mm] \IK [/mm] v 's aus [mm] B_{1}
[/mm]
und x= [mm] \mu_{1}w_{1}+...+\mu_{n}w_{n} \mu [/mm] 's aus [mm] \IK [/mm] w 's aus [mm] B_{2}
[/mm]
Daraus folgt : [mm] \lambda_{1}v_{1}+...+\lambda_{n}v_{n}= \mu_{1}w_{1}+...+\mu_{n}w_{n}
[/mm]
Das ist äquivalent zu :
[mm] \lambda_{1}v_{1}+...+\lambda_{n}v_{n}-( \mu_{1}w_{1}+...+\mu_{n}w_{n})=0 [/mm]
Da [mm] B_{1}\cup B_{2} [/mm] linear unabhängig ist, sind die Koeffizienten Null und damit x= 0
Ist das richtig?
Gruss
Igor
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> Wenn man also die Basis [mm]B_{1}[/mm] von [mm]U_{1}[/mm] hat und eine Basis
> B von V 'durch' [mm]U_{1}[/mm] bildet,
Hallo,
vielleicht solltest Du mal (nicht zuletzt für Deine eigene Klarheit) sagen, was Du mit "Basis bilden durch [mm] U_1" [/mm] meinst.
> dann kann man als [mm]U_{2} \qquad span(B/B_{1})[/mm]
> nehmen.
Was meinst Du mit [mm] B/B_1 [/mm] ? B[mm]\setminus[/mm][mm] B_1, [/mm] richtig?
> Ich habe irgendwo im Internet gelesen , dass für [mm]U_{1}[/mm]
> wie in unserem Fall definiert
Ist [mm] U_1 [/mm] irgendwie besonders definiert?
Das ist doch irgendein Unterraum, oder?
> und für [mm]U_{2}[/mm] wie in unserem
> Fall definiert [mm]U_{1}+U_{2}[/mm] = V, weil die Basis von [mm]U_{1}[/mm]
> vereinigt mit der Basis von [mm]U_{2}[/mm] die Basis von V ergibt.
> (Bemerkung: diese Aussage aus dem Internet , meiner
> Meinung nach, kam in der Vorlesung nicht vor, also muss
> bewiesen werden)
Wie gesagt: das ist der Basisergänzungssatz.
>
> Es bleibt noch zu zeigen, dass [mm]U_{1}[/mm] geschnitten mit [mm]U_{2}[/mm]
> {0} ergibt:
>
> also z.z: [mm]U_{1}\cap U_{2}[/mm] = {0}
>
> sei x [mm]\in U_{1}\cap U_{2} \gdw[/mm]
Es gibt ein n mit
>
> x= [mm]\lambda_{1}v_{1}+...+\lambda_{n}v_{n}[/mm] für [mm]\lambda[/mm] 's
> aus [mm]\IK[/mm] v 's aus [mm]B_{1}[/mm]
> und x= [mm]\mu_{1}w_{1}+...+\mu_{n}w_{n} \mu[/mm] 's aus [mm]\IK[/mm] w 's
> aus [mm]B_{2}[/mm]
> Daraus folgt : [mm]\lambda_{1}v_{1}+...+\lambda_{n}v_{n}= \mu_{1}w_{1}+...+\mu_{n}w_{n}[/mm]
>
> Das ist äquivalent zu :
> [mm]\lambda_{1}v_{1}+...+\lambda_{n}v_{n}-( \mu_{1}w_{1}+...+\mu_{n}w_{n})=0[/mm]
>
> Da [mm]B_{1}\cup B_{2}[/mm] linear unabhängig ist, sind die
> Koeffizienten Null und damit x= 0
>
> Ist das richtig?
Ja, wenn [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] beide unendlichdimensional sind, kannst Du das so machen,
ansonsten s. mathfunnels Beitrag.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:05 Mi 29.12.2010 | | Autor: | Igor1 |
>
> Hallo,
>
> vielleicht solltest Du mal (nicht zuletzt für Deine eigene
> Klarheit) sagen, was Du mit "Basis bilden durch [mm]U_1"[/mm]
> meinst.
ich meine damit Basisergänzungssatz
>
>
> Was meinst Du mit [mm]B/B_1[/mm] ? B[mm]\setminus[/mm][mm] B_1,[/mm] richtig?
B\ [mm] B_{1} [/mm] ist richtig.
>
> Ist [mm]U_1[/mm] irgendwie besonders definiert?
> Das ist doch irgendein Unterraum, oder?
ich meinte damit nur , dass [mm] U_{1} [/mm] unser Untervektorraum ist [mm] (U_{2} [/mm] war besonders definiert). [mm] U_{1} [/mm] ist definiert , aber nicht "besonders"  .
Vielleicht habe ich mich kompliziert ausgedruckt.
>
> > und für [mm]U_{2}[/mm] wie in unserem
> > Fall definiert [mm]U_{1}+U_{2}[/mm] = V, weil die Basis von [mm]U_{1}[/mm]
> > vereinigt mit der Basis von [mm]U_{2}[/mm] die Basis von V ergibt.
> > (Bemerkung: diese Aussage aus dem Internet , meiner
> > Meinung nach, kam in der Vorlesung nicht vor, also muss
> > bewiesen werden)
>
> Wie gesagt: das ist der Basisergänzungssatz.
