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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:43 Mi 05.01.2011 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Aufgabe (Basis und direkte Summe)
Es sei V ein K Vektorraum und [mm] U_1 \subseteq [/mm] V ein UVR.
Zeigen Sie: Es gibt einen UVR [mm] U_2 \subseteq [/mm] V mit [mm] V=U_1\oplus U_2 [/mm] |
Hallo,
ich komme mit dieser Aufgabe nicht ganz zurecht.
Die drei Eigenschaften für UVR sind mir klar.
Ich weiß auch, dass [mm] V=U_1+U_2 [/mm] und [mm] U_1 \cap U_2={0} [/mm] da [mm] V=V=U_1\oplus U_2.
[/mm]
Ich denke, dass ich mit [mm] V=U_1+U_2 [/mm] weitrarbeiten muss, weiß aber nicht genau wie. Außerdem muss die Basis noch vorkommen.
Wäre sehr erfreut, wenn mir jemand ein Anstoß geben könnte.
Lg Melisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:29 Mi 05.01.2011 | | Autor: | statler |
Hallo Melisa!
> Aufgabe (Basis und direkte Summe)
>
> Es sei V ein K Vektorraum und [mm]U_1 \subseteq[/mm] V ein UVR.
>
> Zeigen Sie: Es gibt einen UVR [mm]U_2 \subseteq[/mm] V mit
> [mm]V=U_1\oplus U_2[/mm]
> ich komme mit dieser Aufgabe nicht ganz zurecht.
>
> Die drei Eigenschaften für UVR sind mir klar.
> Ich weiß auch, dass [mm]V=U_1+U_2[/mm] und [mm]U_1 \cap U_2={0}[/mm] da
> [mm]V=V=U_1\oplus U_2.[/mm]
Das weißt du noch nicht, weil du die letzte Aussage ja erst herleiten sollst.
Kennst du so etwas wie den Basisergänzungssatz? Den könntest du hier auf eine Basis von [mm] U_1 [/mm] anwenden.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Mi 05.01.2011 | | Autor: | melisa1 |
Hallo statler,
danke für deinen Hinweis. Auf der suche nach dem Basisergänzungssatz habe ich gesehen, dass die Aufgabe schon von jemanden gestellt wurde.
Jedoch ist es für mich noch nicht ganz einleuchtend.
Ich fange einfach mal an und wäre dankbar, wenn mir jemand meine Fragen beantworten könnte:
Wenden wir den Basisergänzungssatz (Wenn man eine Basis vom Unterraum U von V hat, kann man sie durch passende Vektoren u einer Basis von V ergänzen) an, dann kann man als
[mm] U_2 [/mm] span(B\ [mm] B_1) [/mm] nehmen.
Und sind [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] UVR, dann gilt [mm] U_1+U_2=V, [/mm] da die Basis von [mm] U_1 [/mm] vereinigt mit der Basis von U2 die Basis von V ergibt.
Hierzu eine Frage: folgt dies aus dem Basisergänzungssatz oder muss ich das seperat beweisen?
Um zu zeigen, dass es eine direkte Summe ist, muss ich noch zeigen:
[mm] U_1\cap U_2= [/mm] {0}
Sei hierzu x [mm] \in U_1\cap U_2 [/mm] dann gibt es ein n mit
[mm] x=\lambda_1+v_1+....+\lambda_n+v_n [/mm] für [mm] \lambda_1....\lambda_n \in \IK [/mm] und [mm] v_1......v_n \in B_1
[/mm]
und [mm] x=\mu_1+w_1+....+\mu_n+w_n [/mm] für [mm] \mu_1.....\mu_n \in \IK [/mm] und [mm] w1.....w_n \in B_2
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_1+v_1+....+\lambda_n+v_n =\mu_1+w_1+....+\mu_n+w_n [/mm]
[mm] \gdw \lambda_1+v_1+....+\lambda_n+v_n [/mm] - [mm] (\mu_1+w_1+....+\mu_n+w_n)=0
[/mm]
Da [mm] B_1 \cup B_2 [/mm] linear unabhängig ist, sind die Koeffizienten 0 und daraus folgt x=0
Die einzelnen Schritte sind mir klar, also die habe ich verstanden, was ich nicht verstanden habe is, warum das schon die Lösung der Aufgabe ist :-S
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 Fr 07.01.2011 | | Autor: | statler |
Hallo!