Ich meine nicht die Aussage , die mathfunell gepostet hat, sondern folgende Aussage :
Seien [mm] U_{1} U_{2}unsere [/mm] UV ' e . [mm] U_{1} [/mm] hat eine Basis [mm] B_{1} [/mm] und [mm] U_{2} [/mm] hat eine Basis B\ [mm] B_{1}. U_{1}+U_{2} [/mm] = V , weil [mm] B_{1}\cup [/mm] B\ [mm] B_{1}=B [/mm] ist (B ist Basis von V). Das ist im Prinzip die Aussage.
Diese muss man aber beweisen . (In der Vorlesung haben wir , mMn, das nicht gemacht)
Gruss
Igor
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:50 Mi 29.12.2010 | | Autor: | mathfunnel |
Hallo Igor!
> also z.z: [mm]U_{1}\cap U_{2}[/mm] = {0}
>
> sei x [mm]\in U_{1}\cap U_{2} \gdw[/mm]
>
> x= [mm]\lambda_{1}v_{1}+...+\lambda_{n}v_{n}[/mm] für [mm]\lambda[/mm] 's
> aus [mm]\IK[/mm] v 's aus [mm]B_{1}[/mm]
> und x= [mm]\mu_{1}w_{1}+...+\mu_{n}w_{n} \mu[/mm] 's aus [mm]\IK[/mm] w 's
> aus [mm]B_{2}[/mm]
> Daraus folgt : [mm]\lambda_{1}v_{1}+...+\lambda_{n}v_{n}= \mu_{1}w_{1}+...+\mu_{n}w_{n}[/mm]
>
> Das ist äquivalent zu :
> [mm]\lambda_{1}v_{1}+...+\lambda_{n}v_{n}-( \mu_{1}w_{1}+...+\mu_{n}w_{n})=0[/mm]
>
> Da [mm]B_{1}\cup B_{2}[/mm] linear unabhängig ist, sind die
> Koeffizienten Null und damit x= 0
>
> Ist das richtig?
Fast. Du verwendest hier $n$ für beide Darstellungen von $x$. Das ist nicht allgemein genug.
LG mathfunnel
>
>
>
> Gruss
> Igor
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> Hallo Igor!
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> > also z.z: [mm]U_{1}\cap U_{2}[/mm] = {0}
> >
> > sei x [mm]\in U_{1}\cap U_{2} \gdw[/mm]
> >
> > x= [mm]\lambda_{1}v_{1}+...+\lambda_{n}v_{n}[/mm] für [mm]\lambda[/mm] 's
> > aus [mm]\IK[/mm] v 's aus [mm]B_{1}[/mm]
> > und x= [mm]\mu_{1}w_{1}+...+\mu_{n}w_{n} \mu[/mm] 's aus [mm]\IK[/mm] w
> 's
> > aus [mm]B_{2}[/mm]
> > Daraus folgt : [mm]\lambda_{1}v_{1}+...+\lambda_{n}v_{n}= \mu_{1}w_{1}+...+\mu_{n}w_{n}[/mm]
>
> >
> > Das ist äquivalent zu :
> > [mm]\lambda_{1}v_{1}+...+\lambda_{n}v_{n}-( \mu_{1}w_{1}+...+\mu_{n}w_{n})=0[/mm]
> >
> > Da [mm]B_{1}\cup B_{2}[/mm] linear unabhängig ist, sind die
> > Koeffizienten Null und damit x= 0
> >
> > Ist das richtig?
>
> Fast. Du verwendest hier [mm]n[/mm] für beide Darstellungen von [mm]x[/mm].
> Das ist nicht allgemein genug.
Hallo,
doch, das ist allgemein genug:
man nimmt einfach ein n, welches groß genug ist.
Wenn Koeffizienten =0 sind, macht das ja nichts.
Man müßte allerdings, wie von mir zuvor eingefügt, schreiben: "es gibt ein n, so daß...".
Gruß v. Angela
>
> LG mathfunnel
>
> >
> >
> >
> > Gruss
> > Igor
> >
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:14 Mi 29.12.2010 | | Autor: | mathfunnel |
Hallo Angela,
bei Igor war nicht von der Existenz eines $n$ die Rede. Er benutzt einfach dieselben Symbole für die beiden Ausdrücke, was er ohne Begründung nicht darf!
Ohne weitere Begründung darf man aber $n$ und $m$ verwenden.
Dann könnte man beispielsweise $n'$ mit $n' [mm] \geq \max\{m,n\}$ [/mm] benutzen, aber wozu der Aufwand?
Ich denke, dass mein Hinweis für Igor hilfreich ist.
LG mathfunnel
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> ich verstehe die Aussage nicht. Kannst Du es mit "eigenen
> Worten" erklären?
Hallo,
Stichwort: Basisergänzungssatz.
Wenn man eine Basis vom Unterraum U von V hat, kann man sie durch passende Vektoren zu einer Basis von V ergänzen.
Gruß v. Angela
>
>
> Gruss
> Igor
>
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:35 So 02.01.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich habe eine Frage zum folgenden Link:
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Dateianhang Nr. (fehlt/gelöscht)].
Dort steht ... [mm] ... [/mm] . Ist da ein Schreibfehler? Soll dort [mm]
Gruss
Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:41 So 02.01.2011 | | Autor: | mathfunnel |
Hallo Igor,
> Hallo,
>
> ich habe eine Frage zum folgenden Link:
> [Dateianhang Nr. (fehlt/gelöscht)].
>
> Dort steht ... [mm]...[/mm] . Ist da ein
> Schreibfehler? Soll dort [mm]
>
>
> Gruss
> Igor
>
wo ist der Link?
LG mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Di 04.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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