> danke für deinen Hinweis. Auf der suche nach dem
> Basisergänzungssatz habe ich gesehen, dass die Aufgabe
> schon von jemanden gestellt wurde.
>
> Jedoch ist es für mich noch nicht ganz einleuchtend.
>
>
> Ich fange einfach mal an und wäre dankbar, wenn mir jemand
> meine Fragen beantworten könnte:
>
> Wenden wir den Basisergänzungssatz (Wenn man eine Basis
> vom Unterraum U von V hat, kann man sie durch passende
> Vektoren u einer Basis von V ergänzen) an, dann kann man
> als
>
> [mm]U_2[/mm] span(B\ [mm]B_1)[/mm] nehmen.
[mm] $U_2$ [/mm] := span($B\ [mm] \diagdown\ B_1$)
[/mm]
> Und sind [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] UVR, dann gilt [mm]U_1+U_2=V,[/mm] da die Basis
> von [mm]U_1[/mm] vereinigt mit der Basis von [mm] U_2 [/mm] die Basis von V
> ergibt.
[mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] sind UVR, der eine nach Voraussetzung und der andere nach Def. Also kann man das nicht wie oben formulieren. Richtig ist:
Es gilt [mm]U_1+U_2=V,[/mm] da die Basis von [mm]U_1[/mm] vereinigt mit der Basis von [mm] U_2 [/mm] eine Basis von V ergibt.
> Hierzu eine Frage: folgt dies aus dem Basisergänzungssatz
> oder muss ich das seperat beweisen?
Das folgt aus der Def. von [mm] U_2. [/mm]
> Um zu zeigen, dass es eine direkte Summe ist, muss ich noch
> zeigen:
>
> [mm]U_1\cap U_2=[/mm] {0}
>
> Sei hierzu x [mm]\in U_1\cap U_2[/mm] dann gibt es ein n mit
>
> [mm]x=\lambda_1+v_1+....+\lambda_n+v_n[/mm] für
Das soll wohl [mm]x=\lambda_1v_1+....+\lambda_nv_n[/mm] heißen.
> [mm]\lambda_1....\lambda_n \in \IK[/mm] und [mm]v_1......v_n \in B_1[/mm]
> und [mm]x=\mu_1+w_1+....+\mu_n+w_n[/mm] für [mm]\mu_1.....\mu_n \in \IK[/mm]
> und [mm]w1.....w_n \in B_2[/mm]
[mm]x=\mu_1w_1+....+\mu_mw_m[/mm]
> [mm]\Rightarrow \lambda_1+v_1+....+\lambda_n+v_n =\mu_1+w_1+....+\mu_n+w_n[/mm]
>
>
> [mm]\gdw \lambda_1+v_1+....+\lambda_n+v_n[/mm] -
> [mm](\mu_1+w_1+....+\mu_n+w_n)=0[/mm]
>
> Da [mm]B_1 \cup B_2[/mm] linear unabhängig ist, sind die
> Koeffizienten 0 und daraus folgt x=0
Dieser Gedankengang ist dann richtig.
> Die einzelnen Schritte sind mir klar, also die habe ich
> verstanden, was ich nicht verstanden habe is, warum das
> schon die Lösung der Aufgabe ist :-S
Dieses so von dir definierte [mm] U_2 [/mm] tut es!
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:49 Fr 07.01.2011 | | Autor: | melisa1 |
danke für die Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:36 Fr 07.01.2011 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
ich bin immer noch an einer Antwort interesiert und würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte.
Lg Melisa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Di 11.01.2011 | | Autor: | melisa1 |
Hallo nochmal,
unsere Aufgabe wurde nochmal geändert, da steht jetzt, dass V endlich-dimensional ist. Ist mein Lösungsweg dann falsch?
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Di 11.01.2011 | | Autor: | statler |
Hi!
> unsere Aufgabe wurde nochmal geändert, da steht jetzt,
> dass V endlich-dimensional ist. Ist mein Lösungsweg dann
> falsch?
Vielleicht habt ihr den Basisergänzungssatz nur für endlich-dim. VR bewiesen? Benutzt du in deinem Beweis irgendwo explizit, daß V unendl.-dim. ist? Doch nicht, also OK.
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:57 Di 11.01.2011 | | Autor: | melisa1 |
ok danke nochmal :)
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